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新高考1卷
——2025届高考数学仿真猜题卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数z满足，则( )
A. B.1 C. D.2
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.记等比数列的前n项和为，若，，则( )
A. B. C.32 D.64
4.已知角，满足，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.如图是八卦图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，若，则正八边形的边长为( )
A.1 B. C.2 D.
7.已知数据，，的平均数为a，标准差为b，中位数为c，极差为d由这组数据得到新数据，，其中，则下列命题中错误的是( )
A.新数据的平均数是 B.新数据的标准差是
C.新数据的中位数是 D.新数据的极差是
8.已知函数若的零点个数为4，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知曲线，则( )
A.当时，C经过点
B.不存在m，使C关于直线对称
C.当时，C与圆无公共点
D.C在第一象限内的部分是某函数的图象，且该函数单调递减
10.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为A，B，C，若，则( )
A.的最小正周期为
B.
C.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则在上的值域为
D.若函数，则在上有6个零点
11.已知函数与的导函数分别为与，且，，，的定义域均为R，，，为奇函数，则( )
A. B.为偶函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是____________.
13.的展开式中含项的系数为__________.
14.已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，，求的面积.
16.（15分）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的极值；
（2）若，求在区间上的最大值.
17.（15分）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知不与x轴垂直且过点的直线l与双曲线C交于P，Q两点，若，，且，求证：.
18.（17分）如图，平面四边形PBCD中，点A是线段PD上一点，，，沿着AB将折叠得到四棱锥.
（1）求证：平面平面ABCD.
（2）若，且，，折叠后.
①求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值的最大值.
②若三棱锥的四个顶点均在以G为球心的球上，试问三棱锥的外接球的体积是否存在最小值？若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由.
19.（17分）若存在1，1，2，2，…，n，n的一个排列，满足每两个相同的正整数之间恰有k个正整数，则称数列为“有趣数列”，称这样的n为“有趣数”.例如，数列：4，6，1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，5为“有趣数列”，7为“有趣数”.
（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由；
①：1，2，1，2；②：3，1，2，1，3，2.
（2）请写出“有趣数列”的所有可能情形；
（3）从1，2，…，中任取两个数i和j，记i和j均为“有趣数”的概率为，证明：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意知，所以.故选B.
2.答案：B
解析：由，得，则；由，得，则.所以.故选B.
3.答案：D
解析：设等比数列的公比为q，由，得，则，即，而，因此，所以.故选D.
4.答案：C
解析：因为
，
所以，
所以
，故选C.
5.答案：C
解析：设函数，则，当时，，故在上单调递减，因为，所以，即，所以.
设函数，易知为增函数，因为，所以，即，所以，即.故选C.
6.答案：A
解析：如图，连接HC，设，易知，，
则，.又，所以，解得，即正八边形的边长为1.
7.答案：B
解析：对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，因为，
所以，
，故B错误；
对于CD，不妨设，
所以，而，
所以，故C正确；
因为，
所以，故D正确.
故选：B.
8.答案：D
解析：作出的大致图象，如图所示.
有4个不同的零点，令，则有两个不同的解，设这两个解为，，，则.由题设可得关于x的方程和共有4个不同的解，故（舍）或或（舍）或（舍），所以解得.所以实数a的取值范围为.
9.答案：ACD
解析：当时，将代入，满足方程，选项A正确；当时，曲线关于直线对称，选项B错误；当时，，选项C正确；由得，因为，所以在第一象限内，在区间上单调递减，选项D正确.
10.答案：ACD
解析：依题意，，故A正确；
，所以，，记，则，，所以，所以①，而②，联立①②可得，故B错误；
，所以当时，，，所以，故C正确；
，在直角坐标系中分别作出，的图象如图所示，观察可知，其图象在上有6个交点，即在上有6个零点，故D正确.
故选ACD.
11.答案：ACD
解析：对于A，因为为奇函数，所以，
令，得，故A正确；
对于B，由，得，又，
，即，
，
又的定义域为R，故为奇函数，故B错误；
对于C，由，，可得为常数），
，又，
，
，，
，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C正确；
对于D，，令，得，则，
再令，得，又是周期为8的函数，所以，
，，又，
，故D正确.
故选：ACD.
12.答案：
解析：一枚骰子的点数有6种情况，则两枚骰子点数所对应总情况为36种.
又注意到点数之和为7的情况有：1，6；6，1；2，5；5，2；3，4；4，3共6种，
则掷得的点数之和为7的概率是.
故答案为：.
13.答案：
解析：由二项式的展开式的通项为，所以的展开式中含项的系数为.故答案为.
14.答案：
解析：设关于直线的对称点为，则解得所以，所以圆E关于直线对称的圆的方程为.要使的值最大，则P，A，（其中为B关于直线的对称点，在圆上）三点共线，且该直线过C，两点，如图.易知所求最大值为.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理可得，
因为，
所以，所以.
因为，所以，
所以，所以.
（2）由余弦定理可得，
即，解得，
所以.
16.答案：（1）的极大值为4，极小值为0
（2）当时，；当时，
解析：（1）由题意，
所以，解得，
所以，
，
由，得或，
所以在区间和上单调递增；
由，得，
所以在区间上单调递减，
故的极大值为，极小值为.
（2）由，
令，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的最大值为或.
而，，
①当，即时，，
②当，即时，.
综上，当时，；当时，.
17.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）依题意得，解得，，
故双曲线C的方程为.
（2）依题意，得，设直线l的方程为，，.
联立整理得，
所以当时，，
所以，，
所以，即，
故直线BR的方程为.
令，得，
则，
所以
，故.
18.答案：（1）证明见解析
（2）①
②存在，
解析：（1）证明：在平面四边形PBCD中，
因为点A是线段PD上一点，，所以折叠后有，
又，平面，平面PAD，所以平面.
又平面ABCD，所以平面平面ABCD.
（2）设，则.
①如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系Axyz，
因为，，，
所以，，，，
所以，，，.
设平面PCD的法向量为，
由，得
令，则.
设平面PAB的法向量为，
由，得令，则.
设平面PAB与平面PCD的夹角为，则.
令，则，
所以当，即时，取得最大值.
②如图，由（1）知平面平面ABCD，
又因为三棱锥的四个顶点均在以G为球心的球上，
设和的外接圆圆心分别E和F，则球心为过点E和F且分别垂直于平面PAD、平面ACD的两直线的交点G，过点F作于H，连接EH，设，显然四边形GFHE为矩形，
所以.
在中，因为，所以由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
在中，，，，所以由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
所以，即，
所以，
故当时，取得最小值，即，此时三棱锥外接球的体积最小值为，
故三棱锥外接球的体积存在最小值，此时.
19.答案：（1）不是“有趣数列”；是“有趣数列”
（2）4，1，3，1，2，4，3，2或2，3，4，2，1，3，1，4
（3）证明见解析
解析：（1）①：1，2，1，2中两个2之间间隔数只有1个，故不是“有趣数列”，
②：3，1，2，1，3，2中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个，两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.
（2）当两个1中间为2，不妨设1，2，1右边两个2中间可能为1，3或1，4，
则可能为4，3，1，2，1，3，2，4或4，3，1，2，1，4，2，3，不符合题意；
当两个1中间为3，两个2中间可能为3，4或4，3，则可能为4，1，3，1，2，4，3，2或2，3，4，2，1，3，1，4，符合题意；
当两个1中间为4，不妨设1，4，1右边两个2中间可能为3，4或4，3，
则可能为1，4，1，2，3，4，2，3或1，4，1，2，4，3，2，3，不符合题意.
综上所述，“有趣数列”可能为4，1，3，1，2，4，3，2或2，3，4，2，1，3，1，4.
（3）证明：将“有趣数列”中数字第一次出现的项记作第项，
由题意可知数字k第二次出现的项数为第项，
所以，
所以，即.
又因为为整数，所以必有为整数，
当，或时，不可能为整数，不符合题意.
当时，为整数，构造“有趣数列”为
，…，，，，…，1，，1，…，，
，…，，，，…，，，
，…，2，，，2，…，，，…，，符合题意.
当时，为整数，构造“有趣数列”为
，…，，，，…，1，，1，…，，
，…，，，，…，，，，…，2，，，2，…，，，…，，，，符合题意.
这里，…，是指将一直到2m的偶数按从大到小的顺序进行排列，
，…，1是指将一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，
故1，2，…，中的“有趣数列”为3，4，7，8，…，，共个，
则所求概率.

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