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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.1.2 矩形（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．其他
2．如图，点E是矩形的对角线的中点，点F是边的中点，若，，则线段的长为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．4.5
3．如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记△BEC的面积为s，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形中，连接，过点D作，交的延长线于点E，若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
7．如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（　　）

A． B．2.4 C．3 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当（　　）s时，四边形是矩形．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形．
12．如图，折叠矩形的一边，使点C落在上的点F处，已知，则的长为 ．
13．如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形中的长为 ．

14．若矩形的周长为，两邻边的比为，则它的对角线长为 ．
15．在四边形中，．若要再添加一个条件，使四边形是矩形，那么添加的条件可以是 ，也可以是 ．
16．如图，在矩形中，是边上一点，将△CDF沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，已知，则的长是 ．
17．如图，四边形是矩形，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，，点M，N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，则 ，P在运动过程中，，则的最小值是 ．
18．如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（只需填序号）
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，、为边上两点，且，．
(1)求证：；
(2)四边形是矩形吗？为什么？
20．如图，的对角线，相交于点O，△AOB是等边三角形，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求四边形的面积；
(3)若，，连接，求线段的长．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．长方形的顶点和点均是格点，交于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中先画点，连，使四边形是平行四边形，再画，使（要求点的对应点在直线上）；
(2)在图2中，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使，垂足为．
22．某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，，均垂直于，且测得，．
(1)如图1，请计算人工湖两端点B，E之间的距离；（结果保留根号）
(2)如果最后一名同学所站的点C处恰好到点B和点E距离相等，如图2．请计算C，A两点间的距离．
23．如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）．
(1)四边形________（填“能”或“不能”）是正方形；
(2)若、分别是、的中点，连接，问：当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
24．数学实验：
对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段．
提出问题：（1）观察所得到的，和，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：
如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕、线段；
提出问题：（2）已知，，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.1.2 矩形（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．其他
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的邻角互补，角平分线的定义，注意整体思想的利用．作出图形，根据平行四边形的邻角互补以及角平分线的定义求出，同理可求都是，再根据四个角都是直角的四边形是矩形解答．
【详解】解：如图：四边形是平行四边形，
，
分别是的平分线，
，
，
，
同理可求，
∴四边形矩形，
故选：B．
2．如图，点E是矩形的对角线的中点，点F是边的中点，若，，则线段的长为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．4.5
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
先由三角形中位线定理得到的长，再利用勾股定理求出的长，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：∵是矩形的对角线的中点，是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：A．
3．如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记△BEC的面积为s，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．作于M，作于N，根据证明得，然后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：作于M，作于N，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形的面积为．
故选B．
4．如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定，由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，原选项不符合题意；
、添加不能够判定平行四边形为矩形，原选项不符合题意；
、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，原选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，原选项符合题意；
故选：．
5．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等求解．
【详解】解： 直线，
．
故选：A．
6．如图，矩形中，连接，过点D作，交的延长线于点E，若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形性质，勾股定理等．根据题意可得，再在和中应用勾股定理列式计算即可．
【详解】解：∵矩形，，，
∴，，
∴由勾股定理得，
设，
∴在中：，
∴在中：，
解得：，
∴，
故选：C．
7．如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（　　）

A． B．2.4 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短．连接，根据矩形的性质可得，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
四边形是矩形，
，
∵，，，
，
当时，取得最小值，即取得最小值，
，
．
．
即的最小值是．
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
由点是的中点，可得出点的坐标，当时，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标．
【详解】解：过点作于点，
矩形的顶点，的坐标分别为，，点是的中点，
，
，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
即
，
即点，
点，
故选：B．
9．如图，在矩形中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当（　　）s时，四边形是矩形．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点B运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点D运动，此时得到，继而得到，根据矩形的对边平行且相等，列出方程解答即可．
本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点B运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点D运动，
得到，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
当四边形是矩形时，，
∴，
解得，
故选：C．
10．已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．
由矩形的性质得，，，，又，则，故有，同理，设，，所以，，然后用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
设，，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形．
【答案】 90 矩
【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点，
根据题意可得：的面积为，
∵不变，
∴当时，面积最大，
∴，
∴是矩形，
故答案为：90，矩．
12．如图，折叠矩形的一边，使点C落在上的点F处，已知，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的折叠与勾股定理，解题关键是根据矩形的折叠得出，利用勾股定理求出，再列方程即可求解．
【详解】解：在矩形中，
，，
由折叠可知，
∴，
∴，
∵
∴，
解得，，
故答案为：．
13．如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形中的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理．由矩形的性质可证为等边三角形，可求的长，可求的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，且，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．若矩形的周长为，两邻边的比为，则它的对角线长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
设矩形的两邻边为，，由矩形的周长可得，解出，即可求出矩形的长和宽，再根据勾股定理求出对角线的长度即可．
【详解】解：设矩形的两邻边为，，
由题意可得：，
解得：，
，，
它的对角线长为：，
故答案为：．
15．在四边形中，．若要再添加一个条件，使四边形是矩形，那么添加的条件可以是 ，也可以是 ．
【答案】
【分析】本题主考查矩形的判定，掌握其判定方法是关键．
根据题意可得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴添加的条件可以是：；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴添加的条件可以是：；
故答案为：①；②．
16．如图，在矩形中，是边上一点，将△CDF沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，已知，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据矩形的性质得到，，由翻折可知，，，得到，可证明，得到，，在中，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：在矩形中，，，
由翻折可知，，，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
在中，
，
，
故答案为：．
17．如图，四边形是矩形，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，，点M，N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，则 ，P在运动过程中，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题以及三角形中位线性质，根据三角形中位线的性质得，根据直角三角形的斜边中线的性质可得，，转化所求最值为，再依据轴对称的性质得当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是，再利勾股定理解答即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∵点M，N分别是，的中点，
∴，，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
找到点C关于直线对称点Q，连接、，
，
当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是，
在中，，，
，
∴的最小值，
故答案为：；．
18．如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（只需填序号）
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出，是等腰直角三角形，然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后证明出，即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出②；求出，然后根据等角对等边可得，即可判断③；连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，
平分，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又∵，
∴，故①正确；
，
，
∴，，
，
，故②错误；
∴，
，
，
，故③正确；
连接．
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，、为边上两点，且，．
(1)求证：；
(2)四边形是矩形吗？为什么？
【答案】(1)证明见解析(2)四边形是矩形，证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和全等三角形的判定与性质，
（1）由四边形为平行四边形，则，由，故有，然后证得；
（2）由，证得，然后利用平行四边形的对边平行得到两个角均为直角，从而利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定定理．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴是矩形．
20．如图，的对角线，相交于点O，△AOB是等边三角形，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求四边形的面积；
(3)若，，连接，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
（1）由是等边三角形，，可得，根据四边形是平行四边形，进而可得，即可证明平行四边形是矩形．
（2）根据四边形是矩形，利用勾股定理即可求解；
（3）作的延长线于点H．证明四边形是平行四边形．得，根据，得，进而可得，， 用勾股定理即可求解。
【详解】（1）证明：是等边三角形，，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是矩形．
．
在中，
，
∴．
（3）解：作的延长线于点H．
，，
∴四边形是平行四边形．
，
，
，，
∴，，
∴，
∴．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．长方形的顶点和点均是格点，交于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中先画点，连，使四边形是平行四边形，再画，使（要求点的对应点在直线上）；
(2)在图2中，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使，垂足为．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理，熟知相关知识以及格点作图的方法是解题的关键．
（1）如解析图，取格点H，M，N，则格点H和即为所求；
（2）取格点S、T，连接交于点P；取格点，连接交格线于J，连接交于Q，则P、Q即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，格点H和即为所求；
（2）解：如图所示，取格点S、T，连接交于点P；取格点，连接交格线于J，连接交于Q，则P、Q即为所求；
可证明，可另外中点W，由三角形中位线定理可得，则E、W、F三点共线， 则点P即为所求；
可证明，则四边形是矩形，即可得到．
22．某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，，均垂直于，且测得，．
(1)如图1，请计算人工湖两端点B，E之间的距离；（结果保留根号）
(2)如果最后一名同学所站的点C处恰好到点B和点E距离相等，如图2．请计算C，A两点间的距离．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）过点E作于F，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理计算即可得到答案；
（2）设，则，根据勾股定理列方程得，解方程即可．
【详解】（1）解：如图，过点E作于F，
，
，均垂直于
，
四边形是矩形，
，，
∴．
．
（2）解：设，则，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
23．如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）．
(1)四边形________（填“能”或“不能”）是正方形；
(2)若、分别是、的中点，连接，问：当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)不能(2)；(3)．
【分析】（1）由题意得，则四边形不能是正方形；
（2）连接，证明四边形是矩形，求得，推出当时，四边形是平行四边形，据此求解即可；
（3）由对称的性质知是线段的垂直平分线，当点与点重合时，，利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∵，
∴四边形不能是正方形，
故答案为：不能；
（2）解：
连接，
∵矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
此时，即，
解得；
（3）解：存在实数，使得点与点重合，
连接交于点，连接，，
∵矩形，，，
∴，
∴，
∵关于直线的对称图形是，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
当点与点重合时，，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，即，
解得．
24．数学实验：
对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段．
提出问题：（1）观察所得到的，和，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：
如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕、线段；
提出问题：（2）已知，，求的长．
【答案】（1），证明见解析；（2）
【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．
（1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得；
（2）先根据折叠的性质可得，，，，，，再利用勾股定理可得，从而可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）猜想，证明如下：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴．
（2）∵，，
∴由折叠的性质得：，，，，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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