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专题 12 二次函数综合题分类训练（3 种类型 40 道）
目录
【题型 1 求参数取值范围】......................................................................................................................................1
【题型 2 比较函数值的大小】................................................................................................................................25
【题型 3 求对称轴】................................................................................................................................................36
【题型 1 求参数取值范围】
1．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 + 1( ≠ 0)．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)已知 ( 1, 1)和 ( 2, 2)是抛物线上的两点．若对于 1 = + 2， 3 < 2 < 1，都有 1 < 2，求 的取值
范围．
【答案】(1)直线 =
(2) ≥ 1或 3 < < 1
【分析】（1）将抛物线化为顶点式即可求得其对称轴；
（2）根据对称性，抛物线的增减性，建立不等式解答即可．
【详解】（1）解： ∵ = 2 2 2 + 1 = ( )2 +1 3，
∴ 抛物线的对称轴为直线 = ；
（2）解：根据题意，得抛物线的对称轴为直线 = ；
∴ 1 = + 2> ，
∴ ( 1, 1)一定在对称轴的右侧，且到对称轴的距离为 2，
当 >0时，抛物线开口向上， ( 2, 2)必在对称轴的左侧，
设 ( 2, 2)的对称点为 ′( 0, 0)，
则 2 = 2 0, 0 = 2，
∵ 3 < 2 < 1，
∴ 3 < 2 0 < 1，
∴2 + 1 < 0 < 2 + 3，
，
∵ 1 < 2，
∴ 1 < 0，
∴ + 2 ≤ 2 + 1，
∴ ≥ 1，
当 <0时，抛物线开口向下，点 ( 2, 2)在对称轴的左侧，
设 ( 2, 2)的对称点为 ( , )，
则 2 = 2 ， = 2，
∵ 3 < 2 < 1，
∴2 + 1 < < 2 + 3，
∵ 1 < 2，
∴ 1> ，
∴ + 2 ≥ 2 + 3，
∴ ≤ 1，
当 <0时，抛物线开口向下， ( 2, 2)在对称轴的右侧，
∵ 3 < 2 < 1，
∵ 1 < 2，
∴ 1> 2，
∴ + 2 ≥ 1，
∴ ≥ 3，
∴ 3 ≤ < 0，
综上所述，a 的取值范围是 ≥ 1或 3 ≤ ≤ 1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解
一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键．
2．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 ( ≠ 0)；
(1)若点 (2,0)在此抛物线上，求出此时抛物线的对称轴．
(2)若抛物线经过点 (2 1, 1), ( , 2), ( + 2, 3)，且满足( 1 3)( 3 2) > 0，求 的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线 = 1；
(2) > 3或 < 1．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
（1）把点 (2,0)代入 = 2 2 2 得 的值，代入函数根据函数顶点式即可求解；
（2）根据题意得出 ( , 2)为抛物线的顶点，分 > 0和 < 0两种情况，利用数形相结合求解即可．
【详解】（1）解：把点 (2,0)代入 = 2 2 2 ，得0 = × 22 2 2 × 2，
解得 = 1或 = 0（舍去），
∴抛物线 = 2 2 = ( 1)2 1，
∴对称轴为直线 = 1；
（2）解： = 2 2 2 = ( )2 3，
∴对称轴为直线直线 = ，
∴当 > 0时，抛物线开口向上，函数有最小值 2，
∴ 3 2 > 0，
∵( 1 3)( 3 2) > 0，
∴ 1 3 > 0，即 1 > 3，
∴|2 1 | > | + 2 |，即| 1| > 2，
当 ≥ 1时， 1 > 2，即 > 3，
∴ > 3，
当0 < < 1时，1 > 2，即 < 1，不合题意，舍去，
∴ > 3，
∴当 < 0时，抛物线开口向下，函数有最大值 2，
∴ 3 2 < 0，
∵( 1 3)( 3 2) > 0，
∴ 1 3 < 0，即 1 < 3，
∴|2 1 | > | + 2 |，即| 1| > 2，
∴1 > 2，
解得 < 1．
综上可知， 的取值范围是 > 3或 < 1．
3．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1)， (
2 2
2, 2)是抛物线 = 2 + 1( > 0)上任意两点．
(1)已知点(2,1)在抛物线上，求 的值；
(2)若对于 1 = 1， + 1 < 2 < + 2，都有 1 > 2，求 的取值范围．
【答案】(1) = 1
(2) ≥ 1
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性
和增减性，解一元一次不等式，是解题的关键．
（1）把(2,1)代入 = 2 2 2 + 1( > 0)，解方程即得；
（2）求出对称轴直线 = ，点( 1, 1)的对称点(2 + 1, 1)，根据 > 时，y 随 x 的增大而增大，解一元
一次不等式 + 2 < 2 + 1，即得．
【详解】（1）解：把(2,1)代入 = 2 2 2 + 1( > 0)，
得4 4 2 +1 = 1．
解得 = 0（舍去），或 = 1．
故 = 1．
（2）∵ = 2 2 2 + 1 = ( )2 3 +1，
∴对称轴为直线 = ．
∵ > 0，
∴当 > 时，y 随 x 的增大而增大．
∵点( 1, 1)的对称点为(2 + 1, 1)，
∴当 + 2 ≤ 2 + 1时，
即 ≥ 1时，
1 > 2．
故 的取值范围是 ≥ 1．
4．在平面直角坐标系 中，点(1, )，(3, )在抛物线 = 2 + + 4（ > 0）上，设抛物线的对称轴为
= ．
(1)当 = 时，直接写出抛物线与 轴交点的坐标及 的值；
(2)若 < < 4，求 的取值范围．
【答案】(1)抛物线与 轴交点的坐标为(0,4)， = 2
(2) 3的取值范围为2 < < 2
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与 轴交点等知识，熟练掌握二次函数的图
像与性质是解题关键．
（1）根据当 = 0时，可有 = 4，可得抛物线与 轴交点的坐标；根据点(1, )，(3, )在抛物线 = 2 + + 4
上，且 = ，易知点(1, )，(3, )关于对称轴对称，即可求得该抛物线的对称轴；
（2）将点(1, )，(3, )代入抛物线解析式，结合 < < 4可得 + + 4 < 9 + 3 + 4 < 4，进一步解得
3 < < 4 3 < < 4 ，进而可得2 2 2 ，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵当 = 0时， = 4，
∴抛物线与 轴交点的坐标为(0,4)，
∵点(1, )，(3, )在抛物线 = 2 + + 4上， = ，
∴点(1, )，(3, )关于对称轴对称，
∴ 1+3抛物线的对称轴为直线 = 2 = 2，
∴ = 2；
（2）∵ < < 4，
∴ + + 4 < 9 + 3 + 4 < 4，
解得 4 < < 3 ，
∴3 < < 4 ，
∵ > 0，
∴3 2 <

2 <
4
2 ，
3
即2 < < 2．
5．已知抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)，当 < 时，x 的取值范围是 3 < < 1 ．
(1)该抛物线的开口方向________；
(2)若该抛物线经过点 (3, 1)， ( , 2)两点，且 1 > 2，求 t 的取值范围．
【答案】(1)向上
(2) 5 < < 3
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）根据 < 时，x 的取值范围是 3 < < 1 ，可知抛物线的开口向上；
（2）根据题意，可知，当 = 时， = 3或 = 1 ，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，
进行求解即可．
【详解】（1）解：∵当 < 时，x 的取值范围是 3 < < 1 ，
∴抛物线的开口向上；
故答案为：向上；
（2）∵ < 时，x 的取值范围是 3 < < 1 ，
∴当 = 时， = 3或 = 1 ，
∴ 3+1 抛物线的对称轴为直线 = 2 = 1，
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵抛物线经过点 (3, 1)， ( , 2)两点，且 1 > 2，
∴ 1 < 3+ 2 < 3，
∴ 5 < < 3．
6．在平面直角坐标系xOy中，点( 1, )，(3, )在抛物线 = 2 + + ( < 0)上，设抛物线的对称轴为 = ．
(1)当 = 5， = 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值；
(2)点( 0, )( 0 ≠ 3)在抛物线上，若 < < ，求 的取值范围及 0的取值范围．
【答案】(1)抛物线与 y 轴交点的坐标为(0,5)， = 1
(2) 1 < 0 < 0
【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键．
（1）将 = 5代入 = 2 + + ( < 0)中，可得抛物线与 轴交点的坐标，再根据 = 可得点( 1, )与
1+3
(3, )关于抛物线的对称轴对称，即 = 2 计算即可；
（2）根据 < < ，可确定出2 > > 3 ， 结合2 < 0，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表
= 0+3示为直线 2 ，进而可确定 0的取值范围．
【详解】（1）解：当 = 5时，抛物线： = 2 + + 5
当 = 0 时， = 5；
∴ 抛物线与 轴交点的坐标为：(0,5)；
∵ = ，
∴点( 1, )与(3, )关于抛物线的对称轴对称，
∴ = = 1+32 = 1；
（2）解：∵ < < ，
∴ + < 9 + 3 + < ，
解得 2 < < 3 ，
∴2 > > 3 ， 而2 < 0，
∴1 < < 3 32 2，即1 < < 2，
∵点(3, )，( 0, )( 0 ≠ 3)在抛物线上，
∴ +3抛物线的对称轴为直线 = 02 ，
∴1 < 0+3 32 < 2，
解得： 1 < 0 < 0，
∴ 0的取值范围 1 < 0 < 0．
7．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 + 3 2( ≠ 0)．
(1)求该抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
(2)已知 ( 1, 1)， (3 , 2)是抛物线上的两个点，若对于 + 1 < 1 < + 2，都有 1 < 2，求实数 的取值
范围．
【答案】(1)( , 2)
1
(2) 2 ≤ < 0或 ≥ 1
【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键．
（1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标；
（2），分为当 > 0时及当 < 0时，两种情况分类讨论，求出实数 的取值范围．
【详解】（1）解： ∵ = 2 2 2 + 3 2 = ( )2 2( ≠ 0)
∴ 该抛物线的顶点坐标为( , 2)；
（2）解：①如图 1，当 > 0时，
∵ > 0，
∴ 3 > ．
∵ 当 > 时， 随 的增大而增大，
且对于 + 1 < 1 < + 2，都有 1 < 2，
∴ + 2 ≤ 3 ，
∴ ≥ 1；
②如图 2，当 < 0时，
记( 1, 1)关于 = 的对称点为( 3, 1)，
∵ < 0，
∴ 3 < ．
∵ 当 < 时， 随 的增大而增大，
且对于 2 < 3 < 1，都有 1 < 2，
∴ 1 ≤ 3 ，
∴ 12 ≤ < 0．
1
综上所述，实数 的取值范围为 2 ≤ < 0或 ≥ 1
8．已知抛物线 = 2 2 2 ( > 0)．
(1)抛物线过点(1, 1)，则 = _______；
(2)抛物线经过 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，若对于1 < 1 < 3，且 2 = + 2都有 1 > 2，求 的取值范围．
【答案】(1)1
(2) 的取值范围为2 ≤ < 3．
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．
（1）点(1, 1)代入计算即可求解；
（2）求得抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质即可得到关于 的不等式，解得即可．
【详解】（1）解：由题意，抛物线过点(1, 1)，
∴ 1 = × 12 2 2．
∴ = 1或 = 12．
∵ > 0，
∴ = 1．
故答案为：1；
2
（2 2 ）解：由题意，抛物线的对称轴为直线 = = ，
2
∵ > 0，
∴抛物线开口向上，
∵ ( 1, 1)， ( 2, 2)两点都在抛物线上，且对于1 < 1 < 3， 2 = + 2时，都有 1 > 2，
当0 < ≤ 1时，此时需要 2 = + 2 ≤ 不成立，舍去，
∴当1 < < 3，此时需要 2 = + 2 ≥ 且 ≥
1+3
2 ，
解得2 ≤ < 3；
当 ≥ 3时，此时需要 2 = + 2 ≤ 不成立，舍去，
综上， 的取值范围为2 ≤ < 3．
9．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = ( )2 + ( ≠ 0)，点 (2, 1)， (3 , 2)， ( , 3)是抛物线
上不同的三点．
(1)若 1 = 2，直接写出 a 的值：
(2)若对于任意的 2 < < 1，都有 3 > 2 > 1，求 a 的取值范围．
【答案】(1) = 2
2 2
(2) 2 < ≤ 3或3 < ≤ 1
【分析】题目主要考查二次函数的性质及利用函数图象求解，理解题意，结合函数图象求解是解题关键．
（1）根据题意得出对称轴为 = ，结合题意得出2 + 3 = 2 ，即可求解；
（2）设点 B、 ′关于对称轴 = 对称，分两种情况：当 > 0时，当 < 0时，分别作出相应草图，结合图
象求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 = ( )2 + ( ≠ 0)
∴对称轴为 = ，
∵ 1 = 2，
∴点 (2, 1)， (3 , 2)关于对称轴对称，
∴2 + 3 = 2 ，
解得： = 2；
（2）设点 B、 ′关于对称轴 = 对称，
当 > 0时，如图所示，点 A 在 ′对应抛物线的下方且在 = 0的右侧，
点 C 一定在对称轴左侧且在 ′点的上方，
∴ ≥ 1,2 < 3 ，
∴23 < ≤ 1；
当 < 0时，如图所示，点 A 在 = 0的右侧且在 ′的下方，
点 C 一定在 B、 ′上方的抛物线上，
∴ < 2,3 < 2，
∴ 2 < ≤ 23；
综上可得： 2 < ≤ 2 23或3 < ≤ 1．
10．已知抛物线 = 2 2 + ( ≠ 0)经过点( 2,4)．
(1)用含 a 的式子表示 c 及抛物线的顶点坐标；
(2)当 1 < < 1时，所有 x 对应的函数值 y 都满足： < 4，求 a 的取值范围．
1 2
【答案】(1) = 4 ，抛物线的顶点坐标为 , 1 4
2
(2) > 0或 3 ≤ < 0
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象和性质，掌握利用二次函数的性质是
解题的关键．
（1）把点( 2,4)代入 = 2 2 + ( ≠ 0)，可得 ， 之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标；
（2）分两种情况讨论，当 > 0时，当 < 0时，得出关于 的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：把点( 2,4)代入 = 2 2 + ( ≠ 0)，
可得4 = 4 + 4 + ，
∴ = 4 ，
则抛物线的顶点横坐标为 2 =
2 = 12 ，
2
当 = 1 1 2 1 1 4 时， = 4 = 4 = ，
1 1 4 2∴ 抛物线的顶点坐标为 ．
,
（2）解：由题意可知，当 1 < < 1时，所有 x 对应的函数值 y 都满足： < 4，
∴当 > 0时， = 1时， ≤ 4，即 2 4 ≤ 4，解得 ≥ 2；
∴ > 0；
当 < 0时， = 1时， ≤ 4，即 + 2 4 ≤ 4 2，解得 ≥ 3；
∴ 23 ≤ < 0
2
综上，当 1 < < 1时，所有 对应的函数值 都满足： < 4，则 > 0或 3 ≤ < 0．
11．已知抛物线 = 2 2 + ( ≠ 0)经过点( 2,4)．
(1)用含 a 的式子表示 c 及抛物线的顶点坐标；
(2)当 1 ≤ ≤ 1时，所有 x 对应的函数值 y 都满足： < 4，求 a 的取值范围．
1 2
【答案】(1) = 4 ，顶点坐标为
,
1 4

2
(2) > 0或 3 < < 0
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象和性质，掌握利用二次函数的性质是
解题的关键．
（1）把点( 2,4)代入 = 2 2 + ( ≠ 0)，可得 ， 之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标；
（2）分两种情况讨论，当 > 0时，当 < 0时，得出关于 的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：把点( 2,4)代入 = 2 2 + ( ≠ 0)，
可得4 = 4 + 4 + ，
∴ = 4 ，
∴ = 2 2 4 ，

则抛物线的顶点横坐标为 2 =
2
2 =
1
，
1 1 2 1 2
当 = 时， = 4 = 4 =
1 4
，
∴ 1抛物线的顶点坐标为 , 1 4
2
．

（2）解：由题意可知，当 1 ≤ ≤ 1时， = 2 2 4 所有 x 对应的函数值 y 都满足： < 4，
∴当 > 0时， = 1时， = 3 2 < 4，
= 1时， = 3 + 2 < 4，
1
而顶点纵坐标 4 < 0 < 4，如图，
∴ > 0；
当 < 0时，如图，
当 = 1时， = 3 2， = 1时， = 3 + 2，
∴ 3 2 < 3 + 2，
= 1 2时， < 4，即 + 2 4 < 4，解得 > 3；
∴ 23 < < 0，
2
综上，当 1 < < 1时，所有 对应的函数值 都满足： < 4，则 > 0或 3 < < 0．
12 (1, ) ．在平面直角坐标系 中，点 ， , 是抛物线 = ( )2( > 0)上的两点（ ， 不重合）．2
(1)若 = ，求 的值；
(2)若点 ( 0, )在抛物线上，且对于 + 1 < 0 < + 2，都有 < < ，求 的取值范围．
2
【答案】(1) = 3
(2) 2 ≤ ≤ 1
【分析】本题考查了二次函数的图像上的点的坐标特征，解题的关键是掌握 > 0时，离对称轴越近的点，
其纵坐标越小，再分类讨论可得答案；

（1）由 = 可得对称轴是直线 = = 1+ 22，解得： =
2 3
；
（2）由 > 0，可知离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案；
【详解】（1）解：由题意得，
∵ = ，点 (1, ) ， , 是抛物线 = 2 ( )
2( > 0)上的两点，

∴ 对称轴是直线 = = 1+2，
2
∴ = 23，
（2） ∵ 抛物线 = ( )2( > 0)，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线 = ，
∵ 点 ( 0, )在抛物线上，且对于 + 1 < 0 < + 2，
∴ 点 ( 0, )在对称轴右侧，
∴ 点 ( 0, )关于对称轴的对称点为(2 0, )，
当 ≤ 0时，
∵ < < ，
+ 2 ≤ 1
∴ + 2 ≥ ，
2
∴ 2 ≤ ≤ 1
当 > 0时，
+ 2 > 1，则 > ，不符合题意；
综上所述， 的取值范围是 2 ≤ ≤ 1
13．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1), ( 2, 2)是抛物线 =
2 + + ( > 0)上任意两点，设抛物线的
对称轴为直线 = ．
(1)若对于 1 = 1, 2 = 2，有 1 = 2，求 的值；
(2)若对于0 < 1 < 1, 1 < 2 < 2，都有 1 ≠ 2，求 的取值范围．
3
【答案】(1) = 2
1 3
(2) ≤ 2或 ≥ 2
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）分 1 < 2和 1 > 2两种情况，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：∵对于 1 = 1， 2 = 2有 1 = 2，
= ∴ 1
+ 2 3
抛物线的对称轴为直线 2 = 2，
∵抛物线的对称轴为 = ．
∴ = 32；
（2）解：∵当0 < 1 < 1，1 < 2 < 2，
∴1
1+ 2 3
2 < 2 < 2， 1 < 2，
当 1 < 2， > 0，
∴ ( 1, 1)离对称轴更近， 1 < 2，则 ( 1, 1)与 ( 2, 2)连线的中点在对称轴的右侧，
+
∴ 1 22 > ，
1
即 ≤ 2．
当 1 > 2， > 0，
∴ ( 2, 2)离对称轴更近， 1 < 2，则 ( 1, 1)与 ( 2, 2)连线的中点在对称轴的左侧，

∴ 1
+ 2
2 < ，
∴ ≥ 32．
1 3
综上可知， ≤ 2或 ≥ 2．
14．在平面直角坐标系 中，点 (3, )，点 (5, )在抛物线 = 2 + + ( > 0)上．设抛物线的对称轴
为直线 = ．
(1)若 = ，求 t 的值；
(2)点 ( 0, )在该抛物线上，若对于0 < 0 < 1都有 < < ，求 t 的取值范围．
【答案】(1) = 4
(2)3 ≤ < 4
【分析】本题考查了二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)性质，熟悉相关结论是解题关键．
（1）由题意得5 = 3，据此即可求解；
（2）分类讨论①当 < 时，②当 < 时，两种情况即可求解；
【详解】（1）解： ∵ 点 (3, )，点 (5, )在抛物线 = 2 + + ( > 0)上，
且 = ，抛物线的对称轴为 = ，
∴ 5 = 3，
∴ = 4．
（2）解： ∵ 点 (3, )，点 (5, )，点 ( , )在抛物线 = 20 + + ( > 0)上，
∴ = 9 + 3 + ， = 25 + 5 + ， = 20 + 0 + ．
∵ < <
∴ < 且 < ．
①当 < 时，有9 + 3 + < 25 + 5 + ，
∴ 9 + 3 < 25 + 5
∴ 8 + > 0
∴ > 8
∵ > 0
∴ < 0.

∴ 2 < 4

∵ 2 =
∴ < 4
②当 < 时，有25 + 5 + < 20 + 0 + ，
∴ 5 0 <
2
0 25 ．
∴ (5 0) < ( 0 +5)( 0 5)．
∵ 0 < 0 < 1
∴ < ( 0 +5)．
0 + 5∴ 2 > 2
∴ ≥ 3．
综上：3 ≤ < 4．
15．在平面直角坐标系 中， ( 21, 1)， ( 2, 2)是抛物线 = + + ( > 0)上任意两点，设抛物线
的对称轴为 = ．
(1)若对于 1 = 3, 2 = 4，有 1 = 2，求 t 的值；
(2)若对于2 < 1 < 3,3 < 2 < 4，都有 1 < 2，求 t 的取值范围．
7
【答案】(1)2
(2) ≤ 52
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得( 1, 1)离对称轴更近， 1 < 2，则( 1, 1)与( 2, 2)的中点在对称轴的右侧，根据对称性
1 < 1+ 2 < 3 1+ 2求得2 2 2，进而根据 2 > ，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于 1 = 3, 2 = 4有 1 = 2，

∴ 1
+ 2 7
抛物线的对称轴为直线 = 2 = 2，
∵抛物线的对称轴为 = ．
∴ = 72；
（2）解：∵当2 < 1 < 3,3 < 2 < 4，
+
∴5 1 2 72 < 2 < 2， 1 < 2，
∵ 1 < 2， > 0，
∴( 1, 1)离对称轴更近， 1 < 2，则( 1, 1)与( 2, 2)的中点在对称轴的右侧，
1+ ∴ 22 > ，
5
即 ≤ 2．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 = + + ( > 0)的对称轴为 = ，点 ( , )， (2 , )，
( 0, 0)在抛物线上．
(1)当 = 2时，直接写出 m 与 n 的大小关系；
(2)若对于 5 < 0 < 6 都有 > 0 > 求 t 的取值范围．
【答案】(1) >
(2) ≤ 6或2 ≤ ≤ 52
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键．
（1）由 = 2 + + ( > 0)，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当 = 2
时，对称轴为 = 2， (1, )， (4, )，由4 2 > 2 1，可得 < ；
（2）分当 < 0，0 ≤ < 5，5 ≤ < 6， ≥ 6四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，
函数值越大，确定关于 的不等式，然后求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：∵ = 2 + + ( > 0)，
∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
当 = 2时，对称轴为 = 2， ( 2, )， (4, )，
∵2 ( 2) > 4 2，
∴ > ；
（2）解：当 < 0时，如图 1，
∴ ( , )在抛物 线段上， (2 , )在 段上， ( 0, 0)在 上，
∵对于5 < 0 < 6，都有 > 0 > ，
∴ ≥ 6且 > 2 ≥ 2 5，
且 < 0，
解得： ≤ 6；
当0 ≤ < 5时，如图 2，
∵对于5 < 0 < 6，都有 > 0 > ，
∴ ≤ 2 6且0 < 2 ≤ 5，
2 ≤ ≤ 5解得： 2；
当5 ≤ < 6时，如图 3，
∵对于5 < 0 < 6，都有 > 0 > ，
又∵ 0在图象中已包含最小值，
∴不存在 0 > 的情况，即此种情况舍去；
当 ≥ 6时，如图 4，
∵对于5 < 0 < 6，都有 > 0 > ，
又∵2 > 2 5，
∴ > 0，即此种情况与题意不符，舍去；
综上所述，t 的取值范围为 ≤ 6或2 ≤ ≤ 52．
17．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1), ( 2, 2)为抛物线 = ( )
2 +2( ≠ 0)上任意两点，其中 1 <
2．
(1)若 = 1且 1 = 2，求 1 + 2的值．
(2)已知 = 1且 > 0，若对于 < 1 < 2 < 2 ，都有 2 < 2 1，求 t 的取值范围．
【答案】(1)2
(2)0 < < 2
【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函
数的图像和性质．
（1）根据 = 1，得出抛物线的对称轴为直线 = 1，即可确定 ( 1, 1), ( 2, 2)两点关于直线 = 1对称，
根据抛物线对称性即可求解．
（2）根据 = 1得出抛物线为 = ( )2 +2， ( 1, 1), ( 2, 2)在直线 = 右侧，且 ( 1, 1)在 ( 2, 2)的
左侧，根据若对于 < 1 < 2 < 2 ，都有 2 < 2 1，
即可确定( 2)max < (2 1)min，即可求解；
【详解】（1）若 = 1，则抛物线为 = ( 1)2 +2( ≠ 0)，
故抛物线的对称轴为直线 = 1，
∵ 1 = 2， 1 < 2，
故 ( 1, 1), ( 2, 2)两点关于直线 = 1对称，
∴ 1 + 2 = 2 × 1 = 2．
（2）若 = 1，则抛物线为 = ( )2 +2，
抛物线的对称轴为直线 = ，且 > 0，
∵抛物线开口向上，故当 > 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ ( 1, 1), ( 2, 2)在直线 = 右侧，且 ( 1, 1)在 ( 2, 2)的左侧，
若对于 < 1 < 2 < 2 ，都有 2 < 2 1，
则( 2)max < (2 1)min，
∵ 2 < 1 <
2
2 < +2，
∴ 2 + 2 ≤ 2 × 2，
解得： 2 ≤ ≤ 2，
∴0 < ≤ 2．
18．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1)， ( , 2)， ( + 2, 3)三点都在抛物线 =
2 2 + 4( > 0)上，
(1)这个抛物线的对称轴为直线_________；
(2)若无论 t 取何值，点 A、B、C 中至少有两点在 x 轴上方，结合函数图象，求 a 的取值范围．
【答案】(1) = 1
(2)0 < < 163
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关
系是解题的关键．
（1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程；
（2）有两种情况满足题意，①当抛物线与 x 轴有一个交点或者没有交点时，②函数图像与 x 轴有交点，
且两个交点的距离小于 1 时，分类讨论求解即可；
2
【详解】（1）解：对称轴为 = 2 = 1，
故答案为： = 1；
（2）解：∵ > 0，
∴抛物线 = 2 2 + 4的图象开口朝上，
无论 取任何实数，点 ， ， 中都至少有两个点在 轴的上方，
有两种情况满足题意，
①当抛物线与 x 轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意，
即Δ ≤ 0，
∴( 2 )2 4 × × 4 ≤ 0，
化简得4 ( 4) ≤ 0，
∵ > 0，
∴ 4 ≤ 0，
解得 ≤ 4，
∴此时0 < ≤ 4；
②函数图象与 x 轴有交点，且两个交点的距离小于 1 时满足题意，
此时三点中，水平距离最近的 A 和 B 不能同时在 x 轴下方，
临界情况 A、B 两点分别是这两个交点，
∵对称轴为 = 1，
∴ = 1+ 2 = 1，
3 1 3
得 = 2，则有： ,0 ， 2 2 ,0 ，
1 16此时 ,0 代入 = 2 2 + 4，解得 = 3 ，2
∵在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小，
∴ 16此时 < 3 ；
16
综上所述，0 < < 3 ．
19．在平面直角坐标系 中， ( , 21 1)， ( 2, 2)是抛物线 = + + 上任意两点．设抛物线的对称
轴是 = ．
(1)若对于 1 = 2， 2 = 1，有 1 = 2，求 的值；
(2)若对于 1 ≥ 2，都有 1 < 成立，并且对于 2 > 1，存在 2 > ，求 的取值范围．
【答案】(1) = 12
1
(2)2 < < 1
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，解题的关键在于分类讨论，借助于图象
及不等式的性质进行求解．
（1）根据对称点即可求对称轴；
（2）由题意可知，抛物线 = 2 + + 与 轴的交点为(0, )，①当 > 0时，抛物线开口向上，不成立；
1
②当 < 0时，抛物线开口向下，且经过(0, )，(2 , )，若抛物线经过点(1, )，则 = 2，若抛物线经过点
(2, )，则 = 1 1，（i）当 ≤ 2时， ≤ 0 < 1或0 < < 2 ≤ 1
1
，不合题意，（ii）当2 < < 1时， < 1 < 2 < 2，
1
因此对于 2 > 1，存在 2 > ，对于 1 ≥ 2，都有 1 < ，所以2 < < 1成立；（iii）当 ≥ 1时，0 < 2 ≤ 2 不
1
合题意，故2 < < 1．
【详解】（1）解：由题意得(2, 1)与( 1, 2) 对称轴对称，
∴ = 2 1 12 = 2；
（2）解：由题意可知，抛物线 = 2 + + 与 轴的交点为(0, )，
①当 > 0时，抛物线开口向上，
∴ 当 1 ≥ 2时， 1有最小值，没有最大值，
∴ 与“对于 1 ≥ 2，都有 1 < ”不符，所以不合题意，
∴ > 0不成立．
②当 < 0时，抛物线开口向下，且经过(0, )，(2 , )，
1
若抛物线经过点(1, )，则 = 2，
若抛物线经过点(2, )，则 = 1，
1
（i）当 ≤ 2时， ≤ 0 < 1或0 < < 2 ≤ 1，
∴ 对于 2 > 1，都有 2 < ，
与“对于 2 > 1，存在 2 > ”不符，所以不合题意，
1
（ii）当2 < < 1时， < 1 < 2 < 2，
∴对于 2 > 1，存在 2 > ，
∴ 对于 1 ≥ 2，都有 1 < ，
∴ 1 2 < < 1成立；
（iii）当 ≥ 1时，0 < 2 ≤ 2
∴ 当 1 = 2时， 1 > ，
与“对于 1 ≥ 2，都有 1 < ”不符，所以不合题意，
1
综上所述：2 < < 1．
20．在平面直角坐标系 中，点 (2, )， (4, )在抛物线 = 2 2 + 上．
(1)若 = ，求 b 的值；
(2)若点 ( 0, )在抛物线上，对于0 < 0 < 1，都有 < < ，求 b 的取值范围．
【答案】(1)3
3
(2)2 ≤ ≤ 2
【分析】本题考查了二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点
的坐标满足其表达式，从而根据不等式求参数的范围．
（1）根据点 (2, )， (4, )在抛物线上，且 = ，可求得 的值；
（2）根据题意，可知点 (2, )， (4, )， ( 0, )在抛物线 =
2 2 + 上，再由0 < 0 < 1， < <
即可求得 的范围．
= 2 【详解】（1）解：由题意，抛物线的对称轴为 2 = ．
∵ 点 (2, )， (4, )在抛物线 = 2 2 + 上，且 = ，
∴ 4 = 2．
∴ = 3．
（2） ∵ 点 (2, )， (4, )， ( 20, )在抛物线 = 2 + 上，
∴ = 4 4 + ， = 16 8 + ， = 20 2 0 + ．
∵ < ，
∴ > 0．
即 20 2 0 + (4 4 + ) > 0，( 0 2)( 0 + 2 2 ) > 0．
∵ 0 < 0 < 1，
∴ 0 2 < 0，
∴ 0 +2 2 < 0， 0 < 2 2，
∴ 2 2 ≥ 1，
∴ ≥ 32．
∵ < ，
∴ < 0．
即 20 2 0 + (16 8 + ) < 0，( 0 4)( 0 + 4 2 ) < 0，
∵ 0 < 0 < 1，
∴ 0 4 < 0，
∴ 0 +4 2 > 0，
0 > 2 4，
∴ 2 4 ≤ 0，
∴ ≤ 2．
综上所述，b 3的取值范围是2 ≤ ≤ 2．
【题型 2 比较函数值的大小】
21．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 +(1 ) 1( ≠ 0)的对称轴为直线 = ．
(1)① = ____________（用含 a 的式子表示）；
②当 = 1时，求该抛物线与 x 轴的公共点的坐标；
(2)已知点(3, 1)，(
1
2, 2)，(
3
2 2, 3)在该抛物线上，若 > 0，比较 1， 2， 3的大小，并说明理由．
1
【答案】(1)① 2 ；②(1,0)；
(2) 2 < 1 < 3，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函
数的基本性质是解决函数问题的关键．
（1）①根据二次函数的对称轴公式求解即可；
②首先根据 = 1求出 = 1，然后得到抛物线解析式为 = 2 +2 1，然后令 = 0求解即可；
（2）根据二次函数的图象和性质求解即可．
1
【详解】（1）①对称轴为直线 = = 2 ；
②∵ = 1，
∴ 12 = 1，
∴ = 1，
∴抛物线解析式为 = 2 +2 1，
∴令 = 0，得0 = 2 +2 1，
解得 = 1，
∴抛物线与 x 轴的公共点的坐标为(1,0)．
（2）∵ > 0，
∴当 ≥ 时，y 随 x 的增大而增大；当 ≤ 时，y 随 x 的增大而减小．
∵ = 1 1 12 = 2 2 ，
∴ < 12，
∵ < 12 < 3，
∴ 2 < 1，
∵( 3 2, ) = (3 + 12 3 关于 的对称点为 2 , 3)，
∴ < 3 < 3 + 12 ，
∴ 1 < 3，
∴ 2 < 1 < 3．
22．在平面直角坐标系 中，点 ( 1, )和点 (4, )在抛物线 = 2 + 2（ > 0）上，设抛物线的对
称轴为 = ．
(1)若 = 1， = 6，求 t 的值；
(2)已知点 3(1, 1)， , 2 在该抛物线上，若 > 2， < 2，比较 1， 2的大小，并说明理由．2
【答案】(1)1
(2) 1 > 2，见解析
【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函
数的对称性计算是解题的关键．
（1）把点 ( 1,1)和点 (4,6)代入 = 2 + 2得出关于 、 的二元一次方程组，解方程组求出 、 的值，
根据对称轴方程即可得答案；
（2）根据 > 0得出当 > 时，y 随 x 的增大而增大，判断出( 1, )，(0, 2)在对称轴的左侧，根据二次函
数的对称性得出点(0, 2)关于对称轴 = 的对称点坐标为(2 , 2)，点 (1, 1)关于对称轴 = 的对称点坐标
3
为(2 1, 1)，进而得出2 1 > 2 即可得答案．
【详解】（1）解：∵ = 1， = 6，
∴把点 2 = 1( 1,1)和点 (4,6)代入 = 2 + 2得： 16 + 4 2 = 6 ，
= 1
解得： = 2 ，
∵对称轴为 = ，
∴ = 2 = 1．
（2）∵ > 0，
∴当 > 时，y 随 x 的增大而增大．
令 = 0，得 = 2，
∴抛物线与 y 轴交点坐标为(0, 2)．
∵ > 2， < 2， 1 < 0 < 4，
∴( 1, )，(0, 2)在对称轴的左侧，
设点(0, 2)关于对称轴 = 的对称点坐标( 0, 2)，
∴ 0 = 0．
∴ 0 = 2 ．
∴点(0, 2)关于对称轴 = 的对称点坐标为(2 , 2)．
∵ < 2，
∴ 2 > 4．
∴ > 2．
∴ 3点 (1, 1)在对称轴左侧，点 在对称轴右侧．2 , 2
设点 (1, 1)关于对称轴 = 的对称点坐标( ′0, 1)，
∴ ′0 = 1．
∴ ′0 = 2 1．
∴点 (1, 1)关于对称轴 = 的对称点坐标为(2 1, 1)．
3 1
∴ 2 1 2 = 2 1 > 0
∴ 2 1 > 32 ．
∴ 1 > 2．
23．在平面直角坐标系 中，点(2, )和点(4, )在抛物线 = 2 + ( > 0)上，设抛物线的对称轴为
= ．
(1)若 = 时，求 的值；
(2)已知点( 1, 1)，(1, 2)，(3, 3)在抛物线上．若 < 0，比较 1， 2， 3的大小，并说明理由．
【答案】(1) = 3；
(2) 2 < 3 < 1，理由见解析．
【分析】（1）利用函数的对称性即可求解；
（2）把点(2, )，(4, )代入函数式可得 = 4 + 2 ， = 16 + 4 ，进而得(4 + 2 )(16 + 4 ) < 0，即
4 + 2 > 0 4 + 2 < 0
得 16 + 4 < 0 或 16 + 4 > 0 ，根据 > 0可得1 < 2 < 2，即得1 < < 2，设点(3, 3)关于抛物线的对
称轴 = 的对称点为( 0, 3)，利用对称性可得 1 < 0 < 1，根据当 < 时， 随 的增大而减小及 1 < 0
< 1 < 即可求解；
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ∵ 点(2, )和点(4, )在抛物线 = 2 + ( > 0)上，且 = ，
∴ 4 = 2，
∴ = 3；
（2）解： 2 < 3 < 1，理由如下：
∵抛物线过点(2, )，(4, )，
∴ = 4 + 2 ， = 16 + 4 ，
∵ < 0，
∴ (4 + 2 )(16 + 4 ) < 0，
∴ 4 + 2 > 0 4 + 2 < 016 + 4 < 0 或 16 + 4 > 0 ，
∵ > 0，
∴ 1 < 2 < 2，即1 < < 2，
设点(3, 3)关于抛物线的对称轴 = 的对称点为( 0, 3)，
∵ 点(3, 3)在抛物线上，
∴ 点( 0, 3)也在抛物线上，
由 3 = 0 ，得 0 = 2 3，
∴ 1 < 0 < 1，
当 < 时， 随 的增大而减小，
∵ 点( 1, 1)，( 0, 3)，(1, 2)在抛物线上，且 1 < 0 < 1 < ，
∴ 2 < 3 < 1．
24．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 (2 + ) + 2 的对称轴为直线 = ．
(1)求 的值（用含 的代数式表示）；
(2)点 ( , 1)， ( , 2)， ( + 1, 3)在该抛物线上．若抛物线与 x 轴的一个交点为( 0,0)，其中0 < 0 < 2，
比较 1， 2， 3 的大小，并说明理由．
【答案】(1) = 2+ 2
(2) 2 < 3 < 1，详见解析
【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与
一次函数交点需要联立方程是解题基础．
（1）直接根据对称轴公式即可解答；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
1 = (2+ )【详解】（ ）解：由题意得，对称轴为直线 2 = ，
2+
即 = 2 ．
（2）解： 2 < 3 < 1．
理由如下：
令 = 0，得 2 (2 + ) + 2 = 0．
∴ 1 = 2 ， 2 = ．
∴抛物线与 x 轴的两个交点为(2 ， 0)，( ， 0)．
∵抛物线与 x 轴的一个交点为 ( 0 ， 0) ，其中0 < 0 < 2，
∴0 < < 2．
∵ = 2+ 2 ，
∴1 < < 2．
∴ 2 < < 1，2 < + 1 < 3．
设点 ( ， 1 ) 关于抛物线的对称轴 = 的对称点为 ′ ( ， 1 ) ．
∵点 ( ， 1 ) 在抛物线上，
∴点 ′ ( ， 1 ) 也在抛物线上．
由 = ( )，得 = 3 ．
∴3 < 3 < 6．
∴ < + 1 < 3 ．
∵抛物线的解析式为 = 2 (2 + ) + 2 ，
∴此抛物线开口向上．
当 ≥ 时， 随 的增大而增大．
∵点 ( ， 2 ) ， ( + 1 ， 3 ) ， ′ ( 3 ， 1 ) 在抛物线上，且 < + 1 < 3 ，
∴ 2 < 3 < 1
25．在平面直角坐标系 中，点(2, )在抛物线 = 2 + + ( > 0)上，设抛物线的对称轴为 = ．
(1)当 = 时，求 t 的值；
(2)点( 1, 1)，(3, 2)在抛物线上，若 < ，请比较 1， 2的大小，并说明理由．
【答案】(1)t 的值为 1
(2) 2 > 1．理由见解析
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．
（1）根据点(2, )在抛物线 = 2 + + ( > 0)上和 = 求得 = 2 ，再根据抛物线的对称轴为 =
可得答案；
（2）根据点(2, )在抛物线 = 2 + + ( > 0)上，结合 < ，可得2 + > 0，把点( 1, 1)，(3, 2)
的坐标代入 = 2 + + ，利用差值法即可得到答案．
【详解】（1）根据题意得 = 4 + 2 + ，
又 ∵ = ，
∴ 4 + 2 = 0，
∴ = 2 ，
∴ = 2 2 = 2 = 1；
（2）根据题意得 = 4 + 2 + ，
∵ < ，
∴ > 0，
∴ = 4 + 2 > 0，
∴ 2 + > 0，
∵ 点( 1, 1)，(3, 2)在抛物线 =
2 + + ( > 0)上，
∴ 1 = + ， 2 = 9 + 3 + ，
∴ 2 1 = (9 + 3 + ) ( + ) = 8 + 4 = 4(2 + )，
∵ 2 + > 0，
∴ 4(2 + ) > 0，
∴ 2 1 > 0．
∴ 2 > 1．
26．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)的对称轴为 = ．
(1)若3 + 2 = 0，求 t 的值；
(2)已知点( 1， 1)，(2， 2)，(3， 3)在该抛物线上．若 > > 0，且3 + 2 + = 0，比较 1， 2， 3的
大小，并说明理由．
3
【答案】(1) = 4
(2) 2 < 1 < 3，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函
数的对称性计算是解题的关键．
（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
【详解】（1）∵3 + 2 = 0，
∴ = 3 2 ，
∴ = 32 = 4，
即 = 34．
（2）∵3 + 2 + = 0，
∴ = 3 + 2 ，

∴ = 3 + 32 = 4 = 4 + 4 ．
∵ > > 0，

∴0 < 34 < 4，
∴34 < < 1．
∵点( 1， 1)关于直线 = 的对称点的坐标是(2 + 1， 1)，
∴52 < 2 + 1 < 3．
∴ < 2 < 2 + 1 < 3．
∵ > 0，抛物线 = 2 + + 开口向上，
∴当 ≥ 时，y 随 x 增大而增大，
∴ 2 < 1 < 3．
27．在平面直角坐标系 中，点(2, 1)在二次函数 = 2 + 1的图象上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点( 2, 1)，( + 1, 2)，(3 , 3)在二次函数 =
2 + 1的图象上，且该二次函数满足 ≤ 5，
若0 < < 1，比较 1， 2， 3的大小，并说明理由．
【答案】(1) = 1
(2) 1 < 3 < 2；理由见解析
【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
【详解】（1）解：∵点(2, 1)在抛物线 = 2 + 1的图象上，
∴4 + 2 1 = 1，
∴ = 2 ，
∴抛物线函数关系式为： = 2 2 1，
∴ 2 抛物线的对称轴为：直线 = 2 = 1；
（2）解：∵二次函数满足 ≤ 5，
∴二次函数有最大值，
∴ < 0，抛物线的开口向下，
当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，值越大，
∵0 < < 1，
∴ 2 < 2 < 1，2 < 3 < 3，1 < + 1 < 2，
∴( 2, 1)，( 1, 2)，( + 1, 3)这三个点，( + 1, 2)离对称轴最近，( 2, 1)离对称轴最远，
∴ 1 < 3 < 2．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想
及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．
28．在平面直角坐标系 中，点( 1, )和点( 2, )在抛物线 = 2 + 上．
(1)若 = 3， = 8，求该抛物线的解析式以及它的对称轴；
(2)若 < 0，点( 3, 1)，(1, 2)，(4, 3)在该抛物线上．若 < ，比较 1， 2， 3，0的大小，用小于号将
他们连接，并说明理由．
【答案】(1) = 2 +2 ，直线 = 1
(2) 3 < 2 < 0 < 1，理由见解析
【分析】（1）将点(1, 3)，( 2, 8)代入解析式可得抛物线解析式，再通过配方可得对称轴；
（2）由 < 可得3 > 0，即3 > ，分别将 = 3， = 1， = 4代入分别表达 1 = 9 3 ， 2 = + < 0，
3 = 16 + 4 < 0，两两作差进行比较可得出结论．
【详解】（1）解：将( 1, 3)，( 2, 8)代入 = 2 + ，
3 = = 1
可得 8 = 4 2 ，解得 = 2 ，
∴该抛物线的解析式为 = 2 +2 ，
∵ = 2 +2 = ( 1)2 +1，
∴抛物线对称轴为直线 = 1；
（2）∵点( 1, )和点( 2, )在抛物线 = 2 + ( > 0)上，
∴ = ，4 2 = ，
∵ < 0，
∴ < 4 2 ，
∴3 > 0，即3 > ，
∴ < 0，
∵( 3, 1)，(1, 2)，(4, 3)在该抛物线上，
∴ 1 = 9 3 ， 2 = + < 0， 3 = 16 + 4 < 0，
∵ 3 1 = (16 + 4 ) (9 3 ) = 25 + 7 < 0，
∴ 3 < 1，
∵ 3 2 = (16 + 4 ) ( + ) = 15 + 3 < 0，
∴ 3 < 2，
∵ 1 2 = (9 3 ) ( + ) = 8 4 >
8
3 4 =
4
3 > 0，
∴ 1 > 2，
∴ 3 < 2 < 0 < 1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
29．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 = 2 ( + 4) + 3经过点(2, )．
(1)若 = 3，
①求此抛物线的对称轴；
②当1 < < 5时，直接写出 y 的取值范围；
(2)已知点( 1, 1)，( 2, 2)在此抛物线上，其中 1 < 2．若 > 0，且5 1 +5 2 ≥ 14，比较 1， 2的大小，
并说明理由．
【答案】(1)① =5 -132，② 4 ≤ < 3
(2) 1 < 2
【分析】（1）①抛物线 = 2 ( + 4) + 3经过点(2, 3)，求出 a，再代入对称轴公式求解即可；②因为
1 < 52 < 5，所以顶点是最低点，分别求出 x=1 和 x=5 时 y 的值，即可求解；
（2）根据5 1 +5 2 ≥ 14
1+ 2 ≥ 14 13得 2 10>10，说明 1、 2 的中点 0 在对称轴的左侧，即 1离对称轴较近， 2
离对称轴较远，由 1 < 2即可求解．
【详解】（1）解：①∵抛物线 = 2 ( + 4) + 3经过点(2, 3)．
∴ 3=4 -2( +4)+3
解得 a=1，
∴ = 2-5 +3
∴ =- =- 5对称轴 2 2 =
5
2；
②当 =5 132 时，y=- 4
当 x=1 时，y=-1，
当 x=5 时，y=3
∴ 13当1 < < 5时，- 4 ≤ < 3 ．
（2）解：∵抛物线 = 2 ( + 4) + 3经过点(2, )．
∴m=4a-2(a+4)+3=2a-5>0
∴a > 52 > 0
= ( +4) 1 2对称轴 2 = 2 +
∵a > 52 > 0
∴1 <
2
5
∴12 +
2 13
< 10
∵5 1 +5 2 ≥ 14
∴ 14 1 + 2 ≥ 5
+
∴ 1 22 ≥
14 13
10>10 ，
又∵ 1 < 2
∴ 1、 2 的中点 0 在对称轴的右侧，即 1离对称轴较近， 2离对称轴较远，
又∵a>0，抛物线的开口向上，则自变量 x 离对称轴距离越近函数值越小
∴ 1 < 2
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、对称轴公式、顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
30．在平面直角坐标系 中，点(2, 2)在抛物线 = 2 + 2( < 0)上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点( 2, 1)，( 1, 2)，( + 1, 3)在抛物线 =
2 + 2( < 0)上．若0 < < 1，比较 1， 2， 3
的大小，并说明理由．
【答案】(1)x=1；
(2) 1＜ 2＜ 3．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
【详解】（1）∵点(2, 2)在抛物线 = 2 + 2( < 0)上，
∴4 + 2 2 = 2，
∴b=-2a，
∴抛物线函数关系式为： = 2 2 2( < 0)，
抛物线的对称轴为：直线； = 2 2 = 1；
（2）∵a＜0，开口向下，且对称轴为：x=1，
∴结合函数图象可知，当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，值越大，
∵0 < < 1，
∴ 2 < 2 < 1， 1 < 1 < 0，1 < + 1 < 2，
∴( 2, 1)，( 1, 2)，( + 1, 3)这三个点，( + 1, 3)离对称轴最近，( 2, 1)离对称轴最远，
∴ 1＜ 2＜ 3．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想
及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．
【题型 3 求对称轴】
31．在平面直角坐标系 中， ( 21, 1)， ( 2, 2)是抛物线 = + + ( > 0)上任意两点，设抛物线
的对称轴为 = ．
(1)当 1 = 2， 1 = 时，求抛物线的对称轴；
(2)若对于1 < 1 < 2 ， < 2 < + 2，都有 1 > 2，求 t 的取值范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴 = 1
1
(2) ≤ 2或 ≥ 2
【分析】本题主要考查二次函数的性质和解一元一次不等式方程组，
(1)将点代入二次函数代数式解得 = 2 ，结合对称轴得定义即可求得；
(2)根据题意知在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大，分 1在对称轴右侧和左侧，分别列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：由题意得4 + 2 + = ，解得 = 2 ，
∵ = = 2 2 2 = 1
∴抛物线的对称轴 = 1；
（2）∵抛物线的对称轴为 = ， < 2 < + 2，
∴ 2在对称轴右侧，
∵ > 0
∴在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大，
①当 1在对称轴右侧，
∵ 1 > 2，
∴ 1 > 2，
1
< 1 < 1
则 2 + 2 ≤ 1 ，解得 ，故 ≤ ； ≤ 1 2
2
②当 1在对称轴左侧，
设 ( 1, 1)关于对称轴的点为 ′( , 1)，
∵抛物线的对称轴为 = ，
∴2 = + 1，解得 = 2 1，
∵1 < 1 < 2 ，
∴3 2 < < 3 1，
∴ 2 < + 2 ≤ 3 2 ，解得 ≥ 2；
1
故答案为： ≤ 2或 ≥ 2．
32．在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2 + + 3经过点( 2 ,3)．
(1)求该抛物线的对称轴（用含有 的代数式表示）；
(2)点 ( 2, ), ( + 2, ), ( , )为该抛物线上的三个点，若存在实数 ，使得 > > ，求 的取值范围．
【答案】(1)对称轴 =
(2) < 1或0 < < 1．
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及增减性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴公式代入数值进行化简，即可作答．
（2）用 a，t 表示出 m，n，p，运用作差法求出 t 的取值范围，根据 t 存在求出 a 的取值范围即可．
【详解】（1）解：把( 2 ,3)代入 = 2 + + 3
得3 = × (4 2) 2 + 3
∴ = 2 2
2
则对称轴 = 2 = ；
2
（2）解：∵M，N，P 均在抛物线上，且 = 2 +2 2 + 3
∴ = ( 2)2 +2 2( 2) +3 = 2 + (2 2 4 ) 4 2 +4 + 3，
= ( + 2)2 + 2 2( + 2) + 3 = 2 + (2 2 + 4 ) + 4 2 + 4 + 3，
= 2 + 2 2( ) + 3 = 2 2 2 + 3，
∵ > > ，
∴ = 8 8 2 > 0， = (4 2 + 4 ) + 4 2 +4 > 0，
∴当 > 0时， 1 < < ，
∴ > 1，
∴0 < < 1，
当 1 < < 0时， < < 1，
∴ < 1，
∴ > 1，矛盾；
当 < 1时， > 且 > 1，t 一定存在，
综上所述， < 1或0 < < 1．
33．已知抛物线 = 2 + + ( < 0)过 ( 3， 1)， ( 1， 2)， (2， 3)， (4， 4)四点．
(1)若为 1 = 4．
①求该抛物线的对称轴；
②比较 2， 3的大小，并说明理由；
(2)若为 3 = ， 2 3 < 0，判断 1 4 > 0是否成立，并说明理由．
1
【答案】(1)① = 2；② 2 = 3
(2)若为 3 = ， 2 3 < 0， 1 4 > 0成立，理由见解析
【分析】（1）①由 1 = 4可得点 和点 关于对称轴对称，由此即可得到答案；②计算出点 和点 到对称
轴的距离，由此即可得出答案；
（2）先分别求出 1、 2、 3、 4的值，再根据 3 = 可得2 = ，根据 2 3 < 0得到(3 + ) < 0，从而
推出3 + < 0， < 0， > 0，进而得到3 2 + > 0，表示出 1 4，即可得到答案．
【详解】（1）解：① ∵ 1 = 4，
∴ 点 和点 关于对称轴对称，
∴ 3+4 1对称轴为直线 = 2 = 2；
② ∵ < 0，
∴ 抛物线开口向下，
∵ ( 1， 2)， (2， 3)，
∴ 1 3 1 3点 到对称轴的距离为：| 1 | = 2，点 到对称轴的距离为2 |2 = ，2| 2
∵ 32 =
3
2，
∴ 点 和点 关于对称轴对称，
∴ 2 = 3；
（2）解：若为 3 = ， 2 3 < 0， 1 4 > 0成立，
理由如下：
当 = 3时， 1 = × ( 3)
2 3 + = 9 3 + ，
当 = 1时， 2 = × ( 1)
2 + = + ，
当 = 2时， 3 = × 2
2 +2 + = 4 + 2 + ，
当 = 4时， 4 = × 4
2 +4 + = 16 + 4 + ，
∵ 3 = ，
∴ 4 + 2 + = ，
∴ 2 = ，
∵ 2 3 < 0，
∴ ( + ) < 0，即(3 + ) < 0，
∴ 3 + < 0， > 0或3 + > 0， < 0，
当3 + < 0， > 0时，3 < < 0，则 < 0，符合题意，
当3 + > 0， < 0时，3 > > 0，则 > 0，与题意不相符，
∴ 3 + < 0， > 0， < 0，
∴ 3 + < 0两边同时乘以 可得：3 2 + > 0，
∴ 1 4 = (9 3 + ) (16 + 4 + )
= (15 + ) (8 + )
= 120 2 + 23 + 2
= 51 2 +23(3 2 + ) + 2 > 0，
∴ 若为 3 = ， 2 3 < 0， 1 4 > 0成立．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、不等式的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的
关键．
34．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 + (2 6) + 1经过点( , 1),( , 2),( + 2, 3)．
(1)若 1 = 3，求抛物线的对称轴；
(2)若 2 < 3 < 1，求 m 的取值范围．
【答案】(1)直线 = 1
(2)1 < < 2
【分析】本题主要考查了二次函数的性质：
（1）根据二次函数的对称性进行求解即可；
（2）法一：利用二次函数的增减性求解即可；法二：分别表示出 2、 3、 1，再根据 2 < 3 < 1建立不等
式组求解即可．
【详解】（1）解：∵ 1 = 3，
∴ + +2对称轴为直线 = 2 = 1；
（2）解：法一：对称轴为直线 = 3
∵ > 0，
∴开口向上，
∴当 > 3 时，y 随 x 的增大而增大
当 2 < 3 < 1时， < 3 ,( , 1)关于 = 3 的对称点为(6 , 1)
( , 1)关于 = 3 的对称点为(6 3 , 1)
6 > + 2
6 3 < + 2
综上1 < < 2；
法二：代数方法：列关于 m 的不等式组，求解集
21 = (2 6) + 1, 2 =
2 + (2 6) + 1, 23 = ( + 2) + (2 6)( + 2) +1
2 + (2 6) < ( + 2)2 + (2 6)( + 2)
( + 2)2 + (2 6)( + 2) < 2 (2 6)
解得：1 < < 2．
35．在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( 1, 1)， ( 2, 2)是抛物线 =
2 2 + （ > 0）上任意两点．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)若 1 = + 1， 2 = + 2，比较 1与 2的大小，并说明理由；
(3)若对于 < 1 < + 1， + 1 < 2 < + 2，总有 1 < 2，求 m 的取值范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 = 1
(2) 1 < 2
1
(3) ≥ 2
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）利用抛物线对称轴公式求出即可；
（2）根据条件点 M、N 都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析 中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得
到 m 的取值范围．
2
【详解】（1）解：抛物线 = 2 2 + （ > 0）的对称轴为： = 2 = 1，
∴抛物线的对称轴为直线 = 1；
（2）∵ > 0，抛物线开口向上，对称轴为直线 = 1， 1 = + 1, 2 = + 2，
∴ ( 1, 1)， ( 2, 2)都在对称轴右侧，
∵当 > 1时，y 随 x 的增大而增大，且 1 < 2，
∴ 1 < 2；
（3）∵ < 1 < + 1， + 1 < 2 < + 2，
∵ 1 < 2, > 0，
∴ ( 1, 1)距离对称轴更近， 1 < 2，则 的中点在对称轴的右侧，
∴ + +12 ≥ 1，
解得： ≥ 12．
36．在平面直角坐标系 中， ( ， 2 21 1)， ( 2， 2)是抛物线 = 2 + 1上任意两点．
(1)求抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；
(2)若 2 = 1 + ( > 0)，点 、 中至少有一个点位于 轴的上方，直接写出 的范围；
(3)若对于 1＜ 1＜2, 2 = + 2时，都有 1 < 2，求 的取值范围．
【答案】(1) = ；
(2) > 2；
(3)0 ≤ ≤ 1．
【分析】本题考查抛物线图像和性质，化成顶点式、求与 轴对称轴交点，采用数形结合的方式是解题关键．
（1）将抛物线整理成顶点式，对称轴可求；
（2）令 = 0，得到抛物线与 轴的两个交点为 、 ，可求 = 2，要满足题意则 > 2；
（3）结合抛物线的对称轴可知( + 2, 2)点一定位于对称轴的右侧，则对称点为( 2, 2)，要保证对称点
为( 2, 2)，结合对于 1＜ 1＜2, 2 = + 2时，都有 1 < 2列方程组即可．
【详解】（1）解： ∵ = 2 2 + 2 1=( )2 1，
抛物线的对称轴为 = ，
（2）由（1）可得，抛物线的顶点坐标为( ， 1)，
令 = 0，得到 = 1或 = + 1，
∴抛物线与 轴的两个交点为 ( 1，0), ( + 1，0)，
= 2，
∴ 若点 、 中至少有一个点位于 轴的上方
只需 > 2；
（3）∵抛物线的对称轴为 = ，
∴( + 2, 2)点一定位于对称轴的右侧，
它的对称点为( 2, 2)，
又∵对于 1＜ 1＜2, 2 = + 2时，都有 1 < 2，
∴ 2 ≤ 1 + 2 ≥ 2 ，
解得0 ≤ ≤ 1．
37．在平面直角坐标系 中，点(0,3)，(6, 1)在抛物线 =
2 + + ( ≠ 0)上．
(1)当 1 = 3时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)经过点( 1, 1)，当自变量 x 的值满足 1 ≤ ≤ 2时，y 随 x 的增大而增
大，求 a 的取值范围；
(3)当 > 0时，点( 4, 2)，( , 2)在抛物线 =
2 + + 上．若 2 < 1 < ，请直接写出 m 的取值范围．
【答案】(1) = 3
(2)a 的取值范围是 45 ≤ < 0或0 < ≤ 4
(3)5 < < 6或 > 10
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和
分类讨论的思想进行解答．
（1）当 1 = 3时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把(0,3)，( 1, 1)代入抛物线解析式得出 a，b 的关系，然后求出对称轴，再分 > 0和 < 0，由函数
的增减性求出 a 的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据 2 < 1 < 确定 m 的取值范围．
【详解】（1）解：∵(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，
= 1+ ∴ 2 = 0+62 2 = 3，
∴ 抛物线的对称轴 = 3；
（2）解：∵ = 2 + + ( ≠ 0)过(0,3)，( 1, 1)，
∴ = 3， + 3 = 1， = + 4，
∴ = = +4对称轴 2 2 ．
①当 > 0时，
∵ 1 ≤ ≤ 2时，y 随 x 的增大而增大，
∴ +42 ≤ 1， ≤ 4，
∴0 < ≤ 4．
②当 <0时，
∵ 1 ≤ ≤ 2时，y 随 x 的增大而增大，
∴ +42 ≥ 2， ≥
4
5，
∴ 45 ≤ < 0，
综上：a 的取值范围是 45 ≤ < 0或0 < ≤ 4；
（3）解：∵点(0,3)在抛物线 = 2 + + 上，
∴ = 3，
∵点( 4, 2)，( , 2)在抛物线 =
2 + + 上，
∴ 4+ 对称轴为直线 = 2 = 2，
①如图所示：
∵ 2 < 1 < ，
∴ < 6且 2 > 0+62 = 3，
∴ 5 < < 6；
②如图所示：
∵ 2 < 1 < ，
∴ 4 > 6，
∴ > 10，
综上所述，m 的取值范围为5 < < 6或 > 10．
38．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 + + 1( ≠ 0)的对称轴是直线 = 3．
(1)求出该抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
(2)当 > 0时，对于任意的正数 ，若点(3 , 1),(3 + 2 , 2)在该抛物线上，则 1_________ 2（填“>”“<”或
“=”）；
(3)已知点 (0,3), (7,3)．若该抛物线与线段 恰有一个公共点，求 的取值范围．
【答案】(1)(3, 9 + 1)
(2) <
2 2
(3) = 9或 ≥ 7
【分析】（1）根据抛物线 = 2 + + 1( ≠ 0)的对称轴是直线 = 3，可得出： = 6 ，再计算当 = 3
时， 的值即可得出答案；
（2）根据 = 2 + + 1( > 0)，抛物线开口向上，即可得出抛物线上的点距离抛物线对称轴越远，函数
值越大，分别算出点(3 , )和点(3 2 , 2)距离对称轴 = 3的距离即可比较 2、 1的大小；
（3）由 = 6 可以得出 = 2 6 + 1( ≠ 0)，再分 <0、 > 0，进行讨论即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线 = 2 + + 1( ≠ 0)的对称轴是直线 = 3，
∴ 2 = 3，
∴ = 6 ，
当 = 3时， = 9 + 3 + 1 = 9 + 3 ( 6 ) +1 = 9 + 1，
∴抛物线 = 2 + + 1( ≠ 0)的顶点坐标是(3, 9 + 1)；
（2）∵ = 2 + + 1( > 0)，
∴抛物线开口向上，
∴距离抛物线对称轴越远，函数值越大，
点(3 , )距离对称轴 = 3的距离为：|3 3| = ，
点(3 2 , 2)距离对称轴 = 3的距离为:|3 2 3| = | 2 | = 2 ，
∵ > 0，
∴2 > ，
∴(3 2 , 2)距离对称轴 = 3比(3 , )距离对称轴 = 3更远，
∴ 1 < 2，
故填： < ；
（3）∵ = 6 ，
∴ = 2 6 + 1( ≠ 0)，
当 <0时，
∵抛物线 = 2 6 + 1( ≠ 0)的对称轴是直线 = 3，且该抛物线与线段 恰有一个公共点，
故顶点为(3,3)，
把(3,3)代入 = 2 6 + 1( ≠ 0)得：9 18 + 1 = 3，
∴ = 29；
当 > 0时，
∵当 = 0时， = 1，
∴抛物线 = 2 6 + 1过(0,1)，
∵抛物线 = 2 6 + 1( ≠ 0)的对称轴是直线 = 3，
∴抛物线 = 2 6 + 1过(6,1)，
∴抛物线 = 2 6 + 1与 = 3的交点一个在 轴的左侧，一个在 = 6的右侧，
∵该抛物线与线段 恰有一个公共点，
∴当 = 7时， ≥ 3，
∴49 42 + 1 ≥ 3，
∴ ≥ 27；
2 2
综上所述： = 9或 ≥ 7．
【点睛】本题考查抛物线综合，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点问题，掌握抛物线综合，抛物
线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点，掌握二次函数的性质是解题关键．
39．在平面直角坐标系 中，点( 2 + 1, )，( , )是抛物线 = 2 +2 2 + ( ≠ 0)上的点．
(1)当 = 2时，求抛物线的对称轴，并直按写出 p 与 n 的大小关系；
(2)若对于任意的2 ≤ ≤ 3，都有 > > ，求 m 的取值范围．
【答案】(1) <
1 3
(2)m 的取值范围是 > 2或 ≤ 2；
【分析】（1）根据题意先求出对称轴，再根据抛物线开口向上，离对称轴越近，y 值越小，即可判断；
（2）分两种情况讨论：当 > 0时，当 < 0时，画出图形根据对于任意的2 ≤ ≤ 3，都有 > > ，即可
求解．
【详解】（1）解：当 = 2时， = 2 2 +8 + ，
∴ 8( 2 + 1, )为( 3, )，对称轴为 = 4 = 2，
当 = 0时， = ，
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越近，y 值越小，
∴ < ；
2 2
2
（ ）解：由题意得：对称轴 = = ，
2
当 = 0时， = ，
∴抛物线与 y 轴交点为(0, )，
当 > 0时，如图，
∵(0, )关于对称轴 = 的对称点是( 2 , )，
若对于任意的2 ≤ ≤ 3，都有 > > ，
则 2 < 2 + 1 < 0 > 1，解得： 2；
当 < 0时，如图，
∵(0, )关于对称轴 = 的对称点是( 2 , )，
若对于任意的2 ≤ ≤ 3，都有 > > ，
2 ≥ 3 ≤ 3则 ，解得： 2，
1 3
综上，m 的取值范围是 > 2或 ≤ 2；
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握数形结合是关键．
40．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 4 2 ( ≠ 0)．
(1)求抛物线与 x 轴的交点坐标及抛物线的对称轴(用含 的式子表示)；
(2)已知点 ( 1, 1)， ( + 5, 2)在该抛物线上，若 1 2 < 0，求 的取值范围．
【答案】(1)(0，0)；(4 ，0)； = 2
5 1
(2)1 < < 3或 5 < < 3．
【分析】（1）由 = 2 4 2 = ( 4 )，当 = 0时，可得 1 = 0； 2 = 4 即可得到抛物线与 x 轴的交点
坐标；再根据抛物线的对称轴公式即可确定对称轴；
（2）由（1）可得抛物线与 x 轴交于点(0，0)和(4 ，0)，然后分 > 0和 < 0两种情况，分别根据抛物线
列关于 a 的不等式组求解即可．
【详解】（1）解： = 2 4 2 = ( 4 )，
当 = 0时， ( 4 ) = 0，解得 1 = 0， 2 = 4 ，
4 2
所以抛物线与 x 轴交于点(0，0)和(4 ，0)，抛物线的对称轴为直线 = = 2 ．2
（2）解：抛物线与 x 轴交于点(0，0)和(4 ，0)
当 > 0，由 1 2 < 0，
∴ 0 < 1 < 4 ， 1 < 0或 ， 5 + 5 > 4 ， 0 < + 5 < 4 解得 1 < < 3或无解；，
当 < 0，由 1 2 < 0，
∴ 4 < 1 < 0， 1 < 4 或 ， + 5 > 0 4 < + 5 < 0 解得 5 < <
1
或无解．
， ， 3
5 1
综上，1 < < 3或 5 < < 3．专题 12 二次函数综合题分类训练（3 种类型 40 道）
目录
【题型 1 求参数取值范围】......................................................................................................................................1
【题型 2 比较函数值的大小】..................................................................................................................................3
【题型 3 求对称轴】..................................................................................................................................................5
【题型 1 求参数取值范围】
1．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 + 1( ≠ 0)．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)已知 ( 1, 1)和 ( 2, 2)是抛物线上的两点．若对于 1 = + 2， 3 < 2 < 1，都有 1 < 2，求 的取值
范围．
2．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 ( ≠ 0)；
(1)若点 (2,0)在此抛物线上，求出此时抛物线的对称轴．
(2)若抛物线经过点 (2 1, 1), ( , 2), ( + 2, 3)，且满足( 1 3)( 3 2) > 0，求 的取值范围．
3．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1)， ( 2, 2)是抛物线 =
2 2 2 + 1( > 0)上任意两点．
(1)已知点(2,1)在抛物线上，求 的值；
(2)若对于 1 = 1， + 1 < 2 < + 2，都有 1 > 2，求 的取值范围．
4．在平面直角坐标系 中，点(1, )，(3, )在抛物线 = 2 + + 4（ > 0）上，设抛物线的对称轴为
= ．
(1)当 = 时，直接写出抛物线与 轴交点的坐标及 的值；
(2)若 < < 4，求 的取值范围．
5．已知抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)，当 < 时，x 的取值范围是 3 < < 1 ．
(1)该抛物线的开口方向________；
(2)若该抛物线经过点 (3, 1)， ( , 2)两点，且 1 > 2，求 t 的取值范围．
6．在平面直角坐标系xOy中，点( 1, )，(3, )在抛物线 = 2 + + ( < 0)上，设抛物线的对称轴为 = ．
(1)当 = 5， = 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值；
(2)点( 0, )( 0 ≠ 3)在抛物线上，若 < < ，求 的取值范围及 0的取值范围．
7．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 + 3 2( ≠ 0)．
(1)求该抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
(2)已知 ( 1, 1)， (3 , 2)是抛物线上的两个点，若对于 + 1 < 1 < + 2，都有 1 < 2，求实数 的取值
范围．
8．已知抛物线 = 2 2 2 ( > 0)．
(1)抛物线过点(1, 1)，则 = _______；
(2)抛物线经过 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，若对于1 < 1 < 3，且 2 = + 2都有 1 > 2，求 的取值范围．
9．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = ( )2 + ( ≠ 0)，点 (2, 1)， (3 , 2)， ( , 3)是抛物线
上不同的三点．
(1)若 1 = 2，直接写出 a 的值：
(2)若对于任意的 2 < < 1，都有 3 > 2 > 1，求 a 的取值范围．
10．已知抛物线 = 2 2 + ( ≠ 0)经过点( 2,4)．
(1)用含 a 的式子表示 c 及抛物线的顶点坐标；
(2)当 1 < < 1时，所有 x 对应的函数值 y 都满足： < 4，求 a 的取值范围．
11．已知抛物线 = 2 2 + ( ≠ 0)经过点( 2,4)．
(1)用含 a 的式子表示 c 及抛物线的顶点坐标；
(2)当 1 ≤ ≤ 1时，所有 x 对应的函数值 y 都满足： < 4，求 a 的取值范围．
12．在平面直角坐标系 中，点 (1, ) ， , 是抛物线 = ( )2( > 0)上的两点（ ， 不重合）．2
(1)若 = ，求 的值；
(2)若点 ( 0, )在抛物线上，且对于 + 1 < 0 < + 2，都有 < < ，求 的取值范围．
13．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1), ( 2,
2
2)是抛物线 = + + ( > 0)上任意两点，设抛物线的
对称轴为直线 = ．
(1)若对于 1 = 1, 2 = 2，有 1 = 2，求 的值；
(2)若对于0 < 1 < 1, 1 < 2 < 2，都有 1 ≠ 2，求 的取值范围．
14．在平面直角坐标系 中，点 (3, )，点 (5, )在抛物线 = 2 + + ( > 0)上．设抛物线的对称轴
为直线 = ．
(1)若 = ，求 t 的值；
(2)点 ( 0, )在该抛物线上，若对于0 < 0 < 1都有 < < ，求 t 的取值范围．
15．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1)， ( 2, 2)是抛物线 =
2 + + ( > 0)上任意两点，设抛物线
的对称轴为 = ．
(1)若对于 1 = 3, 2 = 4，有 1 = 2，求 t 的值；
(2)若对于2 < 1 < 3,3 < 2 < 4，都有 1 < 2，求 t 的取值范围．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 = + + ( > 0)的对称轴为 = ，点 ( , )， (2 , )，
( 0, 0)在抛物线上．
(1)当 = 2时，直接写出 m 与 n 的大小关系；
(2)若对于 5 < 0 < 6 都有 > 0 > 求 t 的取值范围．
17．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1), (
2
2, 2)为抛物线 = ( ) +2( ≠ 0)上任意两点，其中 1 <
2．
(1)若 = 1且 1 = 2，求 1 + 2的值．
(2)已知 = 1且 > 0，若对于 < 1 < 2 < 2 ，都有 2 < 2 1，求 t 的取值范围．
18．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1)， ( , 2)， ( + 2, 3)三点都在抛物线 =
2 2 + 4( > 0)上，
(1)这个抛物线的对称轴为直线_________；
(2)若无论 t 取何值，点 A、B、C 中至少有两点在 x 轴上方，结合函数图象，求 a 的取值范围．
19．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1)， ( 2, 2)是抛物线 =
2 + + 上任意两点．设抛物线的对称
轴是 = ．
(1)若对于 1 = 2， 2 = 1，有 1 = 2，求 的值；
(2)若对于 1 ≥ 2，都有 1 < 成立，并且对于 2 > 1，存在 2 > ，求 的取值范围．
20．在平面直角坐标系 中，点 (2, )， (4, )在抛物线 = 2 2 + 上．
(1)若 = ，求 b 的值；
(2)若点 ( 0, )在抛物线上，对于0 < 0 < 1，都有 < < ，求 b 的取值范围．
【题型 2 比较函数值的大小】
21．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 +(1 ) 1( ≠ 0)的对称轴为直线 = ．
(1)① = ____________（用含 a 的式子表示）；
②当 = 1时，求该抛物线与 x 轴的公共点的坐标；
1 3
(2)已知点(3, 1)，(2, 2)，( 2 2, 3)在该抛物线上，若 > 0，比较 1， 2， 3的大小，并说明理由．
22．在平面直角坐标系 中，点 ( 1, )和点 (4, )在抛物线 = 2 + 2（ > 0）上，设抛物线的对
称轴为 = ．
(1)若 = 1， = 6，求 t 的值；
(2) 3已知点 (1, 1)， 2 , 2 在该抛物线上，若 > 2， < 2，比较 1， 2的大小，并说明理由．
23．在平面直角坐标系 中，点(2, )和点(4, )在抛物线 = 2 + ( > 0)上，设抛物线的对称轴为
= ．
(1)若 = 时，求 的值；
(2)已知点( 1, 1)，(1, 2)，(3, 3)在抛物线上．若 < 0，比较 1， 2， 3的大小，并说明理由．
24．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 (2 + ) + 2 的对称轴为直线 = ．
(1)求 的值（用含 的代数式表示）；
(2)点 ( , 1)， ( , 2)， ( + 1, 3)在该抛物线上．若抛物线与 x 轴的一个交点为( 0,0)，其中0 < 0 < 2，
比较 1， 2， 3 的大小，并说明理由．
25．在平面直角坐标系 中，点(2, )在抛物线 = 2 + + ( > 0)上，设抛物线的对称轴为 = ．
(1)当 = 时，求 t 的值；
(2)点( 1, 1)，(3, 2)在抛物线上，若 < ，请比较 1， 2的大小，并说明理由．
26．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)的对称轴为 = ．
(1)若3 + 2 = 0，求 t 的值；
(2)已知点( 1， 1)，(2， 2)，(3， 3)在该抛物线上．若 > > 0，且3 + 2 + = 0，比较 1， 2， 3的
大小，并说明理由．
27．在平面直角坐标系 中，点(2, 1)在二次函数 = 2 + 1的图象上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点( 2, 21)，( + 1, 2)，(3 , 3)在二次函数 = + 1的图象上，且该二次函数满足 ≤ 5，
若0 < < 1，比较 1， 2， 3的大小，并说明理由．
28．在平面直角坐标系 中，点( 1, )和点( 2, )在抛物线 = 2 + 上．
(1)若 = 3， = 8，求该抛物线的解析式以及它的对称轴；
(2)若 < 0，点( 3, 1)，(1, 2)，(4, 3)在该抛物线上．若 < ，比较 1， 2， 3，0的大小，用小于号将
他们连接，并说明理由．
29．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 = 2 ( + 4) + 3经过点(2, )．
(1)若 = 3，
①求此抛物线的对称轴；
②当1 < < 5时，直接写出 y 的取值范围；
(2)已知点( 1, 1)，( 2, 2)在此抛物线上，其中 1 < 2．若 > 0，且5 1 +5 2 ≥ 14，比较 1， 2的大小，
并说明理由．
30．在平面直角坐标系 中，点(2, 2)在抛物线 = 2 + 2( < 0)上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点( 2, 1)，( 1, 2)，( + 1, 3)在抛物线 =
2 + 2( < 0)上．若0 < < 1，比较 1， 2， 3
的大小，并说明理由．
【题型 3 求对称轴】
31．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1)， ( 2, 2)是抛物线 =
2 + + ( > 0)上任意两点，设抛物线
的对称轴为 = ．
(1)当 1 = 2， 1 = 时，求抛物线的对称轴；
(2)若对于1 < 1 < 2 ， < 2 < + 2，都有 1 > 2，求 t 的取值范围．
32．在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2 + + 3经过点( 2 ,3)．
(1)求该抛物线的对称轴（用含有 的代数式表示）；
(2)点 ( 2, ), ( + 2, ), ( , )为该抛物线上的三个点，若存在实数 ，使得 > > ，求 的取值范围．
33．已知抛物线 = 2 + + ( < 0)过 ( 3， 1)， ( 1， 2)， (2， 3)， (4， 4)四点．
(1)若为 1 = 4．
①求该抛物线的对称轴；
②比较 2， 3的大小，并说明理由；
(2)若为 3 = ， 2 3 < 0，判断 1 4 > 0是否成立，并说明理由．
34．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 + (2 6) + 1经过点( , 1),( , 2),( + 2, 3)．
(1)若 1 = 3，求抛物线的对称轴；
(2)若 2 < 3 < 1，求 m 的取值范围．
35．在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( 1, 1)， ( 2, 2)是抛物线 =
2 2 + （ > 0）上任意两点．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)若 1 = + 1， 2 = + 2，比较 1与 2的大小，并说明理由；
(3)若对于 < 1 < + 1， + 1 < 2 < + 2，总有 1 < 2，求 m 的取值范围．
36．在平面直角坐标系 中， ( 1， 1)， ( 2， 2)是抛物线 =
2 2 + 2 1上任意两点．
(1)求抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；
(2)若 2 = 1 + ( > 0)，点 、 中至少有一个点位于 轴的上方，直接写出 的范围；
(3)若对于 1＜ 1＜2, 2 = + 2时，都有 1 < 2，求 的取值范围．
37．在平面直角坐标系 中，点(0,3)，(6, 1)在抛物线 =
2 + + ( ≠ 0)上．
(1)当 1 = 3时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)经过点( 1, 1)，当自变量 x 的值满足 1 ≤ ≤ 2时，y 随 x 的增大而增
大，求 a 的取值范围；
(3)当 > 0时，点( 4, 2)，( , 2)在抛物线 =
2 + + 上．若 2 < 1 < ，请直接写出 m 的取值范围．
38．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 + + 1( ≠ 0)的对称轴是直线 = 3．
(1)求出该抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
(2)当 > 0时，对于任意的正数 ，若点(3 , 1),(3 + 2 , 2)在该抛物线上，则 1_________ 2（填“>”“<”或
“=”）；
(3)已知点 (0,3), (7,3)．若该抛物线与线段 恰有一个公共点，求 的取值范围．
39．在平面直角坐标系 中，点( 2 + 1, )，( , )是抛物线 = 2 +2 2 + ( ≠ 0)上的点．
(1)当 = 2时，求抛物线的对称轴，并直按写出 p 与 n 的大小关系；
(2)若对于任意的2 ≤ ≤ 3，都有 > > ，求 m 的取值范围．
40．在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 4 2 ( ≠ 0)．
(1)求抛物线与 x 轴的交点坐标及抛物线的对称轴(用含 的式子表示)；
(2)已知点 ( 1, 1)， ( + 5, 2)在该抛物线上，若 1 2 < 0，求 的取值范围．

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