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专题 10 一元函数和反比例函数解答题分类训练
（5 种类型 40 道）
目录
【题型 1 利用平移或平行求解析式】 ......................................................................................................................1
【题型 2 利用点求解析式】......................................................................................................................................2
【题型 3 一次函数与反比例函数综合】 ..................................................................................................................4
【题型 4 求常数项取值范围】..................................................................................................................................6
【题型 5 求一次项系数取值范围】 .........................................................................................................................7
【题型 1 利用平移或平行求解析式】
1．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + （ ≠ 0）的图象由函数 = 2 的图象向下平移 4 个单位
长度得到，且与 轴交于点 A．
(1)求该一次函数的解析式及点 A 的坐标；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = + 的值小于一次函数 = + （ ≠ 0）的值且大于 3，直
接写出 的取值范围．
2．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图像由函数 = 的图像平移得到，且经过点
(1,3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 < 1时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出 的
取值范围．
3．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0) = 1的图象由函数 2 的图象向上平移 3 个单位长度
得到．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于一次函数 = + 的值，直接写出 的取值
范围．
4．在平面直角坐标系 中，将点 A（m，2）向左平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在直线 = + 1上．
（1）求 m 的值和点 B 的坐标；
（2）若一次函数 = 1的图象与线段 有公共点，求 k 的取值范围．
5．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与直线 = 2 平行，且经过点(1，3)．
(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当 > 1时，对于 x 的每一个值，反比例函数 = ( ≠ 0)的值都小于一次函数 = + ( ≠ 0)的值，直
接写出 m 的取值范围．
6．在平面直角坐标系 中，直线 = + ( ≠ 0)与直线 = 平行，且过点(2,1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)直线 = + ( ≠ 0)分别交 ， 轴于点 A，点 ，若点 为 轴上一点，且 △ = 2，直接写出点 的坐
标．
7．在平面直角坐标系 中，直线 1: = + 与直线 = 3 平行，且过点 (2,7)．
（1）求直线 1的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线 2与直线 1关于 y 轴对称，直线 = 与直线 1, 2围成的区域 W
内（不包含边界）恰有 6 个整点，求 m 的取值范围．
8．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与函数 = 2 的图象平行，且过点 (1,3)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值都大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出
的取值范围．
1
9．一次函数 = + ( ≠ 0)图象与一次函数 = 2 + 1图象平行，且函数图象经过点( 2, 3)．
(1)求 k，b 的值；
(2)当 > 2时，对于自变量 x 的每一个值，一次函数 = 的值均大于 = + ( ≠ 0)值，直接写出 m
的取值范围．
10．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与函数 = 的图象平行，且经过点
(2,0)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 < 3时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于一次函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出
的取值范围．
【题型 2 利用点求解析式】
11．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)与 = + 3的图象交于点(2,1).
(1)求 ， 的值；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值既大于函数 = + 的值，也大于函数
= + 3的值，直接写出 的取值范围.
12．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (0,1)和 (1,2)，与过点(0,4)且平行于 x
轴的线交于点 C．
(1)求该函数的解析式及点 C 的坐标；
2
(2)当 < 3时，对于 x 的每一个值，函数 = 3 + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值且小于 4，直接写出 n
的值．
13．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点(4,3)，( 2,0)，且与 轴交于点 ．
(1)求该函数的解析式及点 的坐标；
(2)当 > 0时，对于 的每一个值，函数 = + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出 的取值范
围．
14．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (0,1)和点 (3,2)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当 < 3时，对于 x 的每一个值，函数 = 1( ≠ 0)的值小于一次函数 = + 的值，直接写出 m
的取值范围．
1
15．在平面直角坐标系 中，一次函数 = 2 + 经过点(4,0)．
(1)求这个一次函数的解析式；
1
(2)当 < 2时，对于 的每一个值，函数 = 2 + 的值与函数 = + 1( ≠ 0)的值之和都大于 0，直接写
出 的取值范围．
16．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + 经过点(0,2)，(4, 2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 ≤ 4时，对于 x 的每一个值，函数 = + 的值大于一次函数 = + 的值，直接写出 m 的取值
范围．
17．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点(1,1)和(0, 1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 < 1时，对于 x 的每一个值，一次函数 = ( ≠ 0)的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出
m 的取值范围．
18．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点( 1,4)，与函数 = 2 的图象交于点(1, )．
(1)求 m 的值和函数 = + ( ≠ 0)的解析式；
(2)当 > 1时，对于 x 的每一个值，函数 = + 2( ≠ 0)的值大于函数 = + 的值，且小于函数 = 2
的值，直接写出 k 的取值范围．
19．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (1,0)和 (2,1)．
(1)求该函数的解析式；
(2)当 > 3时，对于 1的每一个值，函数 = + 2的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值，当 < 1时，对于
1
的每一个值，函数 = + 2的值小于 0，直接写出 的值．
20．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图像经过点(4,1)和(0, 1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于一次函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出
的取值范围．
【题型 3 一次函数与反比例函数综合】

21．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 = ( > 0)的图象 与函数 = + ( > 0)的图象 交于点 (1,3).
(1)求 k，b 的值；
(2)已知直线 = ( ≠ 0)与图象 、 分别交于点 ( 1, 1), ( 2, 2),若 1 > 2,结合函数图象，直接写出 的
取值范围．

22．在平面直角坐标系 中，正比例函数 = ( ≠ 0)的图象和反比例函数 = ( ≠ 0)的图象都经过
点 (2，4)．
(1)求该正比例函数和反比例函数的解析式；

(2)当 > 3时， 对于 x 的每一个值， 函数 = + ( ≠ 0)的值都大于反比例函数 = ( ≠ 0)的值，直
接写出 n 的取值范围．

23．在平面直角坐标系 中，一次函数 = k + (k＞0)与反比例函数 = (m≠0)的图象交于点 A(1，6)和
点 B．
(1)若点 B(－6，－1)，求该一次函数和反比例函数的解析式；

(2)当 ≤ 3时，对于 的每一个值，函数 = (m≠0)的值大于一次函数 = k + (k＞0)的值，直接写出 k 的
取值范围．

24．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 = ( 1) + 6( > 0)的图象与反比例函数 = （m≠0）的图象
的一个交点的横坐标为 1．
(1)求这个反比例函数的解析式；

(2)当 x＜﹣3 时，对于 x 的每一个值，反比例函数 y= 的值大于一次函数 = ( 1) + 6( > 0)的值，直接
写出 k 的取值范围．

25．一次函数 y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数 = 的图象相交于 A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l，l 与两坐标轴分别相交于 M，N，与反比例函数的

图象相交于点 P，Q，求 的值
26．一次函数 = 12 + （b

为常数）的图像与 x 轴交于点 A（2，0），与 y 轴交于点 B，与反比例函数 =
的图像交于点 C（-2，m）．
(1)求点 C 的坐标及反比例函数的表达式；
(2)过点 C 的直线与 y 轴交于点 D，且 △ : △ = 2:1，求点 D 的坐标．

27．已知一次函数 = + ( ≠ 0)与反比例函数 = ( ≠ 0)的图象交于 A（2，3）， B（-6，n） 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）P 是 y 轴上一点，且 = 12，直接写出 P 点坐标．

28．在平面直角坐标系 中，反比例函数 1 = ( ≠ 0)的图象经过点 ( 1, 6)，一次函数 2 = 1
( ≠ 0)的图象与 y 轴交于点 B．
(1)求反比例函数的表达式并直接写出点 的坐标；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，都有 1 < 2，直接写出 的取值范围．

29．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + 的图象与 x 轴交于点(4,0)，且与反比例函数 = 的图
象在第四象限的交点为( , 1)．
(1)求 b，m 的值；

(2)点 ( , )是一次函数 = + 图象上的一个动点，且满足 < < 4，连接 OP，结合函数图象，直接
写出 OP 长的取值范围．

30．在平面直角坐标系 中，直线 = + ( ≠ 0)与反比例函数 = ( ≠ 0)的图象交于点 ( 1, )，
(2, 1)两点．
（1）求 , 的值；

（2）已知点 ( ,0)( > 0)，过点 作 轴的垂线，分别交直线 = + ( ≠ 0) 和反比例函数 = ( ≠ 0)
的图象于点 , ，若线段 的长随 的增大而增大，直接写出 的取值范围．
【题型 4 求常数项取值范围】
31．在平面直角坐标 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (0，1)和 (1，2)， 与过点(0，4)且平
行于 x 轴的直线交于点 C．
(1)求该函数的解析式及点 C 的坐标；
2
(2)当 < 3时，对于 x 的每一个值，函数 = 3 + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值且小于 5，直接写
出 n 的取值范围．
32．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 的图象平移得到，且经过点(0,3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
1
(2)当 > 0时，对于 x 的每一个值，一次函数 = 2 + 的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值且大于 0，直接
写出 n 的取值范围．
33．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 2 的图象平移得到，且经过点
(2,3)．
(1)求该函数的解析式；
(2)当 < 2时，对于 的每一个值，函数 = + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出 的取值
范围．
34．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 2 的图象平移得到，且经过
点 (1, 3)，与过点(0,3)且平行于 x 轴的直线交于点 ．
(1)求该函数的解析式及点 的坐标；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = + 的值大于 = + ( ≠ 0)的值且小于5，直接写出 的
取值范围．
35．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (2,1)和 (0, 1)．
(1)求该函数解析式；
(2)当 > 2 1时，对于 x 的每一个值，函数 = 2 + 的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值且大于 4，直接写
出 n 的取值范围．
【题型 5 求一次项系数取值范围】
36．在平面直角坐标系中，函数 = + ( ≠ 0)的图象过点 (0, 1)和点 (1,0)．
(1)求 、 的值；
(2)当 > 1时，对于 x 的每一个值，函数 = + 3( > 0)的值大于函数 = + 的值，直接写出 m 的
取值范围．
37．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象平行于直线 = 2 ，且经过点 ( 1, 1)．
(1)求 和 的值；
(2)当 > 1时，对于 的每一个值，一次函数 = + ( ≠ 0)的值大于函数 = ( ≠ 0)的值，直接写出
的取值范围．
38．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由 = 2 的图象平移得到，且过点
(2, 1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 > 2时，对于 x 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出 的
取值范围．
39．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 = + 的图象经过点(2，0)，(3，1)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当 > 时，对于 x 的每一个值，正比例函数 = 的值大于一次函数 = + 的值，直接写出 m 的取
值范围．
40．在平面直角坐标系中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象平行于直线 = 2 ，且经过点 (1，2)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当 < 1时，对于 的每一个值，一次函数 = + ( ≠ 0)的值都大于一次函数 = + 1的值，直接写
出 的取值范围．专题 10 一元函数和反比例函数解答题分类训练
（5 种类型 40 道）
目录
【题型 1 利用平移或平行求解析式】 ......................................................................................................................1
【题型 2 利用点求解析式】....................................................................................................................................12
【题型 3 一次函数与反比例函数综合】 ................................................................................................................22
【题型 4 求常数项取值范围】................................................................................................................................35
【题型 5 求一次项系数取值范围】 .......................................................................................................................40
【题型 1 利用平移或平行求解析式】
1．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + （ ≠ 0）的图象由函数 = 2 的图象向下平移 4 个单位
长度得到，且与 轴交于点 A．
(1)求该一次函数的解析式及点 A 的坐标；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = + 的值小于一次函数 = + （ ≠ 0）的值且大于 3，直
接写出 的取值范围．
【答案】(1) = 2 4， (2,0)
(2) 5 ≤ ≤ 2
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的应用，求一次函数解析式，一次函数图象的平移：
（1）根据一次函数平移的性质可得 = 2 4，当 = 0时， = 2，则可求得点 A 的坐标；
（2）根据题意可得 + < 2 4且 + > 3，再根据 > 2，据此求解即可；
熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解： ∵ 一次函数 = + （ ≠ 0）的图象由函数 = 2 的图象向下平移 4 个单位长度得到，
∴ 一次函数的解析式为 = 2 4，
当 = 0时，0 = 2 4，解得： = 2，
∴ (2,0)．
（2） ∵ 当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = + 的值小于一次函数 = 2 4的值且大于 3，
∴ + < 2 4且 + > 3，
即： > 4 + 且 > 3 ，
∵ > 2，
∴ 2 ≥ 4 + 且2 ≥ 3 ，
解得： 5 ≤ ≤ 2．
2．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图像由函数 = 的图像平移得到，且经过点
(1,3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 < 1时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出 的
取值范围．
【答案】(1) = + 2
(2)1 ≤ ≤ 3
【分析】（1）根据平移得到 = 1，再将 (1,3)，代入解析式即可得解；
（2）根据题意，可得 < 1时直线 = ( ≠ 0)在直线 = + ( ≠ 0)的下方，利用图像法求出 的取值
范围即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图像由函数 = 的图像平移得到，
∴ = 1．
∵一次函数 = + 的图像经过点 (1, 3)，
∴1 + = 3．
∴ = 2．
∴这个一次函数的解析式为 = + 2．
（2）解：由题意，得： < 1时直线 = ( ≠ 0)在直线 = + 2的下方，
如图：当直线 = ( ≠ 0)在 1, 2之间时，满足题意：
当 = ( ≠ 0)与 = + 2平行时， = 1，
当 = ( ≠ 0)过点 (1,3)时： = 3，
∴当1 ≤ ≤ 3时，对于 < 1的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，
是解题的关键．
3．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0) = 1的图象由函数 2 的图象向上平移 3 个单位长度
得到．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于一次函数 = + 的值，直接写出 的取值
范围．
1
【答案】(1) = 2 + 3
(2) ≥ 2
【分析】（1）根据一次函数平移的性质分析，即可得到答案；
（2）根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．
1
【详解】（1）∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 2 的图象向上平移 3 个单位长度得到
∴ = 12 ， = 3
∴ 1这个一次函数的解析式为 = 2 + 3；
1
（2）假设 = 2时，2 = 2 × 2 + 3
∴ = 2
如下图：
∵当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于一次函数 = 12 + 3的值，
∴m 的取值范围是 ≥ 2．
【点睛】本题考查了一次函数、平移的知识；解题的关键是熟练掌握平移、一次函数图像的性质，从而完
成求解．
4．在平面直角坐标系 中，将点 A（m，2）向左平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在直线 = + 1上．
（1）求 m 的值和点 B 的坐标；
（2）若一次函数 = 1的图象与线段 有公共点，求 k 的取值范围．
【答案】（1） = 3，点 B 的坐标（1，2）；（2）k 的取值范围是1 ≤ ≤ 3．
【分析】（1）根据向左平移，横坐标减 2 纵坐标不变得到点 B 的坐标（m-2，2），再将点 B 代入 = + 1，
求出 m，得到点 A、B 的坐标；
（2）分别求出直线 = 1过点 A、点 B 时 k 的值，再结合函数图象即可求出 k 的取值范围．
【详解】解：（1）∵点 A 的坐标为（m，2），
∴点 A 向左平移 2 个单位长度，得到点 B 的坐标为（m-2，2）；
∵点 B（m-2，2）是直线 = + 1上一点，
∴2 = 2 + 1，
解得： = 3，
∴点 A 的坐标为（3，2），点 B 的坐标（1，2）；
（2）当直线 = 1过点 A（3，2）时，
得2 = 3 1，解得 = 1，
当直线 = 1过点 B（1，2）时，
得2 = 1，解得 = 3．
如图，若一次函数 = 1与线段 AB 有公共点，则 k 的取值范围是1 ≤ ≤ 3．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关
键．
5．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与直线 = 2 平行，且经过点(1，3)．
(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当 > 1时，对于 x 的每一个值，反比例函数 = ( ≠ 0)的值都小于一次函数 = + ( ≠ 0)的值，直
接写出 m 的取值范围．
【答案】(1) = 2 + 1
(2)0 < ≤ 3或 < 0
【分析】（1）根据坐标系中两直线平行，那么一次项系数相同得到 = 2，再代入(1，3)进行求解即可；
（2）分 > 0和 < 0两种情况，分别画出对应的函数图象，利用图象法进行求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与直线 = 2 平行，
∴ = 2．
∵一次函数 = 2 + 的图象过点(1，3)，
∴3 = 2 × 1 + ．
∴ = 1．
∴这个一次函数的表达式为 = 2 + 1．
（2）解：∵在 = 2 + 1中，2 > 0，
∴y 随 x 增大而增大，
∴ > 1时，一次函数 = 2 + 1的函数图象在第一象限，

如图 1 所示，当 < 0， > 1时，反比例函数 = 的函数图象在第四象限，符合题意；

如图 2 所示，当 > 0， > 1时，反比例函数 = 的函数图象在第一象限，

要使得当 > 1时，对于 x 的每一个值，反比例函数 = ( ≠ 0)的值都小于一次函数 = + ( ≠ 0)的值，
那么当 = 1时反比例的函数值要小于或等于一次函数的函数值，

∴ 1 ≤ 3，
∴0 < ≤ 3．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移，灵活运
用所学知识是解题的关键．
6．在平面直角坐标系 中，直线 = + ( ≠ 0)与直线 = 平行，且过点(2,1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)直线 = + ( ≠ 0)分别交 ， 轴于点 A，点 ，若点 为 轴上一点，且 △ = 2，直接写出点 的坐
标．
【答案】(1)y=x-1
(2)(5,0)或(-3,0)
【分析】(1)首先根据直线 = + ( ≠ 0)与直线 = 平行，可求得 k=1，再把点(2,1)代入解析式，即可
求得 b，据此即可求得解析式；
(2)首先可求得 A、B 的坐标，设点 C 的坐标为(x,0)，可得 AC=|1-x|，再根据三角形的面积公式列出方程，
解方程即可求得．
【详解】（1）解： ∵ 直线 = + ( ≠ 0)与直线 = 平行
∴ = 1
∴ 直线为 = +
把点(2,1)代入解析式，得2 + = 1
解得 b=-1
故这个一次函数的解析式为 y=x-1；
（2）解：在 y=x-1 中，
令 y=0，则 x=1，故 A(1,0)
令 x=0，则 y=-1，故 B(0,-1)，OB=1
设点 C 的坐标为(x,0)，则 AC=|1-x|，
∵ 1 △ = 2 = 2
∴ |1 | = 4
解得 x=5 或 x=-3
故点 的坐标为(5,0)或(-3,0)．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，求直线与坐标轴的交点坐标，三角形面积公式，
解绝对值方程，根据三角形面积公式得到绝对值方程是解决本题的关键．
7．在平面直角坐标系 中，直线 1: = + 与直线 = 3 平行，且过点 (2,7)．
（1）求直线 1的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线 2与直线 1关于 y 轴对称，直线 = 与直线 1, 2围成的区域 W
内（不包含边界）恰有 6 个整点，求 m 的取值范围．
【答案】（1） = 3 + 1；（2） 4 ≤ < 3或5 < ≤ 6．
【分析】（1）根据直线 1: = + 与直线 = 3 平行，且过点 A（2，7）从而可以求出对应的函数解析式
即可；
（2）根据直线 2与直线 1关于 y 轴对称，在根据（1）中求得的 1，求出对应的 2，再根据整点的定义求解
即可．
【详解】解：（1）∵直线 1: = + 与直线 = 3 平行
∴直线 1: = 3 +
又∵直线 1过点 A（2，7）
∴7 = 3 × 2 + ，即 = 1
∴直线的解析式为 = 3 + 1
（2）∵直线 1: = 3 + 1
∴直线 1与 x 轴的交点为（
1
3，0），与 y 轴的交点为（0，1）
设直线 2的解析式为 = 1 + 1
∵直线 2与直线 1关于 y 轴对称
∴ 1直线 1与 x 轴的交点为（3，0），与 y 轴的交点为（0，1）
1 = 3
∴ 0 = 3 1 + 1 11 = 解得 1 = 11
故可画出如下图所示的函数图像
当 < 0，由图像可知 m 值越小所围的区域越大
当 = 4时，整点有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）、（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）恰好 6 个整点
当 = 3时，只有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）三个整点，（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）这三个点正好在边
界上
故 4 ≤ < 3时恰好有 6 个整点
故由对称性可知当5 < ≤ 6，所围成的区域也恰好有 6 个整点
综上所述： 4 ≤ < 3或5 < ≤ 6．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点．
8．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与函数 = 2 的图象平行，且过点 (1,3)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值都大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出
的取值范围．
【答案】(1)这个一次函数的表达式为 = 2 + 1；
5
(2) ≥ 2．
【分析】（1）一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与函数 = 2 的图象平行，得 = 2，
再把点 (1,3)代入求出 的值，进而可得出结论；
（2）当 = 2时， = 2 × 2 + 1 = 5 5，把点(2,5)代入 = ，得 = 2，然后根据图象即可求解；
本题考查了一次函数的图象，一次函数和不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与函数 = 2 的图象平行，
∴ = 2，
∵一次函数 = 2 + 的图象过点 (1,3)，
∴3 = 2 × 1 + ，
∴ = 1，
∴这个一次函数的表达式为 = 2 + 1；
（2）解：如图，
当 = 2时， = 2 × 2 + 1 = 5，
∴把点(2,5)代入 = ，
∴ = 52，
∵当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值都大于函数 = + ( ≠ 0)的值，
∴ ≥ 52．
1
9．一次函数 = + ( ≠ 0)图象与一次函数 = 2 + 1图象平行，且函数图象经过点( 2, 3)．
(1)求 k，b 的值；
(2)当 > 2时，对于自变量 x 的每一个值，一次函数 = 的值均大于 = + ( ≠ 0)值，直接写出 m
的取值范围．
1
【答案】(1)2， 2；
1 3
(2)2 ≤ ≤ 2．
【分析】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应
用．
（1）分别列方程即可求出 k 和 b 的值；
（2）根据两直线交点坐标，数形结合解决问题．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + 1( ≠ 0)的图象与一次函数 = 2 + 1图象平行，
∴ = 12．
∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点( 2，3)，
∴ 3 = 12 × ( 2) + ．
∴ = 2；
（2）解： 一次函数 = + ( ≠ 0)图象经过点( 2, 3)，
把点( 2， 3)代入 = ，得 3 = 2 ，
3
解得 = 2，
∵当 > 2时，对于 x 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值均大于一次函数 = + ( ≠ 0)的值，
∴1 32 ≤ ≤ 2．
10．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与函数 = 的图象平行，且经过点
(2,0)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 < 3时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于一次函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出
的取值范围．
【答案】(1) = 2
1
(2)3 ≤ ≤ 1
【分析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移；
（1）根据题意可得 = 1，把点 (2,0)代入 = + ，即可求解；
（2）根据题意，可得 < 3时直线 = ( ≠ 0)在直线 = + ( ≠ 0)的上方，利用法图象求出 的取值
范围即可．
【详解】（1）解： ∵ 一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与函数 = 的图象平行，
∴ = 1．
把点 (2,0)代入 = + ，得到 = 2．
∴ 这个一次函数的解析式为 = 2．
（2）解：由题意，得 < 3时直线 = ( ≠ 0)在直线 = 2的上方，
如图：当直线 = ( ≠ 0)在 1, 2之间时，满足题意：
当 = ( ≠ 0)与 = 2平行时， = 1，
当 = ( ≠ 0) (3 1) = 1过点 ， 时, 3，
∴ 1当3 ≤ ≤ 1时，对于 < 3的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值．
【题型 2 利用点求解析式】
11．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)与 = + 3的图象交于点(2,1).
(1)求 ， 的值；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值既大于函数 = + 的值，也大于函数
= + 3的值，直接写出 的取值范围.
【答案】(1) = 1, = 1
(2) ≥ 1
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本
题的关键．
（1）将(2,1)代入 = + 3先求出 k，再将(2,1)和 k 的值代入 = + ( ≠ 0)即可求出 b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当 > 2时，对于 的每一个值，直线 = ( ≠ 0)的图象在
直线 = 1和直线 = + 3的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将(2,1)代入 = + 3得： 2 + 3 = 1，
解得： = 1，
将 = 1，(2,1)，代入函数 = + ( ≠ 0)中，
2 + = 1
得： = 1 ，
= 1
解得： = 1 ，
∴ = 1, = 1；
（2）解：∵ = 1, = 1，
∴两个一次函数的解析式分别为 = 1, = + 3，
当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值既大于函数 = 1的值，也大于函数 = + 3的
值，
即当 > 2时，对于 的每一个值，直线 = ( ≠ 0)的图象在直线 = 1和直线 = + 3的上方，则画
出图象为：
由图象得：当直线 = ( ≠ 0)与直线 = 1平行时符合题意或者当 = ( ≠ 0)与 x 轴的夹角大于直
线 = ( ≠ 0)与直线 = 1平行时的夹角也符合题意，
∴当直线 = ( ≠ 0)与直线 = 1平行时， = 1，
∴当 > 2时，对于 的每一个值，直线 = ( ≠ 0)的图象在直线 = 1和直线 = + 3的上方时， ≥ 1，
∴m 的取值范围为 ≥ 1．
12．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (0,1)和 (1,2)，与过点(0,4)且平行于 x
轴的线交于点 C．
(1)求该函数的解析式及点 C 的坐标；
(2)当 < 3 x = 2时，对于 的每一个值，函数 3 + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值且小于 4，直接写出 n
的值．
【答案】(1) = + 1， (3,4)；
(2) = 2．
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点 C 的纵坐标为 4，代入函数解析式求出点 C
的横坐标即可；
2
（2）根据函数图象得出当 = 3 + 过点(3,4)时满足题意，代入(3,4)求出 n 的值即可．
= 1
【详解】（1）解：把点 (0,1)， (1,2)代入 = + ( ≠ 0)得： + = 2 ，
= 1
解得： = 1 ，
∴该函数的解析式为 = + 1，
由题意知点 C 的纵坐标为 4，
当 = + 1 = 4时，
解得： = 3，
∴ (3,4)；
（2）解：由（1）知：当 = 3时， = + 1 = 4，
2
因为当 < 3时，函数 = 3 + 的值大于函数 = + 1的值且小于 4，
2
所以如图所示，当 = 3 + 过点(3,4)时满足题意，
2
代入(3,4)得：4 = 3 × 3 + ，
解得： = 2．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数
形结合的思想是解题的关键．
13．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点(4,3)，( 2,0)，且与 轴交于点 ．
(1)求该函数的解析式及点 的坐标；
(2)当 > 0时，对于 的每一个值，函数 = + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出 的取值范
围．
1
【答案】(1) = 2 + 1， (0,1)
(2) ≥ 1
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当 = 0时，求出 即可求解．
1
（2）根据题意 + > 2 + 1结合 > 0解出不等式即可求解．
【详解】（1）解：将(4,3)，( 2,0)代入函数解析式得，
3= 4 + = 1
0 = 2 + ，解得 2 ， = 1
∴函数的解析式为： = 12 + 1，
当 = 0时，得 = 1，
∴点 A 的坐标为(0,1)．
（2）由题意得，
+ > 12 + 1，即 > 2 2 ，
又由 > 0，得2 2 ≤ 0，
解得 ≥ 1，
∴ 的取值范围为 ≥ 1．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性
质是解题的关键．
14．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (0,1)和点 (3,2)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当 < 3时，对于 x 的每一个值，函数 = 1( ≠ 0)的值小于一次函数 = + 的值，直接写出 m
的取值范围．
1
【答案】(1) = 3 + 1
1
(2)3 ≤ ≤ 1
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握一次函数的性质．
1 (0,1) (3,2) = 1（ ）把 和 代入得： 3 + = 2 ，解出 , 的值可得答案；
1 1
（2）当 = 3时， = 3 + 1 = 3 × 3 + 1 = 2，把(3,2)代入 = 1得2 = 3 1, = 1，根据当 < 3时，
1 1对于 的每一个值，函数 = 1( ≠ 0)的值小于一次函数 = 3 + 1的值，可知3 ≤ ≤ 1．
【详解】（1）解：把 (0,1)和 (3,2)代入得：
= 1
3 + = 2 ，
= 1
解得 3 ，
= 1
∴ = 13 + 1；
（2）当 = 3 1 1时， = 3 + 1 = 3 × 3 + 1 = 2，
把(3,2)代入 = 1得：2 = 3 1，
解得 = 1，
∵当 < 3 1时，对于 的每一个值，函数 = 1( ≠ 0)的值小于一次函数 = 3 + 1的值，
∴直线 = 1 1(与直线 = 3 + 1的交点的横坐标不小于 3，
∴ 13 ≤ ≤ 1．
1
15．在平面直角坐标系 中，一次函数 = 2 + 经过点(4,0)．
(1)求这个一次函数的解析式；
1
(2)当 < 2时，对于 的每一个值，函数 = 2 + 的值与函数 = + 1( ≠ 0)的值之和都大于 0，直接写
出 的取值范围．
【答案】(1) = 12 + 2
1
(2) 1 ≤ < 0或0 < ≤ 2
1
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，将(4,0)代入一次函数 = 2 + 解方程即可得到答案；
1
（2 1 1）令函数 1 = 2 + 2，函数 2 = + 1( ≠ 0)，求出 1 + 2 = 2 + 2 + ( + 1) = + 3，2
1 3 3
由题意得到 2 < 0，进而得到当 < 1 包含 < 2时，满足题意，从而得到2 ≤ 1 ，解不等式得到2 2
1 ≤ < 0或0 < < 12；再由 =
1
2 1 +
1 1
2 = + 2 + + 1 = 3 > 0也满足题意，即可得到答案．2 2
1
【详解】（1）解： ∵ 一次函数 = 2 + 经过点(4,0)，
∴ 0 = 12 × 4 + ，解得 = 2，
1
故一次函数的解析式为： = 2 + 2；
1
（2）解：令函数 1 = 2 + 2，函数 2 = + 1( ≠ 0)，
∴ 1 + 2 =
1 1
2 + 2 + ( + 1) = + 3，2
∵ 当 < 2 1时，对于 的每一个值，函数 = 2 + 的值与函数 = + 1( ≠ 0)的值之和都大于 0，
3
∴ 1 1 12 < 0，解得 < 2；且 + 3 > 0，解得 < 12 ；2
3
∴ 2 ≤ 1 ，则2 1 ≥ 3，解得 ≥ 1，2
∵ ≠ 0，
∴ 1 ≤ < 0或0 < < 12；
= 1 1 1 1当 2时， 1 + 2 = 2 + 2 + + 1 = 3 > 0，即 = 满足题意；2 2
1
综上所述， 的取值范围是 1 ≤ < 0或0 < ≤ 2．
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、不等式与函数
图象的关系，数形结合，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键．
16．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + 经过点(0,2)，(4, 2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 ≤ 4时，对于 x 的每一个值，函数 = + 的值大于一次函数 = + 的值，直接写出 m 的取值
范围．
【答案】(1) = + 2
2
(2) 1 ≤ < 5
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，列出关于 m 的不等式，结合图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + 的图象过点(0,2)，(4, 2)，
∴把(0,2) = 2，(4, 2)代入得： 4 + = 2 ，
= 1
解得： = 2 ，
∴一次函数的解析式 = + 2；
（2）解：由（1）得：一次函数的解析式 = + 2，
当 = 4时， = 2，
∵当 ≤ 4时，对于 x 的每一个值，函数 = + 的值大于一次函数 = + 的值，
把 = 4代入 = + 得： = 5 ，
∴5 < 2，
2
解得： < 5．
当直线 = + 与 = + 2平行时， = 1，此时函数 = + 的值大于一次函数 = + 的值，
∴ 1 ≤ < 25
17．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点(1,1)和(0, 1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 < 1时，对于 x 的每一个值，一次函数 = ( ≠ 0)的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出
m 的取值范围．
【答案】(1) = 2 1；
(2)1 ≤ ≤ 2．
【分析】可不是主要考查运用待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行可相交问题
（1）运用待定系数法求解析式即可；
（2）画出图象，结合图象可知当 = 1时，两直线相交于点(1,1)，当 = 2时，两直线平行，故可得出结论
【详解】（1）解：∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点(1,1)和(0, 1)，
∴把(1,1)和(0, 1)代入 = + ( ≠ 0)得，
+ = 1
= 1
= 2
解得 = 1
∴ 一次函数的解析式为 = 2 1
（2）解：如图，
当 = 1时，两直线相交于点(1,1)，
当 = 2时，两直线平行，
所以，m 的取值范围为1 ≤ ≤ 2
18．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点( 1,4)，与函数 = 2 的图象交于点(1, )．
(1)求 m 的值和函数 = + ( ≠ 0)的解析式；
(2)当 > 1时，对于 x 的每一个值，函数 = + 2( ≠ 0)的值大于函数 = + 的值，且小于函数 = 2
的值，直接写出 k 的取值范围．
【答案】(1) = 2，函数 = + 的解析式为 = + 3；
(2) 1 < < 2且 ≠ 0．
【分析】本题主要考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基
本性质是解题关键．
（1）把(1, )代入 = 2 ，求出 m，把( 1,4)，(1,2)代入 = + ，求出 a、b 即可；
（2）可判断 = + 2( ≠ 0)经过顶点(1,2)，再由当 > 1时，对于 x 的每一个值，函数
= + 2( ≠ 0)的值大于函数 = + 的值，且小于函数 = 2 的值，得出函数 = + 2( ≠ 0)
夹在 = + 3和 = 2 之间，且在(1,2)右边，即可求解．
【详解】（1）解：∵函数 = 2 的图象经过点(1, )，
∴ = 2．
∵函数 = + 的图象经过点( 1,4)，(1,2)，
∴ + = 4 + = 2
= 1
解得 = 3
∴函数 = + 的解析式为 = + 3．
（2）解：∵当 > 1时，对于 x 的每一个值，函数 = + 2( ≠ 0)的值大于函数 = + 的值，且小于
函数 = 2 的值，
∴ 1 < < 2且 ≠ 0．
19．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (1,0)和 (2,1)．
(1)求该函数的解析式；
1
(2)当 > 3时，对于 的每一个值，函数 = + 2的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值，当 < 1时，对于
1
的每一个值，函数 = + 2的值小于 0，直接写出 的值．
【答案】(1) = 1
1
(2)2
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式，根据题意列出不等式组
是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解： ∵ 函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (1,0)和 (2,1)，
∴ + = 02 + = 1 ，
= 1
解得： = 1 ，
∴ 该函数的解析式为 = 1；
（2）解：当 = 3时， = 3 1 = 2，
∵ 当 > 3时，对于 1的每一个值，函数 = + 2的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值，
∴ 3 + 12 ≤ 2， < 1，
1
解得： ≤ 2，
∵ < 1 1当 时，对于 的每一个值，函数 = + 2的值小于 0，
∴ + 12 ≤ 0，
1
解得： ≥ 2，
∴ = 12．
20．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图像经过点(4,1)和(0, 1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于一次函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出
的取值范围．
1
【答案】(1) = 2 1
1
(2)2 ≤ ≤ 1
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
（1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点( 2， 2)结合图象即可求得．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象经过(4,1)，(0, 1)，
∴ 4 + = 10 × + = 1 ，
∴ =
1
2 ，
= 1
∴ 1一次函数解析式为 = 2 1；
（2）解：把 = 2 1代入 = 2 1，求得 = 2，
∴ = = 1函数 ( ≠ 0)与一次函数 2 1的交点为( 2， 2)，
把点( 2， 2)代入 = ( ≠ 0)，求得 = 1，
1
当两直线平行时， = 2，
如图，
∵ 1当 > 2时，对于 x 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于一次函数 = 2 1的值，
∴12 ≤ ≤ 1．
【题型 3 一次函数与反比例函数综合】

21．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 = ( > 0)的图象 与函数 = + ( > 0)的图象 交于点 (1,3).
(1)求 k，b 的值；
(2)已知直线 = ( ≠ 0)与图象 、 分别交于点 ( 1, 1), ( 2, 2),若 1 > 2,结合函数图象，直接写出 的
取值范围．
【答案】(1) = 3, = 2
(2) > 3
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的性质，，正确
作出函数的图象是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）用待定系数法求出过点 A 的正比例函数解析式，再分别画出函数的图象，根据图象即可得出答案．

【详解】（1）解：把 (1,3)代入 = ，得 = 1 × 3 = 3；
把 (1,3)代入 = + ，得3 = 1 + ，
解得： = 2；
（2）解：设过点 (1,3)的正比例函数解析式为 = ，
把 (1,3)代入 = ，得3 = ，
∴过点 (1,3)的正比例函数解析式为 = 3 ，如图，
由图可得：直线 = ( ≠ 0)与图象 、 分别交于点 ( 1, 1), ( 2, 2),若 1 > 2,则 > 3．
22．在平面直角坐标系 中，正比例函数 = ( ≠ 0)的图象和反比例函数 = ( ≠ 0)的图象都经过
点 (2，4)．
(1)求该正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)当 > 3时， 对于 x 的每一个值， 函数 = + ( ≠ 0)的值都大于反比例函数 =

( ≠ 0)的值，直
接写出 n 的取值范围．
【答案】(1) = 2 8， =
≥ 10(2) 3
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：
（1）将 点坐标代入两个函数解析式求出 , 值即可；
= 3 = + = 2 + = 6 + = 8 = 8 8（2）当 时， ， 3，根据题意6 + > 3，解出不等式解集即可．

【详解】（1）解： ∵ 正比例函数 = ( ≠ 0)的图象和反比例函数 = ( ≠ 0)的图象都经过点 (2,4)，
∴ = 42 = 2， = 4 × 2 = 8，
∴ 8正比例函数解析式为： = 2 ；反比例函数解析式为： = ；
（2）当 = 3时， = + = 2 + = 6 + ， = 8 =
8
3，
∵ 当 > 3时，对于 的每一个值，函数 = + ( ≠ 0)的值都大于反比例函数 = ( ≠ 0)的值，
∴ 6 + ≥ 83，
≥ 10解得 3 ．

23．在平面直角坐标系 中，一次函数 = k + (k＞0)与反比例函数 = (m≠0)的图象交于点 A(1，6)和
点 B．
(1)若点 B(－6，－1)，求该一次函数和反比例函数的解析式；

(2)当 ≤ 3时，对于 的每一个值，函数 = (m≠0)的值大于一次函数 = k + (k＞0)的值，直接写出 k 的
取值范围．
6
【答案】(1) = + 5． =
(2) ≥ 2
【分析】（1）由待定系数法进行计算，即可求出函数的解析式；
6
（2）先求出 = 6 ，然后求出方程 = + 6 的解，结合 ≤ 3即可求出答案．
【详解】（1）解：将点 A(1，6)，B(－6，－1)的坐标分别代入 = + 中，
+ =得 6， 6 + = 1，
=解得 1， = 5，
∴一次函数的解析式 = + 5．

将点 A(1，6)的坐标代入 = 中，
得 m＝6，
∴ 6反比例函数的解析式 = ．

（2）解：由点 A(1，6)在一次函数 = + 和反比例函数 = 的图像上，
∴ = 6 6， = ，
6
令 = + 6 ，
∴( + 6)( 1) = 0；
∴ 6 1 = 1， 2 = ，
∵当 ≤ 3时，对于 的每一个值，不等式都成立，
∴ 6 ≤ 3，
∴ ≥ 2；
【点睛】本题考查了反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图像和反比例函数图像交点的求法是解题
的关键．

24．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 = ( 1) + 6( > 0)的图象与反比例函数 = （m≠0）的图象
的一个交点的横坐标为 1．
(1)求这个反比例函数的解析式；

(2)当 x＜﹣3 时，对于 x 的每一个值，反比例函数 y= 的值大于一次函数 = ( 1) + 6( > 0)的值，直接
写出 k 的取值范围．
6
【答案】(1) =
(2) ≥ 2
【分析】（1）把交点的横坐标代入一次函数解析式中求出交点的纵坐标，根据交点坐标使用待定系数法即
可求出反比例函数解析式．
6
（2）根据题意确定当 x＜﹣3 时，反比例函数 y= 的最小值大于一次函数 = ( 1) + 6( > 0)的最大值，
6
根据反比例函数的增减性求出当 x＜﹣3 时，反比例函数 y= 的取值范围，根据一次函数的增减性求出当 x＜
﹣3 时一次函数 = ( 1) + 6( > 0)的取值范围，再据此列出不等式并求解即可．
【详解】（1）解：把 x=1 代入一次函数解析式中得 = (1 1) + 6 = 6．
∴一次函数图象和反比例函数图象的交点是(1,6)．

把(1,6)代入反比例函数解析式中得6 = 1．
∴m=6．
∴ 6反比例函数的解析式为 = ．

（2）解：∵当 x＜﹣3 时，对于 x 的每一个值，反比例函数 y= 的值大于一次函数 = ( 1) + 6( > 0)的
值，
∴ x 6当 ＜﹣3 时，反比例函数 y= 的最小值大于一次函数 = ( 1) + 6( > 0)的最大值．
∴把 x 6=-3 代入反比例函数解析式中得 = 3 = 2，把 x=-3 代入一次函数 = ( 1) + 6中得
= ( 3 1) + 6 = 4 + 6．
∴ 6当 x＜﹣3 时，反比例函数 = 的取值范围是大于-2，且小于 0，一次函数 = ( 1) + 6( > 0)的取值范
围是大于 4 + 6．
∴ 2 ≥ 4 + 6．
∴ ≥ 2．
【点睛】本题考查根据自变量求一次函数的函数值，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的增减
性，一次函数的增减性，熟练掌握这些知识点是解题关键．

25．一次函数 y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数 = 的图象相交于 A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l，l 与两坐标轴分别相交于 M，N，与反比例函数的

图象相交于点 P，Q，求 的值
y= 1 + 4 = 1【答案】（1）一次函数 2 ，（2） 2．
6
【分析】（1）利用点 A(2，3)，求出反比例函数 = ，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；
1 =
1 4
（2）利用平移求出 y= 2 4，联立
2
6 ，求出 P(-6,-1),Q(-2,-3),在 Rt△MON 中，由勾股定理 MN= =

4 5,PQ=2 5即可．

【详解】解：（1）∵反比例函数 = 的图象过 A(2，3)，
∴m=6,
∴6n=6，
∴n=1，
∴B（6,1）
一次函数 y=kx 6+b（k≠0）的图像与反比例函数 = 的图象相交于 A(2，3)，B(6，1)两点，
∴ 6 + = 12 + = 3 ，
= 1
解得 2 ，
= 4
1
一次函数 y= 2 + 4，
1
（2）直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l，得 y= 2 4，
1
当 y=0 时， 2 4 = 0， = 8，当 x=0 时，y=-4，
∴M（-8，0），N（0，-4），
= 1 4
2 ，
= 6

消去 y 得 2 +8 + 12 = 0，
解得 1 = 2, 2 = 6，
1 = 2 2 = 6解得 1 = 3
， 2 = 1
，
∴P(-6,-1),Q(-2,-3),
在 Rt△MON 中，
∴MN= 2 + 2 = 4 5,
∴PQ= ( 2 + 6)2 + ( 1 + 3)2 = 2 5，
∴ 2 5 1 = =4 5 2．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线 l.，解方程组，
一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直
线 l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键．
1
26．一次函数 = 2 + （b 为常数）的图像与 x 轴交于点 A（2，0），与 y 轴交于点 B，与反比例函数 =
的图像交于点 C（-2，m）．
(1)求点 C 的坐标及反比例函数的表达式；
(2)过点 C 的直线与 y 轴交于点 D，且 △ : △ = 2:1，求点 D 的坐标．
【答案】(1)C（-2，2）；反比例函数的表达式为 = 4 ；
(2)D 点坐标为（0，-1）或（0，3）
【分析】（1）求出 A 点的坐标代入 = 12 +
1
，得 = 2 +1，得点 C 的坐标（-2，2），把点 C（-2，2）代
入 = ，即可得答案；
（2）求出△BOC 和△BCD 的面积，即可求出 BD 的值，即可求出点 D 的坐标．
【详解】（1）解：把点 A 1（2，0）代入 = 2 + ，
∴ b=1，
∴ = 12 +1，
1
把点 C（-2，m）代入 = 2 +1，解得 m=2，
∴点 C 的坐标（-2，2），
C = 把点 （-2，2）代入 ， 2 =

2，
∴k=-4，
∴ 4 反比例函数的表达式为 = ；
（2）如下图：
∵B 是 = 12 +1和 y 轴交点，
∴B（0，1），
∴OB=1，
∵C（-2，2），
在△BOC 中，OB 边上的高是 2，
∴ = 1 △ 2 × 1 × | 2| = 1，
∵ △ : △ = 2:1，
∴S△CBD=2，
设 D 的坐标为(0，m)，
∴BD=∣m-1∣，
在△BDC 中，BD 边上的高为是 2，
1
2 × × 2 = 2，
∴BD=2，
∴m-1=±2，
∴D 点的坐标为(0，3)或(0，-1)．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式等知识点，解题的
关键是能正确用待定系数法求出函数的解析式．

27．已知一次函数 = + ( ≠ 0)与反比例函数 = ( ≠ 0)的图象交于 A（2，3）， B（-6，n） 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）P 是 y 轴上一点，且 = 12，直接写出 P 点坐标．
6 1
【答案】（1）反比例函数解析式为 = ．所求一次函数为 = 2 + 2（2）P（0，5）或 P（0，-1）．

【详解】试题分析：（1）先把 A 点坐标代入 = ( ≠ 0)，求出 m=6，再把点 B 坐标代入即可求出 n 的值，
把 A、B 点坐标分别代入一次函数解析式，求出 k 和 b 的值，从而确定一次函数解析式；
（2）根据三角形面积计算出点 P 坐标即可．

试题解析：（1）把 (2，3) 代入 = 得， = 6．
∴ 6反比例函数解析式为 = ．
6
把 ( 6， )代入 = 得 = 1．
∴ ( 6， 1)
把 (2，3) 、 ( 6， 1)分别代入 = + 中，得
{ 2 + = 3 6 + = 1
= 1
解得：{ 2 = 2
∴ 1所求一次函数为 = 2 + 2
（2）∴P（0，5）或 P（0，-1）．
考点：用待定系数法求函数关系式．

28．在平面直角坐标系 中，反比例函数 1 = ( ≠ 0)的图象经过点 ( 1, 6)，一次函数 2 = 1
( ≠ 0)的图象与 y 轴交于点 B．
(1)求反比例函数的表达式并直接写出点 的坐标；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，都有 1 < 2，直接写出 的取值范围．
6
【答案】(1)反比例函数的表达式为 = ； (0, 1)
(2) ≥ 2
【分析】（1）待定系数法求解析式，对于直线 2 = 1( ≠ 0)令 = 0，得 = 1，求得点 的坐标；
6
（2）令 = 中， = 2，解得： = 3，结合函数图象即可求解．

【详解】（1）解：依题意，把点 ( 1, 6)，代入 1 = ( ≠ 0)
得 = ( 1) × ( 6) = 6，
∴ 6反比例函数的表达式为 = ；
由 2 = 1( ≠ 0)的图象与 y 轴交于点 B，
令 = 0，得 = 1，
∴ (0, 1)；
6
（2）解：如图，令 = 中， = 2，解得： = 3，
当直线 2 = 1( ≠ 0)经过点(2,3)时，
3 = 2 1
解得： = 2，
根据函数图象可知，当 ≥ 2时，
当 > 2时，对于 的每一个值，都有 1 < 2，
∴ ≥ 2
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．

29．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + 的图象与 x 轴交于点(4,0)，且与反比例函数 = 的图
象在第四象限的交点为( , 1)．
(1)求 b，m 的值；

(2)点 ( , )是一次函数 = + 图象上的一个动点，且满足 < < 4，连接 OP，结合函数图象，直接
写出 OP 长的取值范围．
【答案】(1)b=4，m=-5
(2)2 2≤OP< 26
【分析】（1）把(4,0)代入 y=-x+b，即可求出 b 值，从而得出一次函数解析式，再把(n,-1)代入一次函数解析
式求出 n 值，然后把(n,-1)代入反比例函数银析式求出值即可；

（2）先画出示意图，如图，由 < < 4，得出 0OC⊥BD 于 C，求出 OC、OD 的长，即可由 OC≤OP【详解】（1）解：把(4,0)代入 y=-x+b，得 0=-4+b，
解得：b=4，
∴一次函数解析式为 y=-x+4，
把(n,-1)代入 y=-x+4，得-1=-n+4，
解得：n=5，

把(5,-1)代入 = 得， 1 = 5 ,
解得：m=-5；
（2）解：如图，

∵ < < 4，
∴0∴点 P 在线段 BD 上运动，
连接 OD，过点 O 作 OC⊥BD 于 C，
∵A（4，0），B（0，4），D（5，-1），
∴OA=OB=4，OD= 52 + 12 = 26，AB=4 2，
∵S 1△OAB=2 =
1
2 ，
∴4×4=4 2OC，
∴OC=2 2，
∴OC≤OP∴2 2≤OP< 26，
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，垂线段
最短，图象法求不等式解集，熟练掌握一次函数与反比例关系函数性质是解题的关键．

30．在平面直角坐标系 中，直线 = + ( ≠ 0)与反比例函数 = ( ≠ 0)的图象交于点 ( 1, )，
(2, 1)两点．
（1）求 , 的值；

（2）已知点 ( ,0)( > 0)，过点 作 轴的垂线，分别交直线 = + ( ≠ 0) 和反比例函数 = ( ≠ 0)
的图象于点 , ，若线段 的长随 的增大而增大，直接写出 的取值范围．
= 2
【答案】（1） = 2 ；（2） > 2

【分析】（1）由点 （ 1 ， ）， （2， 1）在反比例函数 = ( ≠ 0)的图象上，代入反比例函数的方
1 =
程组 2 = ，解方程组即可；
1
2
（2）由 A（-1，2）B（2，-1）可求直线 = + 1与反比例函数 = ，当 x=a 时两交点 M（a，-a+1），N
a 2 |( 2)( +1)| ( 2)( +1)（ ， ）利用两点距离公式可求 MN= ，当0 < < 2时化简 MN= 设 x1，x2 是0 < < 2
( +2)( )
上任意两个数且0 < 2 < 1 < 2
1 2 2 1
，对应的 MN 值分别 y1，y2， 1 2 = ，可得 1 2 < 0，MN1 2
在0 < < 2 ( 2)( +1)随着 a 的增大而减小，当 > 2时化简得 MN= ，设 x1，x2 是 > 2上任意两个数且 1 > 2
( +2)(
> 2 = 1 2 1 2
)
> 0 > 2 ( 2)( +1)，对应的 MN 值分别 y1，y2， 1 2 1 ，可得 2 1 2 ， ，MN= 随着 a
的增大而增大即可．

【详解】解：（1）∵点 （ 1 ， ）， （2， 1）在反比例函数 = ( ≠ 0)的图象上，
1 =
∴ 2 = ，
1
= 2
解得： = 2 ；
（2）∵A（-1，2）B（2，-1）在直线 = + ( ≠ 0)上，
∴ + = 22 + = 1 ，
= 1
解得 = 1 ，
直线 = + 1，
反比例函数 = 2 ，
当 x=a 时 M（a，-a 2+1），N（a， ），
2
MN=| 2 + 1 | =| 2| = |( 2)( +1)| ，
当0 < < 2 ( 2)( +1)时 MN= ，
设 x1，x2 是0 < < 2上任意两个数且0 < 2 < 1 < 2，x1，x2 对应的 MN 值分别 y1，y2，
( 1 2)( 1+1) ( 2 2)( +1) 1 =
2
2 + ，1 2
( 1 2+2)( 2 = 1
)
，1 2
∵ 1 2 > 0, 1 2 +2 > 0, 2 1 < 0，
1 2 < 0，
∴0 < < 2，MN= ( 2)( +1) 随着 a 的增大而减小，
∴MN 在0 < < 2随着 a 的增大而减小，
> 2 ( 2)( +1)当 时 MN= ，
设 x1，x2 是 > 2上任意两个数且 1 > 2 > 2，x1，x2 对应的 MN 值分别 y1，y2，
( 2)( +1) ( 2)( +1)
1 2 =
1 1 2 2 ，1 2
( 1 2+2)( 1 = 2
)
1
，
2
∵ 1 2 > 0, 1 2 +2 > 0, 1 2 > 0，
1 2 > 0，
∴ > 2 ( 2)( +1)，MN= 随着 a 的增大而增大，
∴ 的取值范围是 > 2．
【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式与反比列函数解析式，并根据差函数的增减性确参数的范围，
掌握待定系数法求直线解析式与反比列函数解析式，会利用比差法确定参数范围是解题关键．
【题型 4 求常数项取值范围】
31．在平面直角坐标 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (0，1)和 (1，2)， 与过点(0，4)且平
行于 x 轴的直线交于点 C．
(1)求该函数的解析式及点 C 的坐标；
2
(2)当 < 3时，对于 x 的每一个值，函数 = 3 + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值且小于 5，直接写
出 n 的取值范围．
【答案】(1) = + 1， (3,4)
(2)2 ≤ ≤ 3
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，
（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点 C 的纵坐标为 4，代入函数解析式求出点 C 的横坐标
即可；
= 3 = + 1 = 4 = 3 = 2（2）当 时， ，当 时， 3 + = 2 + ，根据题意可得4 ≤ 2 + ≤ 5，问题随之得
解．
= 1
【详解】（1）解：把点 (0,1)， (1,2)代入 = + ( ≠ 0)得： + = 2 ，
= 1
解得： = 1 ，
∴该函数的解析式为 = + 1，
由题意知：点 C 的纵坐标为 4，
当 = + 1 = 4时，
解得： = 3，
∴ (3,4)；
（2）解：由（1）知：当 = 3时， = + 1 = 4，
2
当 = 3时， = 3 + = 2 + ，
∵当 < 3 2时，函数 = 3 + 的值大于函数 = + 1的值且小于 5，
∴4 ≤ 2 + ≤ 5，
解得：2 ≤ ≤ 3．
32．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 的图象平移得到，且经过点(0,3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
1
(2)当 > 0时，对于 x 的每一个值，一次函数 = 2 + 的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值且大于 0，直接
写出 n 的取值范围．
【答案】(1) = + 3
(2)0 ≤ ≤ 3
【分析】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．利用数形结合的
思想是解题关键．
（1）由题意结合函数图象平移的特点可得出 = 1，再将(0,3)代入，求出 b 的值即可；
1
（2）画出大致图形，结合图形即得出当0 ≤ ≤ 3时，当 > 0时，对于 x 的每一个值，一次函数 = 2 +
的值小于函数 = + 3的值且大于 0．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 的图象平移得到，
∴ = 1，
∴ = + ．
∵该一次函数经过点(0,3)，
∴3 = 0 + ，即 = 3，
∴这个一次函数的解析式为 = + 3；
（2）解：如图，
由图可知当0 ≤ ≤ 3 1时，当 > 0时，对于 x 的每一个值，一次函数 = 2 + 的值小于函数 = + 3的值且
大于 0，
∴n 的取值范围是0 ≤ ≤ 3．
33．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 2 的图象平移得到，且经过点
(2,3)．
(1)求该函数的解析式；
(2)当 < 2时，对于 的每一个值，函数 = + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出 的取值
范围．
【答案】(1) = 2 1
(2) ≥ 1
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，根据不等式的解集得 + 1 ≥ 2是
解题的关键．
（1）根据函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 2 的图象平移得到的，可求出 k 的值，再代入(2,3)即可；
（2）当 < 2时，对于 x 的每一个值，函数 = + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值时，即
+ > 2 1，得 < + 1，可得 + 1 ≥ 2，即可求解．
【详解】（1）∵ 函数 = + ( ≠ 0)的图象平行于函数 = 2 的图象，
∴ = 2 + ，
把(2,3)代入，得：2 × 2 + = 3，
解得， = 1，
∴该函数的表达式为 = 2 1；
（2）当函数 = + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值时， + > 2 1，
∴ < + 1，
∵当 < 2时，对于 x 的每一个值，函数 = + 的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值，
∴ + 1 ≥ 2，
∴ ≥ 1．
34．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 2 的图象平移得到，且经过
点 (1, 3)，与过点(0,3)且平行于 x 轴的直线交于点 ．
(1)求该函数的解析式及点 的坐标；
(2)当 > 2时，对于 的每一个值，函数 = + 的值大于 = + ( ≠ 0)的值且小于5，直接写出 的
取值范围．
【答案】(1) = 2 1，点 的坐标为( 2,3)
(2)1 ≤ ≤ 3
【分析】本题考查一次函数图像与几何变化及待定系数法求一次函数解析式，数形结合方法解题是解题关
键．
（1）根据一次函数平移的性质可得 = 2，再利用待定系数法可得该函数的解析式；把 = 3代入所求解析
式即可得出点 的坐标；
（2）求出直线 = + 过点( 2,3)、( 2,5)时 的值，结合图像即可得答案．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由函数 = 2 的图象平移得到，
∴ = 2，
∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象过点 (1, 3)，
∴ 2 + = 3，
解得： = 1，
∴该函数的解析式为 = 2 1，
∵一次函数 = 2 1的图象与过点(0,3)且平行于 x 轴的直线交于点 ，
∴把 = 3代入 = 2 1得：3= 2 1，
解得： = 2，
∴点 的坐标为( 2,3)．
（2）如图所示：
把( 2,3)代入 = + 得2 + = 3，
解得： = 1，
把( 2,5)代入 = + 得2 + = 5，
解得： = 3，
∵ > 2时，对于 的每一个值，函数 = + 的值大于 = + ( ≠ 0)的值且小于5，
∴ 的取值范围为1 ≤ ≤ 3．
35．在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 (2,1)和 (0, 1)．
(1)求该函数解析式；
(2)当 > 2 1时，对于 x 的每一个值，函数 = 2 + 的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值且大于 4，直接写
出 n 的取值范围．
【答案】(1) = 1
(2) 3 ≤ ≤ 2
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等．
（1）将点 (2,1)和 (0, 1)代入 = + ( ≠ 0)中即可得到本题答案；
（2）根据 = 1可得与 轴交于(0, 1)，再画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案．
【详解】（1）解：由题意得：将点 (2,1)和 (0, 1)代入 = + ( ≠ 0)中得：
2 + = 1 = 1
= 1 ，解得： = 1 ，
∴该函数解析式为： = 1；
（2）解：当 = 2时，代入 = 1得： = 3，
1
在平面直角坐标系中画出直线 = 1和满足条件的直线 = 2 + ，如图：
∵当 > 2 1时，对于 x 的每一个值，函数 = 2 + 的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值，
∴ 1当 = 2 + 过( 2, 3)时满足题意
∴12 × ( 2) + = 3， = 2，
∵当 > 2 1时，对于 x 的每一个值，函数 = 2 + 的值大于 4，
∴当 = 12 + 过( 2, 4)时满足题意，
∴12 × ( 2) + = 4， = 3，
综上：满足条件的 n 的取值范围为： 3 ≤ ≤ 2．
【题型 5 求一次项系数取值范围】
36．在平面直角坐标系中，函数 = + ( ≠ 0)的图象过点 (0, 1)和点 (1,0)．
(1)求 、 的值；
(2)当 > 1时，对于 x 的每一个值，函数 = + 3( > 0)的值大于函数 = + 的值，直接写出 m 的
取值范围．
= 1
【答案】(1) = 1
(2)1 ≤ ≤ 5
【分析】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函
数的性质．
（1）通过待定系数法将 (0, 1)， (1,0)代入解析式求解．
（2）解不等式 + 2 < + ，然后分 1 ≥ 0和 1 < 0两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将 (0, 1)， (1,0)代入解 = + 得，
= 1
+ = 0 ，
= 1
解得 = 1 ；
2 = 1（ ）解：∵ = 1
∴一次函数解析式为 = 1，
不等式 + 3 > 1得，( 1) > 4，
4
当 1 ≥ 0时， > 1 ，
1 ≥ 0
∴ 4 ≤ 1 ，
1
4
当 1 < 0时， < 1 ，不合题意，舍去；
解得：1 ≤ ≤ 5．
37．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象平行于直线 = 2 ，且经过点 ( 1, 1)．
(1)求 和 的值；
(2)当 > 1时，对于 的每一个值，一次函数 = + ( ≠ 0)的值大于函数 = ( ≠ 0)的值，直接写出
的取值范围．
【答案】(1) = 2， = 1
(2)1 ≤ ≤ 2
【分析】对于（1），先根据平行确定 k，再将点 ( 1, 1)代入计算得出答案；
对于（2），根据2 + 1 > ，再分情况讨论即可．
【详解】（1）∵一次函数 = + 的图像平行于 = 2 ，
∴一次函数的关系式为 = 2 + ．
∵一次函数 = 2 + 的图像经过点 ( 1, 1)，
∴ 1 = 2 × ( 1) + ，
解得 = 1，
∴一次函数的关系式为 = 2 + 1；
（2）当 > 1时，一次函数 = 2 + 1的值大于函数 = 的值，
∴2 + 1 > ，
即(2 ) > 1．
当 = 2时，对于任意 x 的每一个值都符合题意；
当 > 2时，2 < 0 1，则 < 2，与 > 1相矛盾；
当 < 2时，2 > 0 1，则 > 2，
1
2 ≥ 1，
解得1 ≤ ，
∴1 ≤ ≤ 2．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数与不等式，一次函数的应用等，根据两直线平行得
出函数关系式中的 k 值是解题的关键．
38．在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由 = 2 的图象平移得到，且过点
(2, 1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 > 2时，对于 x 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出 的
取值范围．
【答案】(1) = 2 + 3
(2) ≥ 12，且 ≠ 0
【分析】（1）根据一次函数的平移可得 = 2，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得 = 2时，两直线的交点，进而画出图形即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象由 = 2 的图象平移得到，
∴ = 2
∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象过点(2, 1)
∴ 2 × 2 + = 1
∴ = 3
∴这个一次函数的解析式 = 2 + 3；
（2）由 = 2 + 3，当 = 2时， = 1，
将(2, 1)代入 = ( ≠ 0)
即 1 = 2
解得： = 12
∵ > 2时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值大于函数 = 2 + 3的值，
∴ ≥ 12，且 ≠ 0
【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，根据一次函数交点求不等式的解集，熟练掌
握一次函数的性质是解题的关键．
39．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 = + 的图象经过点(2，0)，(3，1)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当 > 时，对于 x 的每一个值，正比例函数 = 的值大于一次函数 = + 的值，直接写出 m 的取
值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式 = 2；
(2) ≥ 1．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出关于 m 的不等式即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + 的图象过点(2，0)，(3，1)，
∴ 2 + = 0把(2，0)，(3，1)代入得： 3 + = 1 ，
= 1
解得： = 2 ，
∴一次函数的解析式 = 2；
（2）解：由（1）得：一次函数的解析式 = 2，
当 = 时， = 2，
当 > 时，对于 x 的每一个值，正比例函数 = 的值大于一次函数 = + 的值，
∴ ≥ 1，
把 = 代入 = 得： = 2，
2
∴ 2 > 2
1 7
，即 2 > 4，
无论 m 取何值，不等式均成立，
∴ ≥ 1.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活掌握所学知识是解题关键．
40．在平面直角坐标系中，一次函数 = + ( ≠ 0)的图象平行于直线 = 2 ，且经过点 (1，2)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当 < 1时，对于 的每一个值，一次函数 = + ( ≠ 0)的值都大于一次函数 = + 1的值，直接写
出 的取值范围．
【答案】(1) = 2 + 4；
(2) 2 ≤ ≤ 1．
【分析】（1）根据一次函数图象平移时 k 不变可知 = 2，再把点 (1，2)代入求出 b 的值，进而可得出结
论；
（2）由函数解析式 = + 1可知其经过点(0，1)，由题意可得临界值为当 = 1，两条直线都过点
(1，2)，将点 (1，2)代入到一次函数 = + 1，可求出 m 的值，结合函数图象的性质即可得出 m 的取值
范围．
【详解】（1）解：∵一次函数 = + ( ≠ 0)的图象与函数 = 2 的图象平行，
∴ = 2，
∵一次函数 = 2 + 的图象过点 (1，2)，
∴2 = 2 + ，
∴ = 4，
∴这个一次函数的表达式为 = 2 + 4；
（2）解：对于一次函数 = + 1，当 = 0时，有 = 1，可知其经过点(0，1)．
当 < 1时，对于 x 的每一个值，一次函数 = + ( ≠ 0)的值大于一次函数 = + 1的值，即一次函数
= + ( ≠ 0)图象在函数 = + 1的图象上方，由下图可知：
临界值为当 = 1时，两条直线都过点 (1，2)，
将点 (1，2)代入到函数 = + 1中，
可得2 = + 1，解得 = 1，
结合函数图象及性质可知，当 < 1， ≤ 1时，一次函数 = + ( ≠ 0)的值大于一次函数 = + 1的
值，
又∵如下图，当 < 0时，根据一次函数的图象可知，不符合题意．
∴m 的取值范围为： 2 ≤ ≤ 1．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握一次函数
的图象与性质，学会运用数形结合的思想思考问题是解题关键．

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