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方程与不等式解法典型考点 专题练
2025年中考数学二轮复习备考
一、单选题
1．如果与互为相反数，那么（ ）
A． B． C． D．10
2．方程去分母后，可化为（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的方程的解是，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
5．解方程时，若设，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A．0 B． C． D．
7．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若方程有增根，则它的增根是（ ）
A．0 B． C．1 D．或1
10．在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C．． D．
12．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是 ．
14．已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则
15．若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
16．已知，则 ．
17．若不等式的解的解是，则的取值范围是 ．
18．定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则 ．
19．对于实数a，b，定义一种新运算“ ”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ．
三、解答题
20．解方程组及不等式组：
(1)
(2)
21．（1）解方程．
（2）已知表示不大于x的最大整数，解方程．
22．已知关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值．
23．已知关于的分式方程：
(1)当时，求此方程的解；
(2)当为何值时，此方程无解；
24．我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，，解决下列问题：
(1) ； ；
(2)，则x的取值范围是 ；若，则y的取值范围是 ；
(3)已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
25．已知方程组的解，都为负数．
(1)求的取值范围；
(2)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为，求的值．
26．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数是相反数，根据相反数相加得0，列出方程求解即可．
解：根据题意可得：，
解得： ，
故选：C．
2．D
本题考查了方程的化简．熟练掌握分数的基本性质和等式的性质，是解题的关键．
先将分式的分子、分母同时扩大原来的10倍，将方程中的小数变为整数，再去分母．
解：方程的两边的分数的分子与分母同乘以10，
得，
去分母，得．
故选：D．
3．A
本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案．
解：，
，
，
，
A. ，符合：
B. ，不符合：
C. ，不符合：
D. ，不符合：
故选：A．
4．A
本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程；把方程的解代入方程中，解关于k的一元一次方程即可求解．
解：∵关于的方程的解是，
∴，
解得：；
故选：A．
5．B
本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答．
解：，
∴，
设，则，
整理得：．
故选B．
6．B
本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
解方程组得，，由得到，解得，即可得到m的最小整数解．
解：，
得：，
解得
得：，
解得
∵
∴
解得：，
∴m的最小整数解为，
故选：B．
7．A
本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可．
解：
由得，，即
解得：．
故选：A．
8．B
本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集．熟练掌握一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．先分别解出不等式组的每一个不等式的解集，再找出其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示即可得到答案．
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：B．
9．B
本题主要考查了分式方程的增根问题．解题的关键是求出使方程产生的增根可能为或，然后再进行验证即可．
解：，
方程两边都乘，得：
，
由最简公分母，可知增根可能是或，
当时，，
当时，得到，等式不成立，
所以增根只能是．
故选：B．
10．D
本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．甲看错了，则甲的结果满足方程②，乙看错了，则乙的结果满足方程①，由此建立关于、的方程求解即可．
解：∵解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，
∴把，代入②式，得，
解得：；
把，代入①式，得，
解得：；
故选：D．
11．C
本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解．
根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b．
解：∵二元一次方程组的解是，
∴方程组的解是，
解，
得，
故选：C．
12．D
本题主要考查解一元一次不等式组，解分式方程，由不等式组无解，解得，解分式方程得，，进而得到，即可得解，本题特别要注意分式有意义的条件．
解：∵关于x的不等式组，
∴由①得，，
由②得，，
∵原不等式组无解，
∴，
解得，，
解分式方程得，，
∵分式方程的解为正整数，
∴，
∵，
∴，
综上，，
∴，
故选：D．
13．或/或
本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可．
解：，
，
或，
当，
．
当，
此时方程无解；
故答案为：或．
14．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．分类讨论3与的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
解：当，即时，已知等式变形得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，但，不符合题意，舍去；
当，即时，已知等式变形得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意．
故答案为：．
15．8
本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式组等知识点，掌握解分式方程、解不等式组的方法成为解题的关键．
先解不等式组，再根据关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定a的取值范围，然后根据范围确定出a的取值，最后相加即可解答．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，
∴，解得：，
解方程，得，
∵关于y的分式方程的解为非负整数，
∴且，是偶数，解得且，a是偶数，
∴且，a是偶数，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：8．
16．1
该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元．
根据算出，再根据算出，代入即可求解；
解：，
得：，即，
得：，即，
∴，
故答案为：1．
17．
本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
根据不等式的解集为，可知，解之即可．
解：∵不等式的解的解是，
∴，
则．
故答案为：．
18．或或
本题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据题中所给的新运算法则，分和两种情况解方程即可．
解：当，即时，，
，
，
∴，
∵，
∴舍去，只取；
当，即时，，
，
，
，
∴，
综上，x的值为或0或4，
故答案为：或0或4．
19．
本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可．
解：∵，方程，
∴，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴方程的解是，
故答案为：．
20．(1)
(2)
本题主要考查了解三元一次方程组以及解一元一次不等式组．
（1）先利用消元法消去z，然后解关于x，y的二元一次方程组，最后再求z的值．
（2）分别解出每个不等式的解集，然后求其解集的公共部分即可．
（1）解：
由②③得④
把①④联立可得：
由①④式得：，
解得：，
把代入①式可得出：，
把，代入③
解得：，
∴原方程组的解为：
（2）解：
解①式得：
解②式得：，
解③式得：，
故原不等式的解集为：
21．（1）；（2）
本题主要考查了解二元一次方程组和新定义，熟练掌握解二元一次方程组，新定义，列不等式组，解不等式组，是解题的关键．（1）两个方程相加、相减，化简得到两个简单的方程，重新组成方程组，解答即可；
（2）先将方程变形为，根据列出不等式组，然后解关于x的不等式组即可．
解：（1），
，得，
即，
，得，
即，
，得，
∴，
，得，
∴，
∴原方程组的解为；
（2）∵，
∴．
∵表示不大于x的最大整数，又表示数x的整数部分，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴．
22．(1)
(2)或时，分式方程无解；
(3)满足条件的b可取1或4或5这三个数．
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
（1）解：把，代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：；
（2）解：把代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当即时，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即，此时b不存在；
Ⅱ.时，原分式方程无解，
即时，
此时；
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得，
解得：，
∵b为正整数，x为非负整数，
∴必为40的因数，，
∴或或或，
对应地，方程的解或2或12或32，
又为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取1或4或5，
∴满足条件的b可取1或4或5这三个数．
本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
23．(1)
(2)或或
本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）先把代入方程并转化为整式方程，解方程并验证即可；
（2）把方程转化为整式方程得，当或或时，方程无解，分别求出的值即可．
（1）解：当时，原方程为
去分母得：
检验：把代入最简公分母
是此时方程的解．
（2）解：原方程去分母得：
①当即时原方程无解
②把增根代入整式方程
得：
此时
③把增根代入整式方程
得：
此时
综上所述，满足条件的值为或或．
24．(1)，5
(2)；
(3)，
本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）根据和的意义进行求解即可；
（2）根据和的意义，对相应的数进行分析即可；
（3）利用加减消元法求出相应的，的值，再分析，的取值范围即可．
（1）解：∵是不大于的最大整数，
∴，
∵是大于的最小整数，
∴；
（2）解：∵表示大于x的最小整数是，，，
∴，
∵表示不大于的最大整数是4，，，
∴；
（3）解：解方程组得，
表示不大于y的最大整数是．
∵，，
∴．
表示大于x的最小整数是．
∵，，
∴．
25．(1)
(2)
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可；
（2）根据不等式的解集求出a的范围，即可得出答案．
（1）解：解方程组得，
由题意，得
不等式①的解集是，不等式②的解集是．
则原不等式组的解集为．
（2）解：∵不等式的解集为，
∴即．
由（1）知
∴，故．
26．(1)③
(2)2
(3)①，；②不存在，见解析
本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可；
（3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可；
②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
（1）解：方程①的解为；
方程②的解为；
方程③的解为；
不等式组的解集为，
∵，
∴不等式组的关联方程是方程③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式组，得，
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程0，
得；
（3）解：①，
解得；
，
解得；
②不存在．理由如下：
解不等式组，
得，
假如方程和都是关于的不等式组的关联方程，
则且．
解得：且
∴不等式组无解，
不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程．
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