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韦达定理与函数综合典型考点 专题练
2025年中考数学二轮复习备考
韦达定理与函数综合
函数图象的交点的横坐标可由一元二次方程确定，利用根与系数的关系可以得到交点横坐标之间的关系，也可以利用交点横坐标之间的关系求解析式
一、单选题
1．二次函数的图象与轴交于，两点，若，且，记，则（ ）
A．有最小值，没有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值4 D．有最小值，有最大值4
2．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个．
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知抛物线经过点和，且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，那么a的取值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．已知、是方程的两个根，点在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
5．如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②若且x1≠x2，则；③；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数（，，是常数，且）的图象的顶点坐标为，且与轴的两个交点位于原点两侧，则，，中为正数的（ ）
A．只有 B．只有 C．只有 D．均为正数
7．若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，m有最大值 B．若，m有最小值
C．若，m有最大值 D．若，m有最小值
9．直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于两点，且始终满足，则直线必过的定点为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，直线与双曲线交于两点，过点A作轴于，过点B作轴于D，连接，若四边形的面积为10，则k的值为 ．
11．如图，一次函数的图象分别与轴相交于点A，B，点C，D是射线上的两个动点，且（点在点的左侧），点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，运动时间为，以为边向右作一个等腰直角三角形，使．现有二次函数的图象恰好经过点，该二次函数的图象交轴于点E，F，则当时，运动时间的值为 ．
12．二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的两根之和为 ．

13．如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是 ．
三、解答题
14．一次函数图像与x轴交点为，与y轴交点为，其中、是关于x的方程的两个根，且，A、B两点间的距离为，求m的值和一次函数解析式．
15．在直角坐标系中，设函数，，其中．
(1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值．
(2)若，判断函数与轴的交点个数，说明理由．
(3)若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值．
16．法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．
定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”．
(1)若是“倍根方程”，求k的值；
(2)一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系；
(3)已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值．
17．若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，和的差构成一个新函数y，即．称y是的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．
(1)已知“天数点1”为点，“天数点2”为点．点在“数天数函数”图象上，求y的解析式；
(2)已知“天数点1”为点，“天数点2”为点，y是“数天数函数”，求的最小值；
(3)关于x的方程的两个实数根，“数天数函数”．若，且，求m的值．
参考答案
1．A
本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．由已知结合根与系数关系得，，进而得，，则，利用二次函数的性质求解即可．
解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴、是方程的两个根，
∴，，又，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，t取最小值，最小值为，t没有最大值，
故选：A．
2．B
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可．
解：由图可知抛物线开口向上，
，
对称轴为直线，
符号相同，
，
与y轴的交点在之间（不含端点），
，
，
故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
与轴交于另一点为，
当时，，
故②不正确；
由题意可得方程的两个根为，
，
，
，
，
，
故③正确；
若方程两根为，
则直线与抛物线的交点的横坐标为，
直线过第一、二、三象限且过点，
直线与抛物线的交点在第一，三象限，
如图所示，
由图象可知，
故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，有个，
故答案为：B.
3．D
本题考查二次函数图象和性质，根与系数之间的关系，把点和代入解析式，求出，根与系数的关系得到，进而求出的范围，即可．
解：∵抛物线经过点和，
∴，
∴，
∵抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，另一个交点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
故a的取值可能是；
故选：D．
4．B
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．也考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
解：∵、是方程的两个根，
∴．
∵点在反比例函数的图像上，
∴．
故选B．
5．B
本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．
根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①错误；由且，则，可判断②正确；由抛物线顶点坐标为，可得，可判断③正确；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，，可得，可判断⑤错误．即可得到答案．
解：①∵抛物线的顶点坐标为，
即时，函数有最小值，
，所以①错误；
②若且，则，故，②正确；
③因为抛物线顶点坐标为，当时，，故③正确；
④抛物线的对称轴为直线，可得关于的一元二次方程的根为或，故④错误；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
而点，在抛物线上，
，
∴，所以⑤错误．
正确选项有2个，
故选：B．
6．C
本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握其性质并能把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解决此题的关键．先利用顶点式写出抛物线解析式得即，根据根的判别式的意义得到，解得，所以，再利用根与系数的关系得，所以，即．
解：图象的顶点坐标为，
可设抛物线解析式为，即，
，，
抛物线与轴的两个交点，
，解得，
，
抛物线与轴的两个交点位于原点两侧，
，
，
，
故选：．
7．B
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键．
解：、是方程即的两根，
，，
∴异号，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
选项A、C不符合题意；
B．由图象得：，，符合题意；
D ．由图象得：，，
，结论错误，不符合题意；
故选：B．
8．D
本题考查的是二次函数与一次函数，一元二次方程的综合应用，先联立两个函数解析式可得，再进一步建立二次函数的关系式结合二次函数的性质解答即可．
解：∵，
∴，
∵直线与抛物线相交于，且，如图，
∴，，，，
∴，
当时，
∴，
当时，的最小值为，
此时，不符合题意，故A，B不符合题意；
当，
∴，
当时，的最小值为，
此时，符合题意，故C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
9．C
本题考查了抛物线与直线的交点问题，主要涉及一元二次方程根与系数的关系．联立，则，则，，由，同理，建立方程，即可求解．
解：设点的坐标分别为，
联立直线与抛物线得，
∴，
则，，
∴
，
，
同理可求：，
∵，
∴，
整理得，
解得：．
∴，
当时，，
∴直线必过的定点为，
故选：C．
10．
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，一元二次方程根与系数的关系，
先将两个关系式联立，再根据点A的坐标及一元二次方程根与系数的关系表示出点B，然后根据列出方程，求出解可得点A的坐标，进而求出答案．
解：将两个函数关系式联立，得，
即．
设，点B的横坐标为b，
∴a和b是一元二次方程的两个实数根，
则，
∴，
∴，
则点．
设和的延长线交于点E，
∴，
解得（舍去）或，
∴．
故答案为：．
11．6
过点作轴于，过点作轴于，交于，过点作轴于，根据一次函数解析式得出、坐标，得出，根据等腰直角三角形的性质得出，即可证明轴，得出直线是抛物线的对称轴，为顶点，得出，根据点运动速度得出，，即可得出，，，代入解析式，建立方程组得出，，，根据一元二次方程根与系数的关系列关于的方程求解即可得答案．
解：如图，过点作轴于，过点作轴于，交于，过点作轴于，
∵一次函数的图象分别与轴相交于点A，B，
∴当时，，当时，，
∴，，，
∴，
∵以为边向右作一个等腰直角三角形，使，
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴直线是抛物线的对称轴，为顶点，
∵，，
∴四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，
∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，运动时间为，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴，
∵二次函数的图象恰好经过点，
∴，
①②得：，
③①得：，
∴，
解得：，，
∴代入②得：，即，
∵二次函数的图象交轴于点，，则当，
∴一元二次方程的两个根为，两点的横坐标，设为、，
∴，，，
∴，即，
解得：．
故答案为：
本题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系，正确用表示出、、是解题关键．
12．
此题考查了二次函数的图象与一元二次方程的根，二次函数的性质以及根与系数的关系，数形结合是解题的关键．由图可知二次函数的对称轴为，得到，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
解：二次函数的对称轴为直线，
，
，
关于的方程的两根之和为，
故答案为：．
13．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合是解题的关键．
如图，记一次函数图象与轴的交点为，则，设，，由题意知，，可得，，联立可得，，则，，由，求的值，进而可求的值．
解：如图，记一次函数图象与轴的交点为，
当时，，
解得，，
∴，
设，，
∴，
整理得，，
联立得，，整理得，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
解得，，
故答案为：．
14．，一次函数解析式为：或．
本题主要考查根与系数的关系，求一次函数解析式，解一元二次方程，两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，求出m的值．先根据根与系数的关系，求出，，根据两点间距离公式得出，求出，分两种情况分别求出一次函数解析式即可．
解：∵、是关于x的方程的两个根，
∴，，
∵一次函数图像与x轴交点为，与y轴交点为，A、B两点间的距离为，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
当时，方程为，
解得：，，
∵，
∴，，
∴，，
设一次函数解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴此时一次函数解析式为；
当时，方程为，
解得：，，
∵，
∴，，
∴，，
设一次函数解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴此时一次函数解析式为；
综上分析可知：，一次函数解析式为或．
15．(1)5
(2)函数与轴没有交点，理由见解析
(3)，
（1）将和分别代入和，得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可；
（2）根据判别式结合求解即可；
（3）首先求出函数与x轴的交点坐标为和，然后根据题意得到，，进而求解即可．
（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴函数与轴没有交点；
（3）解：∵
∴当时，
解得或
∴函数与x轴的交点坐标为和
∵
∴，
∴，或，（舍去）．
此题考查了二次函数和x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数和一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．(1)或
(2)
(3)
（1）先求方程的根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；
（2）联立方程组，得到，设两个函数的交点为，，根据一元二次方程的根与系数关系得到，，消去，即得答案；
（3）对于方程，由“倍根方程”的定义可得，
，化简得，进一步推得，所以，再根据二次函数的性质可求得的最大值和最小值，由此列出方程求解即可．
（1）解：，
，，
当时，即，
解得，
当时，即，
解得，
或；
（2）解：由得，，
设两个函数的交点为，，由“倍根函数”可知，，
①，
②，
得，，
；
（3）解：方程的两根为，，其中，
由“倍根方程”可知或，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最小，
当时，最大，
的最大值和最小值的差是3，
，
解得．
本题考查了新定义问题，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数关系，一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的图象与性质，正确理解题意是解题的关键．
17．(1)
(2)的最小值为
(3)或
（1）根据题意得，由点在“数天数函数”图象上，即可求解；
（2）根据题意得，由，即可求解；
（3）由，，得，由得，得， ，由即可求解；
（1）解：∵“天数点1”为点，“天数点2”为点．
∴，
∵点在“数天数函数”图象上，
∴，
∴，
∴．
（2）∵“天数点1”为点，“天数点2”为点，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）∵，
∴，
∵是的两个实数根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
本题主要考查一元二次方程的综合应用、一次函数的应用，二次函数的图象及性质，掌握相关知识并正确理解题意是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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