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专题5.1.2 矩形（二）九大题型（一课一讲）
（内容：矩形的判定及其应用）
【浙教版】
题型一：矩形的判定定理理解
【经典例题1】24-25八年级下·全国·课后作业）有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②两组对边分别相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：四个角都相等的四边形是矩形，故①说法正确；
两组对边分别相等的四边形为平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故②说法正确；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形．故③说法正确；
故选D．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可．
【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故选：D．
【变式训练1-2】（2025·福建三明·一模）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定：三个角都是直角的四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据矩形的判定逐项判断即可得．
【详解】解：A、测量是否有三个角是直角，能判定四边形是矩形，则此项符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意；
C、测量两组对边是否分别相等，能判定四边形是平行四边形，但不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意；
D、测量对角线是否互相垂直，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意；
故选：A．
【变式训练1-3】（24-25八年级·贵州六盘水·期末）周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．利用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据．
【详解】解：由①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等，
即，，
则可判断四边形是平行四边形；
由②测量地板砖的两条对角线是否相等，
即，
则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形是矩形；
故选：A．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·重庆大足·阶段练习）下列说法中正确的是（　　）
A．两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B．有两个角相等的平行四边形是矩形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：A、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法正确，符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；
C、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；
D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【变式训练1-5】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列对矩形的判定：
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形；
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号）
【答案】（2）（4）（5）（8）
【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论．
【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确；
∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确；
∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确；
故答案为：（2）（4）（5）（8）．
题型二：添加一个条件使得四边形是矩形
【经典例题2】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，点是任意四边形中的中点，若四边形是矩形，则四边形需要满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的判定，根据三角形中位线定理，得到，，则可证明四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，那么要满足，即要满足，据此可得答案．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形中、、、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
要使四边形是矩形，那么要满足，即要满足，
故选：A．
【变式训练2-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，E、F、G、H分别是四边形的四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ）
A．有一个角是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【答案】C
【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．
【详解】解：要是四边形是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接、，两线交于O，
根据三角形的中位线定理得：，，，，
∴，，
∴四边形一定是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形一定是矩形，
故选：C．
【变式训练2-2】（2025·江苏南京·模拟预测）已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，证明四边形是平行四边形，，而，则，求得，则四边形是矩形，可判断A不符合题意；由，，证明四边形是平行四边形，则，所以，求得，则四边形是矩形，可判断B不符合题意；由，，，证明，得，可知四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，可判断C符合题意；由，，得，由，得，则，所以，则四边形是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
四边形是矩形，
故A不符合题意；
如图，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
故B不符合题意；
如图，
在和中，
，
，
，
，
四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，
不能保证四边形是矩形，
故C符合题意；
如图，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
故D不符合题意，
故选：C．
【变式训练2-3】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号）
【答案】①②④
【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故①正确．
∵,，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故②正确．
∵，
∴四边形是菱形，
故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故④正确．
故答案为：①②④．
【变式训练2-4】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可)
【答案】（或或等）
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
添加，
为矩形；
添加，
，
为矩形；
添加，
，
为矩形．
故答案为：（或或）
【变式训练2-5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴．
即．
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练2-6】（2023·山西晋城·一模）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：添加使得四边形是矩形．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
故答案为：．
题型三：利用矩形的性质和判定求线段长度
【经典例题3】为矩形内一点，，则的长为（ ）
A． B．20 C． D．30
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，正确作出辅助线，构造矩形和直角三角形是解题关键．过点作，垂足分别为，易得四边形，，，均为矩形，然后根据矩形的性质和勾股定理确定，，，的值，然后求解即可．
【详解】解：如下图，过点作，垂足分别为，
设，
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形为矩形，同理可得四边形，，均为矩形，
∴，，
∴，，
，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式训练3-1】（24-25八年级·福建福州·期末）已知的对角线、相交于点，是等边三角形，且，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．根据等边三角形的性质得出，先证明四边形是矩形，得出，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，

∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
故选：D．
【变式训练3-2】（2025·湖北十堰·一模）如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（ ）

A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的内角、矩形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系解题即可．
【详解】解：如图，过点作于，

由题意可知，四边形是矩形，
由正八边形的性质知，，
∴，
又∵，
∴，
，
∴是等腰直角三角形，
同理，也是等腰直角三角形，
又∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
同理，
∴．
故选：C ．
【变式训练3-3】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在△ABC中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线、矩形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点，结合图形取中点构造三角形的中位线是解题的关键．取中点为点，过点作于点，连接，先利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，再利用矩形的判定证明是矩形，得出即可解答．
【详解】解：如图，取中点为点，过点作于点，连接，
，，点为中点，
，，
在中，，
，
，，
，
，
，
点是的中点，点为中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是矩形，
．
故选：B．
【变式训练3-4】（24-25八年级·福建莆田·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为
【答案】
【分析】如图，过点作交于点，交于点，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是矩形，得出，根据角平分线和平行线性质得出，是等腰直角三角形，即可得，根据三角形是等腰直角三角形，得出，证明，从而得出，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-5】（24-25八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在矩形中，点是边上的一点，点、分别是、的中点，延长、交于点．若，，，则的长为
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理及其逆定理等知识，熟练运用以上知识点，利用中点作出适当的辅助线，构造全等三角形和三角形中位线是解题的关键．过点作交于点，可得是的中位线，，是的中位线，．延长交于点，易证，，．过点作于点，易证四边形是矩形，．在中，，，通过勾股定理即可求的长，从而求的长．
【详解】解：如图，
过点作交于点，
点是的中点，，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
是的中位线，
；
延长交于点，
，，
，
，；
过点作于点，
四边形是矩形，；
点是的中点，
，
在中，，，
．
故答案为 ：．
【变式训练3-6】（2025·上海黄浦·二模）如图，已知平行四边形的四个内角的平分线组成四边形，连接．如果，那么的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线．
利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用平行四边的判定和性质得出的长，根据矩形的对角线相等即可求出结果．
【详解】解：
如图所示，延长交于点，延长交于点，连接,
∵四边形是平行四边形，
，
，
又∵平分，平分，
，，
∴，
，，
同理，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
，平分，
，
∴是等腰三角形，
∴，垂直平分，
同理，，垂直平分，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
∵点分别是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：3．
题型四：利用矩形的性质和判定求最值问题
【经典例题4】（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，，，点是边上一点（不与点A、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（ ）
A．2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键．
连接，根据矩形的性质可得，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值．
【详解】解：连接，如图，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
，
当时，取得最小值，即取得最小值，
，
，
∴．
即的最小值是．
故选：D．
【变式训练4-1】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在△ABC中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（　　）
A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3
【答案】C
【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短，
此时，，
，
即最短时，，
的最小值，
故选：C．
【变式训练4-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，由可得，由勾股定理可得，由，可得，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，因而当最小时，最小，由垂线段最短可知，当时，最小，此时，进而可得，由此即可求出的最小值．
【详解】解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，
当最小时，最小，
由垂线段最短可知，当时，最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：．
【变式训练4-3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在△ABC中，，，，为边上一动点，作于，于，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，连接，由勾股定理逆定理得出，证明四边形为矩形，得出，由垂线段最短可得当时，最小，此时也最小，由等面积法求出，即可得解．
【详解】解：如图：连接，
，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵于，于，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，最小，此时也最小，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【变式训练4-4】（2025·四川广安·二模）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点分别作于点于点，连接，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了矩形的性质、垂线段最短、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：连接， 先说明四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，由垂线段最短可得时，线段的值最小，即最小；再根据含30度直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，即最小，
∵，
∴，即的最小值为3．
故答案为：3．
【变式训练4-5】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，和互相垂直，，．则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设和的交点为，分别取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质解答即可．
【详解】解：设和的交点为，分别取的中点，连接，，
则，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴ ，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∵，
∴ 三点共线时，取得最小值，最小值为，
在中，，
∵，，
∴．
∴，即的最小值为．
故答案为：．
【变式训练4-6】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，取的中点，连接，可得为的中位线，即得，得到点在射线上运动，当时，的值最小，设与相交于点，先证为等边三角形，得到，，即得，再利用平行四边形的性质可得，四边形是矩形，即得，，进而即可求解，正确作出辅助线并判断出点的运动轨迹是解题的关键．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
∵为中点，
∴为的中位线，
∴，
∴点在射线上运动，
当时，的值最小，如图，
设与相交于点，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
题型五：利用矩形的性质和判定求面积
【经典例题5】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，
∴，，
∴空白部分是平行四边形，
∵，
∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：，
∴阴影部分的面积为：，
即阴影部分的面积为．
故选：D．
【变式训练5-1】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键．
先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积．
【详解】解：∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
故选：C．
【变式训练5-2】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）．
A．30 B．35 C．40 D．60
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键．
先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵点E，F分别为边的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴，，
∵，
∴，
同理可得：，，
∴，
同理可得：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴矩形的面积为：，即四边形的面积为30．
故选：A．
【变式训练5-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，过点 D 作于点G，则四边形是矩形．可得，再根据矩形和平行四边形的性质可得．
【详解】解：如图，过点 D 作于点G，
∵ 四边形 是矩形，
∴，
．
∴ 四边形是矩形．
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【变式训练5-4】（2025·江苏徐州·一模）如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积．
【详解】解：∵是的垂直的平分线，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为：．
故答案为：．
【变式训练5-5】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积．
【详解】解：如图，连接交于G，交于H，
平行且等于，平行且等于，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
．
∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积
，
故答案为：
【变式训练5-6】（23-24八年级·宁夏银川·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，理解中点四边形，掌握中位线的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键．
根据是四边形各边的中点，可得四边形是平行四边形，，再由对角线互相垂直，可得平行四边形是矩形，由矩形的面积计算公式即可求解．
【详解】解：在中，点是的中点，
∴，
在中，点是的中点，
∴，
∴，
同理，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
已知对角线互相垂直，即，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴的面积为，
故答案为： ．
【变式训练5-7】（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴．
又∵，
∴四边形和四边形都是矩形．
，
，即，
故答案为：．
题型六：证明四边形是矩形
【经典例题6】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，；
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，点在上且平分，求出线段的长度．
【答案】(1)平行四边形是矩形；理由见解析(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形即可；
（2）由平分得，由得，所以，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可得解．
【详解】（1）解：平行四边形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练6-1】如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由．
【答案】(1)见解析(2)当时，四边形是矩形
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得证；
（2）由题意结合平行四边形的性质可得，结合当时，四边形是矩形，得出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E，F分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵E，F分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵当时，四边形是矩形，
∴，
∴．
【变式训练6-2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与DE交于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可得证；
（2）矩形的性质，得到，勾股定理逆定理，得到，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）由（1）知：四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴．
【变式训练6-3】（23-24八年级·贵州贵阳·阶段练习）在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点．
(1)试判断四边形的形状，并加以证明；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)四边形为矩形，证明见详解(2)60
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求矩形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）利用等腰三角形的性质和给出条件，证明得出对应边相等，先得出四边形为平行四边形，再根据有一个直角的平行四边形是矩形可得；
（2）利用勾股定理求出的长，利用矩形面积求解即可．
【详解】（1）解：四边形为矩形，证明如下，
∵点是中点，
，
在和中，
∵在等腰三角形中，点是中点，
，
，
又，
∴四边形为平行四边形，
又，
为矩形；
（2）解：，点是中点，
在中，由勾股定理得，
,
∴四边形的面积为．
【变式训练6-4】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，且，连接、、．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)已知条件：①；②；③平分，请从这三个条件中选择1个，使得四边形是矩形，并加以证明．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形和菱形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据四边形是平行四边形，得出，，结合已知条件可得，根据一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质、矩形的判定和菱形的判定进行解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
（2）如图，设、交于点，
若选择①；
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，不能说明四边形是矩形；
若选择②；
∵，，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
若选择③平分；
∵平分，
∴，
∵在四边形是平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【变式训练6-5】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键是．
（）由平行四边形的性质得出，，再由得出，从而证明四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定方法即可求证；
（）由（）得：四边形是矩形，则，，再由平行线的性质及等腰三角形的判定得出，然后由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（）得：四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练6-6】（2025·江苏扬州·一模）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】（1）结合平行四边形性质，利用“边角边”即可证明全等；
（2）由全等三角形性质推出，，即可证，进而证得四边形为平行四边形， 再由即可证四边形是矩形．
【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形，
，，
，
又点，分别是，的中点，，
∴，，
，
和中，
，
．
（2）解：，
，，
又，，
，
，
四边形为平行四边形，
连接，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴，
，
四边形为平行四边形，
，
又，
，
平行四边形为矩形．
题型七：矩形中实际应用题
【经典例题7】（24-25八年级·广西南宁·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料围成一个面积为300平方米矩形花园，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用和矩形的面积公式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程．
设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长；
【详解】解：设矩形花园，则，
则有，
解得：或，
墙最长可利用28米，
，
，
的长为；
【变式训练7-1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）摩天轮已经成为各大城市明信片，已知某摩天轮最低点A离地面，最高点离地面，摩天轮旋转一周需要，小凤从A点出发开始观光，摩天轮逆时针旋转后到达点B，求此时小凤离地面的高度．

【答案】此时小凤离地面的高度为
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作于点，延长，交于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再求出，然后求出，根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，最后根据可得的长，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点，
由题意得：，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴的直径，
∴，
∵摩天轮旋转一周需要，小凤从点出发开始观光，摩天轮逆时针旋转后到达点，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
答：此时小凤离地面的高度为．
【变式训练7-2】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米．
(1)求此时消防车的位置与楼房的距离的长；
(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由．
【答案】(1)米(2)不是，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，利用勾股定理解是解题关键．
（1）根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，结合图形，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意得 米，米，确定米，再由（1）中结果，结合图形即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，
∴米，
∴米，
∴米；
（2）解：不是，理由如下：
由题意得 米，米，
米，
由（1）得米；
米，
即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为8米．
【变式训练7-3】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离．
【答案】点到水平地面的距离为
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，先证明四边形是矩形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题可知，，，，
．
四边形是矩形，
．
∵，，
∴在中，由勾股定理得：，
．
答：点到水平地面的距离为．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板．
(1)求原长方形木料的面积；
(2)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由．
【答案】(1)(2)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键．
（1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可；然后再计算出原长方形木料的长为，再根据长方形的面积公式进行计算即可；
（2）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为，
大正方形木板的边长为，
原长方形木料的长为，宽为，
，
∴原长方形木料的面积为；
（2）解：不能，理由如下：
根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为，
∵，
∴这块正方形木板的边长不能为．
【变式训练7-5】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）周末小明和小红相约去游乐园，两人从轻轨出口分头行动，小明去售票处购票，然后去游乐园大门处；小红先去小卖部买饮料，然后到存包处存完包后再去大门处．如图，已知售票处在轻轨出口的正南方向240米处，游乐园大门在轻轨出口的正东方向450米处，小卖部在轻轨出口北偏东30°方向相距240米处，存包处在小卖部的正东方向且在大门的正北方向．
(1)求售票处与游乐园大门之间的距离；
(2)若小红和小明以相同的速度同时从轻轨出口出发，不计中途购票及买饮料和存包时间，请判断谁先到达游乐园大门，并说明理由．（参考数据：）
【答案】(1)米(2)小明先到达游乐园大门，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理计算解题；
（2）过点C作于点F，则是矩形，根据角的直角三角形的性质求出和长，然后分别计算两人的路程，进而根据路程比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：由题可知米，米，，
∴米，
答：售票处与游乐园大门之间的距离为米；
（2）解：小明先到达游乐园大门，理由为：
小明走过的路程为米，
过点C作于点F，则是矩形，
∴米，，
∵米，，
∴米，米，
∴米，米，
∴小红走过的路程为米米，
又∵两人速度相同，
∴小明先到达游乐园大门．
【变式训练7-6】（24-25八年级·河北·期末）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成．
(1)若生态园的面积为，求的值；
(2)为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)当或11时，生态园的面积能达到
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．
（1）根据题意得到，再根据矩形的性质得出，再由面积公式计算即可；
（2）根据题意将此时的表示出来进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
由于篱笆长为，
，
，
由题意得：，
即，
解得，
，
，
．
（2）解：由题意可得
由于篱笆长为，
，
解得．
当或11时，生态园的面积能达到．
题型八：利用矩形的性质和判定之动点问题（压轴题）
【经典例题8】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在△ABC中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒．
(1)点在上时_______（用含的代数式表示）
(2)当点落在△ABC的边上时，求的值．
(3)当被△ABC的边分成面积为的两部分时，求的值．
(4)连结，当与△ABC的边平行时，直接写出的值．
【答案】(1)(2)或(3)或
(4)当与△ABC的边平行时，或或或
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据题意表示出，即可求解；
（2）分当落在上时，当在上时，得出四边形是矩形，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）同（2）分两种情况讨论，根据题意得出或；或，建立方程解方程，即可求解；
（4）根据题意，分四种情况讨论，找到等量关系，建立方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，
∴
∴
∵在上的速度为每秒1个单位，
∴重合时，
∵在上的速度变为每秒个单位，
∴
故答案为：．
（2）解：如图所示，当落在上时，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∴
∴
∵动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，
∴，则
∴
解得：
如图， 当在上时，
同理可得四边形是矩形，，则
∴
∵
∴
解得：
综上所述，当点落在的边上时，或
（3）解：如图所示，当在上时，设，交于点，此时
在中，，，则
∴
∵，则
∴
∴，
依题意或
∴
解得：或（舍去）
或
解得：（舍去）
如图，当在上时，设，交于点，此时
在中，
∴，
又
∴
∵
∴
∴
依题意或
∴
解得：或（舍去）
或
解得：（舍去）或（舍去）
综上所述，或
（4）解：如图所示，当在上时，设，交于点，交于点，连接，此时
当时，
∴
∴，则
由（3）可得，
∴
∵，则
在中，，则
∴
∴
∴
解得：
如图所示， 时，在上时，此时
延长交于点，
∵，
∴，
∴
∴四边形是矩形
∴
又∵
∴
∴
又∵，
∴
解得：
如图，当时，在上时，此时
延长交于点，
同理可得，即
∵，
∴
解得：
如图，当时，在上时，此时，设交于点，交于点，
∵，
∴
依题意，，
∴，
∴
在中，，
∴
∴
在中，
又∵
∴
解得：
综上所述，当与△ABC的边平行时，或或或．
【变式训练8-1】（24-25八年级·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
(1) cm；
(2)当 秒时，四边形成为矩形．
(3)当t为多少时，？
(4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)18(2)6(3)4(4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒．
【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度；
（2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可；
（3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论；
（4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【详解】（1）如图，过D点作于E，
∵，，
∴ ，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）根据题意得：，，则， ，
∵，
∴当时，四边形为矩形，
即，解得秒，
故当秒时，四边形为矩形；
（3）根据题意得：，，则， ，
时，如图，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴秒；
（4）是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，即，
∴；
②当时，，
即，
∴；
③如图，当时，则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得： ．
故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒．
【变式训练8-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，∠B=90°，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为．
(1)当取何值时，四边形为平行四边形？
(2)当取何值时，四边形为矩形？
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）当时，四边形为平行四边形，根据列出关于t的方程，解方程即可；
（2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：如图，，
当时，四边形为平行四边形．
根据题意，，，
，
解得，
当时，四边形为平行四边形．
（2）解：如图，，，
当时，四边形为矩形．
根据题意，，，
，
解得，
当时，四边形为矩形．
【变式训练8-3】（24-25八年级下·河南·期末）如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．

(1)求四边形的面积；
(2)、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)(2)秒或秒或秒或秒
【分析】（1）设运动时间为，则，，由矩形的性质可得，，，进而可得，然后根据梯形的面积公式即可得出答案；
（2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，于是可得，，然后分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为，
则，，
四边形是矩形，
，，，
，
∴四边形的面积；
（2）解：设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，
，
，
分三种情况讨论：
①当时，
如图，过作于，

易得四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
解得：或；
②当时，
如图，过作于，

易得四边形为矩形，
，，
，
，
，
解得：；
③当时，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形．
【变式训练8-4】（2025·吉林长春·一模）如图①，在中，，，动点P从点B出发，沿折线BC-CA向终点A运动，点P不与点A重合，以BP为边，在BC的上方作等边．
(1)当点P在BC上运动时，①______度；
②线段______．
(2)如图②，当点P在BC上运动时，连接CM，当的周长最小时，求线段CP的长，并写出此时的面积；
(3)当点M与△ABC的顶点所连线段垂直于△ABC的某一边时，直接写出BP的长．
【答案】(1)①15，②4；(2)线段CP的长为2；的面积为
(3)或或
【分析】（1）①根据题意得，由旋转得为等边三角形，则，利用角度和差关系即可求得；②由等边三角形的性质得，结合即可；
（2）同理得，，
，由于，当时，最小，的周长最小，利用等边三角形的性质求得、和，即可得点QM到的距离为，利用面积公式求解即可；
（3）分三种情况：当点P在上运动时， ；当点P在上运动时， ；当点P在上运动时， ，分别利用矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：①∵在中，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵在BC的上方作等边
∴，
则，故答案为：；
②∵在BC的上方作等边
∴为等边三角形，
∴，
当P在上，
则线段，
故答案为：4；
（2）解：同理得，
，
∵
∴当时，最小，的周长最小，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
则，即，
∵点M到的距离为
∴；
（3）解：①当点P在上运动时，满足交于点F，过点P作于点D，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，即，解得（负值舍去）；
则；
②当点P在上运动时，满足，过点M作于点D，如图，
则四边形为矩形，
∴，,
同理可得，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则为等腰直角三角形，
设，则，，
在中，，即，解得（负值舍去）；
则；
③当点P在上运动时，满足，如图，
则，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，解得（负值舍去）；
则，
综上所述，或或．
题型九：矩形的性质和判定综合（压轴题）
【经典例题9】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．
(1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值；
(2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；
(3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小；
(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．
【答案】(1)(2)(3)；(4)
【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）只要证明即可解决问题；
（2）如图， 连接， 作于，然后证明 ，可得由此即可解决问题；
（3）①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，运用勾股定理求出x值即可；
②如图中， 当点在上时，的值最大，的面积最小；
（4）如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴， ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图2， 连接， 作于， 则，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴， 即，
∴，
∴，
∵，，
，
∴与的函数关系式；
（3）解：①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，
在中，，
∴的最大值，
②如图中，当点在上时，的值最大，的面积最小，
此时易证，
∵，
，
；
故答案为：；；
（4）解：如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，即点运动的路线长的长，即，
故答案为：．
【变式训练9-1】（24-25八年级·吉林·阶段练习）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为．
(1)填空： ________， ________（用含的代数式表示）；
(2)当是等腰直角三角形时，求的值；
(3)当的长为时，求的值；
(4)当的面积等于矩形面积的时，直接写出此时的值．
【答案】(1)，(2)(3)的值为或(4)的值为或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）根据路程速度时间可得，，再根据矩形的性质和线段的和差可表示出；
（2）由矩形的性质可得，结合等腰直角三角形的性质可得，即，即可求解；
（3）根据勾股定理列出一元二次方程即可求解；
（4）根据题意可得，再求出矩形的面积，最后根据的面积等于矩形面积的，列方程即可求解．
【详解】（1）解：设运动时间为，
根据题意得：，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：，；
（2）四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：，
当是等腰直角三角形时，的值为；
（3），，
，即，
解得：或，
当的长为时，的值为或；
（4），，，
，
矩形的边长，，
，
的面积等于矩形面积的，
，
解得：或，
当的面积等于矩形面积的时，的值为或．
【变式训练9-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）面积法是解决几何问题的一个很好的方法，我们常通过等积变换，图形分割解决线段间数量关系，在很多几何问题的解决过程中已有所体现．
(1)在中，，分别以为边向形外作正方形，正方形，正方形，若记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为．
①如图1，直接写出间满足的数量关系，不需要说明理由．
②如图2，过点作的垂线，垂足为，交于，记矩形的面积为，求的值．
(2)如图3，在中，，分别以为边向形外作矩形，矩形，矩形，过点作的垂线，垂足为，交于，交的延长线于点．若记矩形的面积为，矩形的面积为，当时，判断与间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①；②1(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知勾股定理和矩形的性质是解题的关键．
（1）①根据正方形面积计算公式和勾股定理进行求解即可；②设，则，利用勾股定理可得，，则可推出，进而得到，则可证明，据此可得答案；
（2）延长交于R，可证明，得到，则可证明；再证明四边形是平行四边形，得到，结合，且，即可证明，即．
【详解】（1）解：①由题意得，，
在中，，则由勾股定理可得，
∴；
②解：设，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
（2）解；，理由如下：
如图所示，延长交于R，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，且，
∴，即．
【变式训练9-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接．
(1)如图1，若点落在边上，求证：；
(2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长；
(3)若是以为底的等腰三角形，求的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题；
（2）结合（1）的方法，再利用勾股定理即可求的长；
（3）当是以为底的等腰三角形时，即当时，证明，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
；
（2）解：如图2，，，三点在同一条直线上，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
，
是的中点，
，
在矩形中，
，，，
，
，
如图，连接，
是的中点，，
，
，
点是的中点，
是的中位线
，，
由翻折可知：，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
，
；
（3）解： 如图，延长交于点，
，，
，
，
四边形为矩形，
当以为底的等腰三角形时，则，
，，，
，
，
设，则，
在中，，
则可得，
可得，
，
，
，
在中，，
即，
解得，即．
【变式训练9-4】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标是，顶点C在y轴上，顶点B在第一象限，对角线，交于点D，将沿翻折使点O的对应点落在坐标平面内的点E处，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，点P在对角线上运动，当以P，A，E为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．
【答案】(1)见解析(2)(3)或
【分析】（1）根据矩形的性质可知，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，得出，即可证明结论；
（2）根据矩形的性质得出，，，证明为等边三角形，得出，求出，得出，求出；
（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴．
∵将沿翻折后得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴当点P在线段上运动且不与点A重合时，．
∴当是等腰三角形时，或．
如图2，当时，点P与点D重合，作于点G．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴， ．
∴．
∴，
如图3，当时，作于点H．
则，
∴，
∴，
∴，
综上可知，点P的坐标为或．
【变式训练9-5】（24-25八年级下·湖北·期中）在平面直角坐标系中，已知矩形．
(1)如图1，若点，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处，
①点E的坐标为：________；②线段的长为：________；
(2)如图2，在（1）的前提下，P是y轴上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标；
(3)如图3，若点，，点F是边上的动点，过点F作的垂线交直线于点H，交直线于点G，求的最小值．
【答案】(1)①；②(2)点P的坐标为或或或(3)
【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，轴对称的性质；
（1）①根据矩形的性质和折叠得到，，，则，即可求出；
②设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可；
（3）作关于的对称点，作关于轴的对称点，连接，，，则，，，，，当、、都在线段上时，最小，此时证明，得到，，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：①∵矩形，，
∴，，，
∵将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处，
∴，，，
∴，
∴，，
故答案为：；
②设，则，
∵中，，
∴，解得，
∴，
故答案为：；
（2）解：在（1）的前提下，，，，
设，
∴，，
∵为等腰三角形，
∴当时，，
即，
解得，此时；
当时，，
即，
解得或，
此时或；
当时，，
即，
解得，
此时；
综上所述，若为等腰三角形，点P的坐标为或或或；
（3）解：∵矩形，点，，
∴，，，，
作关于的对称点，作关于轴的对称点，连接，，，
∴，，，，
∴，
∴当、、都在线段上时，最小，
∵过点F作的垂线交直线于点H，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【变式训练9-6】（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点．
(1)若，请求出的值；
(2)求证：是的中点；
(3)请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)见解析(3)是定值，为
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
（1）根据矩形的性质及角平分线得出是等腰直角三角形，结合题意及线段长即可得出结果；
（2）根据题意及各角之间的关系确定，，，再由全等三角形的判定和性质即可证明；
（3）由（2）得，设，则，确定，，，再由全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，由勾股定理得出，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点，
∴，，
∴与是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
即是的中点；
（3）是定值，理由如下：
由（2）得，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1.2 矩形（二）九大题型（一课一讲）
（内容：矩形的判定及其应用）
【浙教版】
题型一：矩形的判定定理理解
【经典例题1】24-25八年级下·全国·课后作业）有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②两组对边分别相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练1-1】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
【变式训练1-2】（2025·福建三明·一模）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
【变式训练1-3】（24-25八年级·贵州六盘水·期末）周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【变式训练1-4】（24-25八年级下·重庆大足·阶段练习）下列说法中正确的是（　　）
A．两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B．有两个角相等的平行四边形是矩形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【变式训练1-5】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列对矩形的判定：
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形；
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号）
题型二：添加一个条件使得四边形是矩形
【经典例题2】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，点是任意四边形中的中点，若四边形是矩形，则四边形需要满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，E、F、G、H分别是四边形的四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ）
A．有一个角是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【变式训练2-2】（2025·江苏南京·模拟预测）已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是( )
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号）
【变式训练2-4】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可)
【变式训练2-5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
【变式训练2-6】（2023·山西晋城·一模）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可）
题型三：利用矩形的性质和判定求线段长度
【经典例题3】为矩形内一点，，则的长为（ ）
A． B．20 C． D．30
【变式训练3-1】（24-25八年级·福建福州·期末）已知的对角线、相交于点，是等边三角形，且，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式训练3-2】（2025·湖北十堰·一模）如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（ ）

A．8 B． C． D．
【变式训练3-3】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在△ABC中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（ ）

A．2 B． C． D．
【变式训练3-4】（24-25八年级·福建莆田·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为
【变式训练3-5】（24-25八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在矩形中，点是边上的一点，点、分别是、的中点，延长、交于点．若，，，则的长为
【变式训练3-6】（2025·上海黄浦·二模）如图，已知平行四边形的四个内角的平分线组成四边形，连接．如果，那么的长为 ．
题型四：利用矩形的性质和判定求最值问题
【经典例题4】（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，，，点是边上一点（不与点A、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（ ）
A．2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
【变式训练4-1】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在△ABC中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（　　）
A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3
【变式训练4-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式训练4-3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在△ABC中，，，，为边上一动点，作于，于，则的最小值为 ．
【变式训练4-4】（2025·四川广安·二模）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点分别作于点于点，连接，则的最小值为 ．
【变式训练4-5】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，和互相垂直，，．则的最小值为 ．
【变式训练4-6】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是
题型五：利用矩形的性质和判定求面积
【经典例题5】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练5-1】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
【变式训练5-2】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）．
A．30 B．35 C．40 D．60
【变式训练5-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】（2025·江苏徐州·一模）如图，Rt△ABC中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ．
【变式训练5-5】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ．
【变式训练5-6】（23-24八年级·宁夏银川·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ．
【变式训练5-7】（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ．
题型六：证明四边形是矩形
【经典例题6】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，；
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，点在上且平分，求出线段的长度．
【变式训练6-1】如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由．
【变式训练6-2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与DE交于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【变式训练6-3】（23-24八年级·贵州贵阳·阶段练习）在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点．
(1)试判断四边形的形状，并加以证明；
(2)若，求四边形的面积．
【变式训练6-4】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，且，连接、、．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)已知条件：①；②；③平分，请从这三个条件中选择1个，使得四边形是矩形，并加以证明．
【变式训练6-5】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，求的长．
【变式训练6-6】（2025·江苏扬州·一模）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
题型七：矩形中实际应用题
【经典例题7】（24-25八年级·广西南宁·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料围成一个面积为300平方米矩形花园，求的长．
【变式训练7-1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）摩天轮已经成为各大城市明信片，已知某摩天轮最低点A离地面，最高点离地面，摩天轮旋转一周需要，小凤从A点出发开始观光，摩天轮逆时针旋转后到达点B，求此时小凤离地面的高度．

【变式训练7-2】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米．
(1)求此时消防车的位置与楼房的距离的长；
(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由．
【变式训练7-3】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板．
(1)求原长方形木料的面积；
(2)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由．
【变式训练7-5】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）周末小明和小红相约去游乐园，两人从轻轨出口分头行动，小明去售票处购票，然后去游乐园大门处；小红先去小卖部买饮料，然后到存包处存完包后再去大门处．如图，已知售票处在轻轨出口的正南方向240米处，游乐园大门在轻轨出口的正东方向450米处，小卖部在轻轨出口北偏东30°方向相距240米处，存包处在小卖部的正东方向且在大门的正北方向．
(1)求售票处与游乐园大门之间的距离；
(2)若小红和小明以相同的速度同时从轻轨出口出发，不计中途购票及买饮料和存包时间，请判断谁先到达游乐园大门，并说明理由．（参考数据：）
【变式训练7-6】（24-25八年级·河北·期末）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成．
(1)若生态园的面积为，求的值；
(2)为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长；如果不能，请说明理由．
题型八：利用矩形的性质和判定之动点问题（压轴题）
【经典例题8】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在△ABC中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒．
(1)点在上时_______（用含的代数式表示）
(2)当点落在△ABC的边上时，求的值．
(3)当被△ABC的边分成面积为的两部分时，求的值．
(4)连结，当与△ABC的边平行时，直接写出的值．
【变式训练8-1】（24-25八年级·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
(1) cm；
(2)当 秒时，四边形成为矩形．
(3)当t为多少时，？
(4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
【变式训练8-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，∠B=90°，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为．
(1)当取何值时，四边形为平行四边形？
(2)当取何值时，四边形为矩形？
【变式训练8-3】（24-25八年级下·河南·期末）如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．

(1)求四边形的面积；
(2)、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？
【变式训练8-4】（2025·吉林长春·一模）如图①，在中，，，动点P从点B出发，沿折线BC-CA向终点A运动，点P不与点A重合，以BP为边，在BC的上方作等边．
(1)当点P在BC上运动时，①______度；
②线段______．
(2)如图②，当点P在BC上运动时，连接CM，当的周长最小时，求线段CP的长，并写出此时的面积；
(3)当点M与△ABC的顶点所连线段垂直于△ABC的某一边时，直接写出BP的长．
题型九：矩形的性质和判定综合（压轴题）
【经典例题9】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．
(1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值；
(2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；
(3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小；
(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．
【变式训练9-1】（24-25八年级·吉林·阶段练习）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为．
(1)填空： ________， ________（用含的代数式表示）；
(2)当是等腰直角三角形时，求的值；
(3)当的长为时，求的值；
(4)当的面积等于矩形面积的时，直接写出此时的值．
【变式训练9-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）面积法是解决几何问题的一个很好的方法，我们常通过等积变换，图形分割解决线段间数量关系，在很多几何问题的解决过程中已有所体现．
(1)在中，，分别以为边向形外作正方形，正方形，正方形，若记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为．
①如图1，直接写出间满足的数量关系，不需要说明理由．
②如图2，过点作的垂线，垂足为，交于，记矩形的面积为，求的值．
(2)如图3，在中，，分别以为边向形外作矩形，矩形，矩形，过点作的垂线，垂足为，交于，交的延长线于点．若记矩形的面积为，矩形的面积为，当时，判断与间的数量关系，并说明理由．
【变式训练9-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接．
(1)如图1，若点落在边上，求证：；
(2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长；
(3)若是以为底的等腰三角形，求的长．
【变式训练9-4】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标是，顶点C在y轴上，顶点B在第一象限，对角线，交于点D，将沿翻折使点O的对应点落在坐标平面内的点E处，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，点P在对角线上运动，当以P，A，E为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．
【变式训练9-5】（24-25八年级下·湖北·期中）在平面直角坐标系中，已知矩形．
(1)如图1，若点，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处，
①点E的坐标为：________；②线段的长为：________；
(2)如图2，在（1）的前提下，P是y轴上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标；
(3)如图3，若点，，点F是边上的动点，过点F作的垂线交直线于点H，交直线于点G，求的最小值．
【变式训练9-6】（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点．
(1)若，请求出的值；
(2)求证：是的中点；
(3)请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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