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2025 年山东省名校大联考高考数学模拟试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,3}， = { | ∈ 且 2 ∈ }，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. {1,3} C. {0,3} D. {0,1,3}
2.已知复数 = (1 )(2 + )，则 的虚部是( )
A. 1 B. C. 1 D.
3.某新能源车型的续航里程 (单位：公里)服从正态分布 (400, 2).若该车型中 95%的车续航里程介于 360
公里与 440 公里之间，则续航里程超过 420 公里的车在该车型中的占比约为( )(参考公式： ( ≤ ≤
+ ) ≈ 0.68， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.95， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.99.， ( 3 ≤ ≤ +
3 ) ≈ 0.99)
A. 16% B. 34% C. 66% D. 84%
4.若向量 在向量 上的投影向量为 ，且| | = 3| |，则 cos , =( )
A. 1 B. 3 C. 12 2 3 D.
3
3
5 2.二项式( )4 ( 1)的展开式中，常数项为( )
A. 24 B. 6 C. 6 D. 24
6 ( +1)
2+
.已知函数 ( ) = 2+1 ，其导函数记为 ′( )，则 (2025) + ′(2025) + ( 2025) ′(
2025) =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
7 .已知数列{ }满足： 1 = 1， = +1 2 +1 ( ∈ ).若数列{ }满足 = +1，则数列{ }的前 20 项
和为( )
A. 4039 B.
20
39 C.
19 29
40 D. 40
8 2 .已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，且∠ = 3，弦 的中点 在 的
| |
准线的射影为 ，则| |的最小值为( )
A. 33 B. 2 C. 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0,0 < < )的图象如图所示， ， 为曲线 ( )与 轴的交点，△
的面积为 1，则( )
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A. ( ) = 2 ( + 3 ) B. ( ) = 2 (

6 )
C. (1) = 3 D. ( ) ≥ ( 76 )
10.已知某型号书立为一张圆角矩形铁片沿曲线 切割后翻折制成，其中，折线 ⊥ ， = ，
⊥ ， 为矩形， 为半圆，翻折后， ⊥平面 ，则( )
A.该圆角矩形铁皮可选用面积为 135 × 175 的铁皮原料
B.切割的图形 绕 旋转 90° 1 1所形成的旋转体不能看成一个4圆柱体和一个4球体拼接成的简单组合体
C. 9在 ， ， ， ， ， 中任取 3 个点组成一个直角三角形的概率是10
D.将书立放倒(即 ， ， ， 触底)包装，可设计出比 135 × 170 × 175 体积更小的长方体包装
盒
11.已知曲线 是平面内到定点 (0, 2)与到定直线 = 2 距离之和等于 6 的点的轨迹.点 ( 0, 0)是曲线
上一点，则( )
A.曲线 是中心对称图形
B. 3 ≤ 0 ≤ 3
C.曲线 围成的面积大于 12 5
D.曲线 任意一点到原点的距离不小于 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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2 212 .已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线过点(1, 3)，则 的离心率为 ．
13.已知两个正四棱锥组合成的简单几何体 中，顶点 ， 分别位于平面 的两侧.其中正方
形 的边长为 2，两个正四棱锥的侧棱长均为 3.则四棱锥 的外接球的表面积为______．
14.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中∠ = 45°，∠ = 60°， = 6，则能覆盖△
的正方形的最小边长为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 1 + ( ) ．
(1)若 = 0 是曲线 = ( )的切线，求实数 的值；
(2)若函数 ( )有两个零点，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某 大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式和“联网搜索”模式，用户可根据需求在提问
时自由选择.据统计，人们在使用该大模型时，有 30%的问题选择“深度思考”模式，70%的问题选择“联
网搜索”模式.而在选择“深度思考”模式的问题中 40%被检测到包含“科幻”关键词( )，在选择“联网搜
索”模式的问题中 10%被检测到包含“科幻”关键词( ).以下记录了 5 次该大模型回答用户问题的处理时
间(单位：分钟)、问题字数(单位：百字)和需求模式的相关数据：
问题 字数(百字) 需求模式 处理时间(分钟)
1 2.0 深度思考 5.0
2 1.5 联网搜索 3.0
3 3.0 深度思考 7.0
4 2.5 联网搜索 4.5
5 4.0 深度思考 8.4
(1)用频率估计概率．
①求问题被检测到包含“科幻”关键词( )的概率；
②当问题被检测到包含“科幻”关键词( )时，求用户选择“深度思考”模式的概率；
(2)假设在“深度思考”模式下，处理时间 关于字数 呈线性相关.请预测“深度思考”模式下，处理一个
350 字用户问题的时间．
(
( = =1 )( )

参考公式 ， = )
2 =1 ( )
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17.(本小题 15 分)
= 6 = . = 2 cos∠ = 7如图，在扇形 中， ，点 在 上，且 当 时， 14．
(1)证明：△ 为等边三角形；
(2)当 = 1 时，沿 将△ 折起到△ ′ 位置，使得平面 ′ ⊥平面 ，连接 ′ ．
①求三棱锥 ′ 的体积；
②求二面角 ′ 的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率是 2 ， 1， 2分别是 的上、下顶点，且 1(0,1)．
(1)求 的方程；
(2)已知直线 与 交于 ， 两点( , 异于点 1， 2)，若直线 1 与 1 的斜率分别为 1， 2，且 1 + 2 = 1，
证明：直线 过定点；
(3)点 在 上且位于 轴左侧，点 在直线 = 1 + 2上， 2为 的右焦点，若| 2| = | 2 |，且 2 2 2 = 0，
求△ 2 的面积．
19.(本小题 17 分)
全集 = { 0, 1, 2, , }， ∈ ， ∈ ，若 中存在两个非空子集 ， ，满足 ∩ = ， ∪ = ，
则称 ， 是 的一个“组合分拆”，用 ( )表示集合 的所有元素的和．
(1)若 = 3．
①若 = 5， = { | = 32 , = 0,1,2}，求 ( )；
②若 为偶数，证明： ( ) ≠ ( )；
(2)若 = 2， 为给定的偶数，关于 的方程 2 + ( ) + ( ) = 0 存在有理数解，求 ( )的最小值，并写
出取得最小值时的一个集合 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 10
13.53
14.3+ 32
15.解：(1)由题意可得 ′( ) = ( + 1) ，
设曲线 = ( )与 = 0 相切于点( 0, 1 + ( 0 ) 0)，
因为 = 0 是曲线 = ( )的切线，
1 + ( 0 ) 0 = 0 1 = 0 = 0所以 0( 0 + 1) 0 = 0
，即 0 + 1 = 0
，解得 = 1 ；
(2)由(1)知， ′( ) = ( + 1) ，易知 > 0，
则当 > 1 时， ′( ) > 0，当 < 1 时， ′( ) < 0，
故 ( )在( 1, + ∞)上单调递增，在( ∞, 1)上单调递减，
故 ( ) 1 = ( 1) = 1 ，
又 无限趋向于正无穷大时， ( )无限趋向于正无穷大，
无限趋向于负无穷大时，( ) → 0， ( ) → 1，
若函数 ( )有两个零点，则 ( ) = 1 1 < 0，所以 1 > 1 = 0，
所以 1 > 0，即 > 1，
故实数 的取值范围为(1, + ∞)．
16.解：(1)①记事件 =“选择深度思考模式”，事件 =“被检测到包含科幻关键词( )”，
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则 ( ) = 0.3, ( ) = 0.7， ( | ) = 0.4, ( | ) = 0.1，

由全概率公式得 ( ) = ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = 0.3 × 0.4 + 0.7 × 0.1 = 0.19，
所以问题被检测到包含“科幻”关键词( )的概率为 0.19；
( | ) = ( ) ( ) ( | ) 0.3×0.4 12②由①得 ( ) = ( ) = 0.19 = 19，
12
所以用户选择“深度思考”模式的概率为19；

(2) = 2.0+3.0+4.0 = 3.0, = 5.0+7.0+8.4依题意， 3 3 = 6.8，
3 =1 ( )( ) = ( 1) × ( 1.8) + 0 × 0.2 + 1 × 1.6 = 3.4,
3
=1 (
2 2 2
) = ( 1) + 0 + 12 = 2，
3
则 = =1
( )( ) 3.4
3
= = 1.7，
( )2 2 = = 6.8 1.7 × 3 = 1.7
，
=1

因此处理时间 关于字数 的回归方程为 = 1.7 + 1.7，
当 = 3.5 时， = 1.7 × 3.5 + 1.7 = 7.65(分钟)，
所以处理一个 350 字用户问题的时间约为 7.65 分钟．
17.解：(1)证明：由题意 = = 6，
当 = 2 时， = 2 ，所以 = 4， = 2，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
即 36 = 2 + 16 2 4 7，14
即 2 4 7 ，7 20 = 0
解得 = 2 7，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ( ∠ ) = 28 + 4 + 2 2 2 7 7 ，14 = 36
解得 = 6，
所以 = = = 6，
所以△ 为等边三角形．
(2)①当 = 1 时， = ，所以 = = 3，
所以 ⊥ ， ⊥ ，即 ⊥ ′ ，
因为平面 ′ ⊥平面 ，平面 ′ ∩平面 = ， ′ 平面 ′ ，
所以 ′ ⊥平面 ，
即 ′ 为三棱锥 ′ 的高，
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1 1 1 9 3所以 ′ = 3 △ ′ = ；3 × 2 × 3 × 3 3 × 3 = 2
②由①知， ， ， ′两两互相垂直，
故以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， ′为 轴，建立如图坐标系．
则 (0,0,0)， (3 3, 0, 0)， (0,3,0)， ′(0,0,3)，
所以 = (3 3, 3,0)， ′ = (0, 3, 3)．
设平面 ′的法向量为 = ( , , )，
⊥ = 0
3 3 3 = 0 则
′
，则 ，
⊥ ′ = 0 3 + 3 = 0
令 = 1 得， = = 3，
所以 = (1, 3, 3)．
又平面 的法向量 = (0, 0,1)．
设二面角 ′ 为 ，又由图可知二面角 ′ 的平面角为锐二面角，
= |cos , | = | |所以 = 3 = 21，
| | | | 7 7
所以二面角 ′ 的余弦值为 21．7
18.解：(1)依题意有 = 1，设椭圆 的半焦距为 ，
因为椭圆 的离心率为 2，所以 2，即 2 ，
2 = 2 = 2
所以 2 = 2 + 2 = 1 + 12
2，解得 2 = 2，
2
所以椭圆的方程为 + 2 = 1．2
(2)证明：由题意直线 的斜率存在，设 的方程为 = + ，
= +
联立 2 2 2 2 + 2 2 = 2，消去 得(1 + 2 ) + 4 + 2 2 = 0，
= 16 2 2 4(1 + 2 2)(2 2 2) = 16 2 8 2 + 8 > 0，即 2 < 2 2 + 1，
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( 4 2
2 2
设 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 , 1 2 = ，1+2 1+2 2
(0,1) + = 1 1 2 1 1+ 1 2+ 1 2 1 2+( 1)( 1+ 又 ，故 2)1 1 2 +1
= + = = 1，2 1 2 1 2
所以(2 1) 1 2 + ( 1)( 1 + 2) = 0，
2 2(2 1) × 2 + ( 1) × 4 所以 2 ，化简得 2 2 =
2 1，
1+2 1+2 2 = 0
即 2 ( 1) = ( 1)( + 1)，
当 = 1 时，直线 过定点 1(0,1)，不合题意；
当 ≠ 1 时，2 = + 1，直线 的方程为 = + 2 1 = ( + 2) 1，
所以直线 恒过点( 2, 1)．
综上，直线 恒过点( 2, 1)．
2(3)对于椭圆 + 2 = 1，其右焦点 2(1,0)，设 ( 2 0, 0)，
2
因为点 在 上且位于 轴左侧，所以 0
2 +
2
0 = 1( 0 < 0)，
又点 在直线 = 1 + 2上，故设2 (1 +
2 ，
2 , )
因为| 2| = | 2 |
1
，所以 ( 0 1)2 + 2
2 2 2 2 2 2
0 = ( 2 ) +
，即 = 0 2 0 + 0 + 2，
2又 0 2
1 3
2 + 0 = 1，所以
2 = 22 0 2 0 + 2①，
又 2 2 = 0，所以(1 0, 0) (
2 , ) = 0，所以 2 (1 0) = 0，2 2
1
所以2 (1 0)
2 = 2 2 1 2 2 1 20，所以2 (1 0) = (1 2 0)②，
由①②消去 2得 40 4 30 + 3 20 + 4 0 4 = 0，
所以( 1)( + 1)( 2)20 0 0 = 0，解得 0 = 1 或 0 = 1(舍去)或 0 = 2(舍去)，
1 3
所以 2 = 2+ 2 + 2 = 4，所以| 2| = | 2 | = (
2 )2 + 4 = 3 2，2 2
1 1 9 9
所以 △ 2 = 2 | 2| | 2 | = 2 × 2 = 4．
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19.解：(1)根据题目全集 = { 0, 1, 2, , }， ∈ ， ∈ ，若 中存在两个非空子集 ， ，
满足 ∩ = ， ∪ = ，则称 ， 是 的一个“组合分拆”，用 ( )表示集合 的所有元素的和．
①此时 = {1,3,9, , 243}， = {1,9,81}，
由题可得 = {3,27,243}，则 ( ) = 3 + 27 + 243 = 273；
3 +1 1 3 +1 1
②证明：由题可得 ( ) + ( ) = 1 + 3 + 32 + + 3 = 3 1 = 2 ，
( )， ( ) ∈ ．
+1
若 ( ) = ( )，则 ( ) = ( ) = 3 14 ．
2 +1
= 2 ∈ ( ) = 3 1
2 +1
= (4 1) 1当 为偶数，设 ， ，则 4 4 ．
注意到(4 1)2 +1 1 = 0 2 +1 0 1 2 1 2 2 1 22 +14 ( 1) + 2 +14 ( 1) + 2 +14 ( 1) +
+ 2 41( 1)2 + 2 +12 +1 2 +140( 1)2 +1 1 = 4 2，其中 ∈ ，
则 ( )不为整数，这与题意不合，故 ( ) ≠ ( )．
(2)由题： = 2， 为给定的偶数，关于 的方程 2 + ( ) + ( ) = 0 存在有理数解，
此时 = {1,2, 22, , 2 }， = 2 ， ∈ ，
+1
则 ( ) + ( ) = 1 + 2 + 22 + + 2 = 2 1 = 2 +12 1 1．
则 2 + ( ) + ( ) = 0 2 + ( ) + [2 +1 1 ( )] = 0，
要使方程存在有理数解，则方程判别式 2( ) 4[2 +1 1 ( )] = 2， ∈ ．
注意到 2( ) 4[2 +1 1 ( )] = 2( ) + 4 ( ) + 4 2 +3 = 2，
则[ ( ) + 2]2 2 = 2 +3 [ ( ) + 2 ][ ( ) + 2 + ] = 2 +3，
因 ( )，2 +3 ∈ ，则 ∈ ，
( ) + 2 = 2
则 ( ) + 2 + = 2 ，其中 + = + 3， ， ∈ ，

则 2 ( ) + 4 = 2 + 2 ( ) = 2 +22 2，
2 +3
注意到2 + 2 = 2 + 2 ，若 ， ， + 3 为正实数，
+3 +3
则2 + 2 = 2 + 2 ≥ 2 2 +3 = 2 2
+3
2
2 ，当且仅当 = = 2 时取等号，
+3
且 ( ) = 2 + 2 (0, +3 +32 在 2 )单调递减，在( 2 , + ∞)时单调递增．
+3
则当 ， ， + 3 为正整数时， 取离 2 最近的整数，
+2 +4 +2 +4
即 = 2 22 或 = 2 时取最小值，则2 + 2 2 ≥ 2 + 2 2．
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+2 +4
( )的最小值为2 2 + 2 2 2．
+2 +4
2 2 + 2 2 2 = 22+1 2 + 22+2 = 2(22 1) + 22+2，

又22 1 = 1 + 2 + 22 + + 22 1，
+2 +4
则2 2 + 2 2 2 = 1 + 2 + 22 + + 22 2 + 22 1 + 22+2，
即 ( )取得最小值时的一个集合 可以为：

= {1,2, 22, , 22 2, 22 1, 22+2}．
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