资源简介 专题 11 圆解答题分类训练（4 种类型 40 道）目录【题型 1 求半径】.....................................................................................................................................................1【题型 2 求线段长】.................................................................................................................................................4【题型 3 求证是切线】.............................................................................................................................................7【题型 4 角的数量关系】.......................................................................................................................................10【题型 1 求半径】1．已知：如图， 是 ⊙ 的直径， ， 是 ⊙ 上两点，过点 的切线交 的延长线于点 E， ⊥ ，连接 ， ．(1)求证：∠ = 2∠ ；1(2)若tan∠ = 2， = 8，求 ⊙ 的半径．2．如图， 是 ⊙ 外一点， ， 分别切 ⊙ 于点 ， ， 与 ⊙ 交于点 ， = ．(1)求证： △ 是等边三角形；(2)过点 作 的平行线，与 ⊙ 的另一个交点为 ，连接 ．若 = 6，求 ⊙ 的半径和tan∠ 的值．3．如图， 是 ⊙ 的一条弦，E 是 的中点，过点 B 作 ⊙ 的切线交 的延长线于点 D．(1)求证： = ；(2)若 = 12， = 5，求 ⊙ 的半径．4．已知：如图， 是 ⊙ 的直径，点 、 在 ⊙ 上，过点 D 作 ⊥ 交 延长线于点 E，且 为 ⊙ 的切线．(1)若 C 为 的中点，求证： = ；(2)若 = 2,sin = 45，求 ⊙ 的半径．5．如图， 是 ⊙ 的直径， 为 ⊙ 的切线，切点为 C，交 的延长线于点 A，点 F 是 ⊙ 上的一点，且点 C 是弧 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 B．(1)求证：∠ = 90°；(2)若 = 3，tan∠ = 34，求⊙O 的半径.6．如图， 是 ⊙ 的直径，弦 ⊥ 于点 ，过点 作 ⊙ 的切线交 的延长线于点 ，∠ = 30°．(1)求∠ 的大小；(2)取 的中点 ，连接 ，请补全图形；若 = 14，求 ⊙ 的半径．7．如图，AB 是 ⊙ 的直径，弦 ⊥ ，垂足为 H，E 为 上一点，过点 E 作 ⊙ 的切线，分别交 , 的延长线于点 F，G 连接 AE，交 CD 于点 P．(1)求证： = ；(2)连接 AD，若 ∥ , = 8,cos = 45，求 ⊙ 半径．8．如图，△ABC 中，∠C＝90°，点 E 在 AB 上，以 BE 为直径的⊙O 与 AC 相切于点 D，与 BC 相交于点 F，连接 BD，DE．(1)求证：∠ADE＝∠DBE；3(2)若 sinA＝5，BC＝6，求⊙O 的半径．9．如图，在 △ 中，∠ = 90°， 是 △ 的角平分线. 的垂直平分线交 AB 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作 ⊙ ，交 AB 于点 F.(1)求证：BC 是 ⊙ 的切线；(2)若 = 5，tan = 512，求 ⊙ 的半径 的值.10．已知：如图， 是 ⊙ 的直径， ， 是 ⊙ 上两点，过点 的切线交 的延长线于点 ， ⊥ ，连接 ， ．（1）求证：∠ = 2∠ ；（2）若tan∠ = 12， = 4，求 ⊙ 的半径．【题型 2 求线段长】11．如图，AB 是⊙O 的直径，过 B 作⊙O 的切线，与弦 AD 的延长线交于点 C， = ，E 是直径 AB 上一点，连接 DE 并延长与直线 BC 交于点 F，连接 AF．(1)求证： = ；(2)若tan∠ = 14，⊙O 的半径长为 6，求 EF 的长．12．如图，以 为直径作 ⊙ ，点 C 在 ⊙ 上，连接 ， ，过点 C 作 ⊥ 于点 E，交 ⊙ 于点 D，点 F 是 上一点，过点 F 作 ⊙ 的切线交 的延长线于点 G，若 ∥ ．(1)求证：∠ = ∠ ； 4(2)若 = 3， ⊙ 的半径为 8，求 的长．13．如图，在Rt △ 中，∠ = 90°，以直角边 为直径的 ⊙ 交 于点 ，在 上截取 = ，连接 交 ⊙ 于点 ．(1)求证：∠ = 12∠ ；(2)若 ⊙ 1的半径长 = 5，tan∠ = 2，求 的长．14．如图，P 为 ⊙ 外一点， ， 是 ⊙ 的切线，A，B 为切点，点 C 在 ⊙ 上，连接 ， ， ， ，延长 交 于点 D．(1)求证：2∠ + ∠ = 90°；(2)连接 ，若 ∥ ， ⊙ 的半径为 3， = 2，求 的长．15．如图， 是 ⊙ 的半径， 与 ⊙ 相切于点 A，点 C 在 ⊙ 上且 = ，D 为 的中点，连接 ，连接 交 于点 E，交 于点 F．(1)求证： = ；(2)若 = 3，sin∠ = 3 5，求 的长．16．如图， 为 ⊙ 的直径，弦 ⊥ ，过点 A 作 ⊙ 的切线交 的延长线于点 E．(1)求证：∠ = ∠ ；(2)若 ⊙ 的半径为 5， = 6，求 的长．17．如图， 为 ⊙ 的直径，过点 A 作 ⊙ 的切线 ，C 是半圆 上一点（不与点 A、B 重合），连结 ，过点 C 作 ⊥ 于点 E，连接 并延长交 于点 F．(1)求证：∠ = ∠ ；(2)若 ⊙ 的半径为 5， = 8，求 的长．18．如图， 为 ⊙ 的直径，弦 ⊥ 于点 H，⊙ 的切线 与 的延长线交于点 E， ∥ ， 与 ⊙ 的交点为 F．(1)求证： = ；(2)若 ⊙ 的半径为 6， = 2 ，求 的长．19．如图， 是 ⊙ 的直径，点 在 ⊙ 上， 是 的中点， 的延长线与过点 的切线交于点 ， 与 的交点为 ．(1)求证： = ；(2)若 ⊙ 的半径是2， = 3，求 的长．20．如图，过 ⊙ 外一点 P 作 ⊙ 的两条切线 ， ，切点分别为 A，B， 是 ⊙ 的直径，连接 并延长交直线 于点 D．(1)求证： = ；1(2)延长 交 的延长线于点 E．若 ⊙ 的半径为 2，sin = 3，求 的长．【题型 3 求证是切线】21．如图，AB 为 ⊙ 的直径，点 C、点 D 为 ⊙ 上异于 A、B 的两点，连接 CD，过点 C 作 ⊥ ，交DB 的延长线于点 E，连接 AC、AD．(1)若∠ = 2∠ ，求证：CE 是 ⊙ 的切线．(2)若 ⊙ 的半径为 5，tan∠ =12，求 AC 的长．22．如图， ⊙ 的半径 与弦 垂直于点 ，连接 ， ．(1)求证：2∠ + ∠ = 90°；(2)分别延长 、CO交 ⊙ 于点 E、F，连接 ，交 于 ，过点 作 ⊥ ，交 延长线于点 ．若 是 的中点，求证： 是 ⊙ 的切线．23．如图， 是 ⊙ 的直径，点 P 是 ⊙ 外一点， ⊥ ，点 M 在 ⊙ 上，连接 交 于点 N，使得∠ = 2∠ ．(1)求证： 是 ⊙ 的切线；(2)若 ⊙ 3的半径为 5，tan∠ = 4，求 的长．24．如图，在 △ 中，∠ = 90°，点 在边 上，且∠ = ∠ ，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，以点 为圆心， 的长为半径作 ⊙ 交 于点 ．(1)求证： 是 ⊙ 的切线．(2)若 ⊙ 的半径为5， = 8，求线段 的长．25．如图，圆内接四边形 的对角线 , 交于点 E，∠ = ∠ ．(1)求证： 平分∠ ；(2)过点 C 作 ∥ 交 的延长线于点 F，若 平分∠ , = ，求证： 为 ⊙ 的切线．26．如图，已知⊙O 的直径 垂直弦 于点 E，过 C 点作 ∥ 交 延长线于点 G，连接 并延长交 于点 ，且 ⊥ ．(1)求证： 是⊙O 的切线；(2)若 = 4，求 的长．27．如图①， ⊙ 是 △ 的外接圆，点 在 上，延长 至点 ，使得∠ = ∠ ．(1)求证： 为 ⊙ 的切线；1(2)若∠ 的角平分线 交线段 于点 ，交 ⊙ 于点 ，连接 ，如图②，其中 = 4，tan∠ = 2，求 ．28．如图， 是 ⊙ 的直径，点 C 是 ⊙ 上一点， 平分∠ 交 ⊙ 于点 D，过点 D 作 ⊥ 交 的延长线于点 E．(1)求证：直线 是 ⊙ 的切线；4(2)延长 与直线 交于点 F，若 = 5，cos∠ = 5，求 的长．29．如图， 是 ⊙ 的直径，C 是圆上一点，弦 ⊥ 于点 E，且 = ．过点 A 作 ⊙ 的切线，过点C 作 的平行线，两直线交于点 F， 的延长线交 的延长线于点 G．(1)求证： 与 ⊙ 相切；(2)连接 ，求tan∠ 的值．30．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点， ⊥ 交 AC 于点 E， = ．(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)若 = 4， = 2，求 cosD．【题型 4 角的数量关系】31．如图， △ 中， = ，以 为直径作 ⊙ ，与边 交于点 ，过点 的 ⊙ 的切线交 的延长线于点 ．(1)求证：∠ = 2∠ ；(2)若cos∠ = 35， = 4，求 的长．32．如图， 为 ⊙ 的直径， 为 延长线上的一点， 为 ⊙ 的切线， 为切点， ⊥ 于点 ，连结 ．1(1)求证：∠ = 2∠ 2(2)作 ⊥ 交 延长线于点 ，交 ⊙ 点 ，若sin = 3， = 10，求 的长．33．如图，AB 是 ⊙ 的弦，C 为 ⊙ 上一点，过点 C 作 AB 的垂线与 AB 的延长线交于点 D，连接 BO 并延长，与 ⊙ 交于点 E，连接 EC，CD 是 ⊙ 的切线．(1)求证：∠ = 2∠ ；(2)若tan = 13， = 8，求 BD 的长．34．如图，BE 是⊙O 直径，点 A 是⊙O 外一点：OA⊥OB，AP 切⊙O 于点 P，连接 BP 交 AO 于点 C．(1)求证：∠PAO=2∠PBO；(2)若⊙O 的半径为 5，tan∠ = 34，求 BP 的长．35．如图， △ 是 ⊙ 的内接三角形，过点 C 作 ⊙ 的切线交 AB 的延长线于点 D， ⊥ 于点 E，交 CD 于点 F．（1）求证：∠ + ∠ = 90°；3（2）若tan = 2, = 6，求线段 CF 的长．36．如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点 D 作 DE⊥OA 于点 E，射线 DC 切⊙O 于点 C、交 AB 的延长线于点 P，连接 AC 交 DE 于点 F，作 CH⊥AB 于点 H．（1）求证：∠D=2∠A；（2）若 HB 3=2，cosD=5，请求出 AC 的长．37．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，D 是弧 BC 的中点，过点 D 作⊙O 的切线，分别交 AC、AB 的延长线于点 E 和点 F，连接 CD、BD．（1）求证：∠A＝2∠BDF；（2）若 AC＝3，AB＝5，求 CE 的长．38．如图， 为 ⊙ 的直径， 与 ⊙ 相切于点 ，连接 交 ⊙ 于点 ．（1）求证：∠ = ∠ ；（2）若点 为 的中点，连接 交 于点 ，若 = 6，sin∠ = 5，求 的长．339．如图，AB 是⊙O 的直径，PA，PC 与⊙O 分别相切于点 A，C，连接 AC，BC，OP，AC 与 OP 相交于点 D．（1）求证：∠B+∠CPO＝90°；BP 12 3（2）连结 ，若 AC＝ 5 ，sin∠CPO＝5，求 BP 的长．40．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点 C 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线交于点 D，过点 B 作BE⊥BA，交 DC 延长线于点 E，连接 OE，交⊙O 于点 F，交 BC 于点 H，连接 AC．（1）求证：∠ECB＝∠EBC；3（2）连接 BF，CF，若 CF＝6，sin∠FCB=5，求 AC 的长．专题 11 圆解答题分类训练（4 种类型 40 道）目录【题型 1 求半径】.....................................................................................................................................................1【题型 2 求线段长】...............................................................................................................................................18【题型 3 求证是切线】...........................................................................................................................................35【题型 4 角的数量关系】.......................................................................................................................................53【题型 1 求半径】1．已知：如图， 是 ⊙ 的直径， ， 是 ⊙ 上两点，过点 的切线交 的延长线于点 E， ⊥ ，连接 ， ．(1)求证：∠ = 2∠ ；1(2)若tan∠ = 2， = 8，求 ⊙ 的半径．【答案】(1)见解析(2)2 5【分析】（1）连接 ，根据切线的性质，已知条件可得 ∥ ，进而根据平行线的性质可得∠ = ∠ ，根据圆周角定理可得∠ = 2∠ ，等量代换即可得证；（2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ = ∠ ，进而根据正切值以及已知条件可得 的长，勾股定理即可求得 ，进而即可求得圆的半径．【详解】（1）证明：连接 ，如图，∵ 是 ⊙ 的切线，∴ ⊥ ，∵ ⊥ ，∴ ∥ ，∴ ∠ = ∠ ，∵ = ，∴ ∠ = 2∠ ，∴ ∠ = 2∠ ．（2）解：连接 ，如图所示：∵ 是 ⊙ 的直径，∴ ∠ = 90°，∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∵ tan∠ = 12，∴ tan∠ = 1 = 2 ，∵ = 8，∴ = 4，∴ = 4 5，∴⊙O 的半径为2 5．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键．2．如图， 是 ⊙ 外一点， ， 分别切 ⊙ 于点 ， ， 与 ⊙ 交于点 ， = ．(1)求证： △ 是等边三角形；(2)过点 作 的平行线，与 ⊙ 的另一个交点为 ，连接 ．若 = 6，求 ⊙ 的半径和tan∠ 的值．【答案】(1)证明过程见详解(2) ⊙ 的半径为2 3，tan∠ = 2 33【分析】（1）连接 ， ，根据 = = 可得∠ = 60°，根据切线的性质，切线长定理即可求得∠ = 30°，由此即可求解；（2）作 ∥ ，根据等边三角形的判和性质可得 是直径，可得 △ 是直角三角形，根据垂径定理，含30°角的直角三角形的性质可得半径，根据解直角三角形的方法即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，连接 ， ，∵ ， 是 ⊙ 的切线，∴ ⊥ ， ⊥ ， = ，∴∠ = ∠ = 90°，∵ = ， = ，∴ = = ，即 △ 是等边三角形，∴∠ = 60°，在Rt △ 中，∠ = 90° 60° = 30°，∴∠ = ∠ = 30°，则∠ = 60°，且 = ，∴ △ 是等边三角形；（2）解：如图所示，延长 交 ⊙ 于点 ，连接 并延长交 ⊙ 于点 ，连接 ，由（1）可知， ⊥ ，∵ ∥ ，∴∠ = 90°，且∠ = 30°，∴∠ = 60°，且 = ，∴ △ 是等边三角形，∴∠ = 60°，∵∠ + ∠ + ∠ = 180°，且∠ = ∠ = 60°，∴点 ， ， 三点共线，即点 与点 重合，∴ 是 ⊙ 的直径，∴ △ 是直角三角形，∵ △ 是等边三角形， = 6，∠ = 60°，∴ = = 6，∴∠ = 90°，∠ = 60°，∴ △ 中， ⊥ ，∴ = = 12 = 3，sin∠ = sin60° = =3，2 3∴ = sin60° = 3 = 2 3，即 ⊙ 的半径为2 3，2∴ = 2 = 4 3，在Rt △ 中， = 6， = 4 3，∴tan∠ = = 4 3 = 2 3 ，6 3综上所述， ⊙ 的半径为2 3，tan∠ = 2 3．3【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，解直角三角形的计算方法等知识是解题的关键．3．如图， 是 ⊙ 的一条弦，E 是 的中点，过点 B 作 ⊙ 的切线交 的延长线于点 D．(1)求证： = ；(2)若 = 12， = 5，求 ⊙ 的半径．【答案】(1)见解析15(2) 2【分析】（1）由切线，可知∠ = 90°，即∠ + ∠ = 90°，由 = ，可得∠ = ∠ ，由三角形内角和、对顶角相等可得∠ = ∠ ，进而结论得证；（2）如图，连接 ，作 ⊥ 于 ，则 ⊥ 1， = = 6， = 2 = 3，由勾股定理得， = 4，证明∠ = ∠ ，则sin∠ = = sin∠ = 6 4 ，即 = 5，计算求解，然后作答即可．【详解】（1）证明：∵ 是 ⊙ 的切线，∴∠ = 90°，即∠ + ∠ = 90°，∵ = ，∴∠ = ∠ ，∵∠ + ∠ = 180° ∠ = 90°，∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∴ = ；（2）解：如图，连接 ，作 ⊥ 于 ，∵E 是 的中点， = 12， = ，∴ ⊥ ， = = 6， = 12 = 3，由勾股定理得， = 2 2 = 4，∵∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°， ∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∴sin∠ = = sin∠ = 6 4 ，即 = 5，15解得， = 2 ，∴ ⊙ 15的半径为 2 ．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦是解题的关键．4．已知：如图， 是 ⊙ 的直径，点 、 在 ⊙ 上，过点 D 作 ⊥ 交 延长线于点 E，且 为 ⊙ 的切线．(1)若 C 为 的中点，求证： = ；4(2)若 = 2,sin = 5，求 ⊙ 的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质进行解答即可；（2）根据垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质列方程求解即可．【详解】（1）证明： ∵ 点 是 的中点，即 = ，∴ ∠ = ∠ ，又 ∵ 为 ⊙ 的切线，点 是切点， 是半径，∴ ⊥ ，∵ ⊥ ，∴ ∥ ，∴ ∠ = ∠ ，∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∴ = ；（2）解：如图，连接 交 于点 ，∵ 是 ⊙ 的直径，∴ ∠ = 90°，即 ⊥ ，由（1）可知， ⊥ ，∴ ∥ ，又 ∵ ∥ ，∴ 四边形 是平行四边形，∵ ∠ = 90°，∴ 四边形 是矩形，∴ = = 2，∵ ⊥ ，∴ = ，∵ = ，∴ = 12 ，设半径为 ，则 = 2， = 2 = 2 4，在直角 △ sin = 4， 5， = 2 ，∴ = 2 × 45 =85 ，由勾股定理得， 2 = 2 + 2，2 = 82即(2 ) ( 5 ) + (2 4)2，解得 = 5 = 4或 5（舍去），即 ⊙ 的半径为 5．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及平行线的性质和判断是正确解答的关键．5．如图， 是 ⊙ 的直径， 为 ⊙ 的切线，切点为 C，交 的延长线于点 A，点 F 是 ⊙ 上的一点，且点 C 是弧 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 B．(1)求证：∠ = 90°；3(2)若 = 3，tan∠ = 4，求⊙O 的半径.【答案】(1)见解析18(2) 5【分析】（1）连接 ，利用切线性质得到∠ = 90°，再根据等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质得到∠ = ∠ ，进而证明 ∥ 即可证得结论；（2）先根据（1）中结论，结合已知求得 = 4，进而利用勾股定理求得 = 2 + 2 = 5，证明 △ ∽△ = 5 得到 ，设 ⊙ 的半径为 r，由 5 = 3求解即可，【详解】（1）证明：连接 ，∵ 为 ⊙ 的切线，切点为 C，∴∠ = 90°，∵点 C 是弧 的中点，∴ = ，∴∠ = ∠ ，即∠ = ∠ ，∵ = ，∴∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∴ ∥ ，∴∠ = ∠ = 90°；（2）解：∵ = 3，∠ = 90°，tan∠ = 34，∴ = 4，在Rt △ 中，由勾股定理得 = 2 + 2 = 5，∵ ∥ ，∴ △ ∽△ ，∴ = ，⊙ r 5 设 的半径为 ，则 5 = 3， = 15解得 8 ，即 ⊙ 15的半径为 8 ．【点睛】本题考查切线性质、等弧与圆周角的关系、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．6．如图， 是 ⊙ 的直径，弦 ⊥ 于点 ，过点 作 ⊙ 的切线交 的延长线于点 ，∠ = 30°．(1)求∠ 的大小；(2)取 的中点 ，连接 ，请补全图形；若 = 14，求 ⊙ 的半径．【答案】(1)30°(2)图形见解析，2 2【分析】（1）连接 ，先求出∠ = 60°，从而得出∠ = 30°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ = 2∠ = 60°，最后根据切线的定义即可求解；（2）连接 , ，证明 △ 为等边三角形，将 的长度用半径表示出来，再证明∠ = ∠ + ∠ = 90°，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）解：连接 ，∵ 是 ⊙ 的直径，∴∠ = 90°，∵∠ = 30°，∴∠ = 90° 30° = 60°，∵ ⊥ ，∴∠ = 90° 60° = 30°，∴∠ = 2∠ = 60°，∵ 为 ⊙ 的切线，∴ ⊥ ，∴∠ = 90° ∠ = 90° 60° = 30°．（2）如图，连接 , ，∵ = ，∠ = 60°，∴ △ 为等边三角形，∵点 M 为 中点，∴∠ = 30°， ⊥ ，∴∠ = ∠ + ∠ = 60° + 30° = 90°，设 ⊙ 半径为 r，在Rt △ 中， = sin60° = 3 ，2∵ = 14， = ，∴Rt △ 中，根据勾股定理可得： 2 + 2 = 2，23 2即 2 + 2 = ( 14) ，解得： = 2 2，∴ ⊙ 半径为2 2．【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是掌握圆周角定理，圆的切线的定义，直角三角形两个内角互余，勾股定理等相关知识．7．如图，AB 是 ⊙ 的直径，弦 ⊥ ，垂足为 H，E 为 上一点，过点 E 作 ⊙ 的切线，分别交 , 的延长线于点 F，G 连接 AE，交 CD 于点 P．(1)求证： = ；(2)连接 AD，若 ∥ , = 8,cos = 45，求 ⊙ 半径．【答案】(1)见解析25(2) 6【分析】（1）连接 OE，要使 EF=FP，需要∠FEP=∠FPE，通过切线和垂直的已知条件，利用等角的余角相等可得∠FEP=∠FPE，结论可得．（2）设圆的半径为 r，在 Rt△ODH 中，利用勾股定理可以求得半径 r．【详解】（1）证明：连接 OE，∵EF 是圆的切线，∴OE⊥EF．∴∠OEF=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA．∴∠AEF=∠APH．∵∠APH=∠EPF，∴∠EPF=∠AEF．∴EF=PF．（2）连接 OD，设圆的半径为 r，∵直径 AB⊥CD 于 H，CD=8，∴CH=DH=4．∵AD∥FG，∴∠ADH=∠F．∴ 4cos∠ADH=cosF=5 ∴ = cos∠ = 5∴ = 2 2 = 3∴OH=OA-AH=r-3．在 Rt△ODH 中， ∵ 2 + 2 = 2,∴（r-3）2+42=r2．25∴ = = 6【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理和解直角三角形的知识．使用添加圆中常添加的辅助线是解题的关键．8．如图，△ABC 中，∠C＝90°，点 E 在 AB 上，以 BE 为直径的⊙O 与 AC 相切于点 D，与 BC 相交于点 F，连接 BD，DE．(1)求证：∠ADE＝∠DBE；A 3(2)若 sin ＝5，BC＝6，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析15(2) 4【分析】（1）连接 ，如图，根据切线的性质得到∠ = 90°，根据圆周角定理得到∠ = 90°，然后利用等角的余角相等得到结论； （2）设 ⊙ 的半径为 ，利用正弦的定义求出 = 10，再证明Δ ∽ Δ 10 ，利用相似比得到 10 = 6，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接 ，如图，∵ 为切线，∴ ⊥ ，∴ ∠ = 90°，∵ 为直径，∴ ∠ = 90°，∵ ∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，∵OD=OE∴∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ；（2）解：设 ⊙ 的半径为 ， 3在 △ 中，sin = = 5，∴ = 53 =53 × 6 = 10，∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ // ，∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ ，∴ Δ ∽ Δ ， ∴ = 10 ，即 10 = 6，解得 = 154 ，15即 ⊙ 的半径为 4 ．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形相似、锐角三角函数、圆周角定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．9．如图，在 △ 中，∠ = 90°， 是 △ 的角平分线. 的垂直平分线交 AB 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作 ⊙ ，交 AB 于点 F.(1)求证：BC 是 ⊙ 的切线；(2)若 = 5，tan = 512，求 ⊙ 的半径 的值.【答案】(1)证明见详解65(2) = 18【分析】（1）连接 OE，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义只要证得 ∥ 即可；（2）利用锐角三角函数和勾股定理先求得 BC 与 AB 的值，只要证得 △ ∽ △ 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）连接 OE，∵ 的垂直平分线交 AB 于点 O，∴ = ，∴∠1 = ∠2∵ 平分∠ ，∴∠1 = ∠3，∴∠2 = ∠3，∴ ∥ .∵∠ = 90°，∴∠ = ∠ = 90°，∴ 是 ⊙ 的切线.（2）∵ Δ 5中， = 5，tan = 12，∴tan = 5 = 12∴ = 12， = 2 + 2 = 13，设 = ，则 = = 13 ，∵ ∥ ，∴ △ ∽ △ ，∴ = ，13 即 13 = 5 ，65解得 = 18.∴ ⊙ 65的半径 r 的值为18【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．10．已知：如图， 是 ⊙ 的直径， ， 是 ⊙ 上两点，过点 的切线交 的延长线于点 ， ⊥ ，连接 ， ．（1）求证：∠ = 2∠ ；1（2）若tan∠ = 2， = 4，求 ⊙ 的半径．【答案】（1）见解析；（2） 5【分析】（1）连接 ，根据切线的性质，已知条件可得 // ，进而根据平行线的性质可得∠ = ∠ ，根据圆周角定理可得∠ = 2∠ ，等量代换即可得证；（2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ = ∠ ，进而根据正切值以及已知条件可得 的长，勾股定理即可求得 ，进而即可求得圆的半径．【详解】（1）连接 ，如图，∵ 是 ⊙ 的切线，∴ ⊥ ，∵ ⊥ ，∴ // ，∴ ∠ = ∠ ，∵ = ，∴ ∠ = 2∠ ，∴ ∠ = 2∠ ．（2）连接 ∵ 是 ⊙ 的直径，∴ ∠ = 90°，∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∵ 1 tan∠ = 2，∴ tan∠ = 1 2 = ，∵ = 4，∴ = 2，∴ = 2 + 2 = 22 + 42 = 2 5，∴ = 12 = 5．即 ⊙ 的半径为 5．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键．【题型 2 求线段长】11．如图，AB 是⊙O 的直径，过 B 作⊙O 的切线，与弦 AD 的延长线交于点 C， = ，E 是直径 AB 上一点，连接 DE 并延长与直线 BC 交于点 F，连接 AF．(1)求证： = ；(2)若tan∠ = 14，⊙O 的半径长为 6，求 EF 的长．【答案】(1)证明见解析(2) 13【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理、切线性质以及题中 = 可得∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 45°，从而得出结论； ⊥ Δ Δ = （2）连接 ，由（1）知 ，得出 ，得出 ，在 Δ 1中，tan∠ = 4，⊙O6 的半径长为 6，解得 = 3，从而3 = ，设 = , = 2 ，则 + = = 6，解得 = 2，即 = 2，在 Δ 中，利用勾股定理得结论．【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ = 90°，即 ⊥ ，∵ 过 B 作⊙O 的切线，∴ ⊥ ，∵ = ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 45°，∴ = ，∴ = ；（2）解：连接 ，如图所示：在等腰 Δ 中，∠ = 90°，∴ ⊥ ，∵ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ = 90°，∴ Δ Δ ，∴ = ，在 Δ 中，tan∠ = 1 1 4，⊙O 的半径长为 6，则tan∠ = 4 = = 12，解得 = 3，∴ 6 3 = ，设 = , = 2 ，则 + = + 2 = = 6，解得 = 2，在 Δ 中，∠ = 90°， = 2, = 3，则利用勾股定理得 = 2 + 2 = 22 + 32 = 13．【点睛】本题考查圆综合，涉及到圆周角定理、直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质、正切函数求线段长、勾股定理等知识点，根据题意准确作出辅助线是解决问题的关键．12．如图，以 为直径作 ⊙ ，点 C 在 ⊙ 上，连接 ， ，过点 C 作 ⊥ 于点 E，交 ⊙ 于点 D，点 F 是 上一点，过点 F 作 ⊙ 的切线交 的延长线于点 G，若 ∥ ．(1)求证：∠ = ∠ ； 4(2)若 = 3， ⊙ 的半径为 8，求 的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，可得∠ = 90°，根据三角形内角和可得∠ = 90° ∠ ，根据切线的性质可得∠ = 90°，根据三角形内角和可得∠ = 90° ∠ ，根据平行线的性质可得∠ = ∠ ，即可证明∠ = ∠ ；（2）根据垂径定理可得 = 4，根据正切的定义可得tan∠ = 3，由（1）得∠ = ∠ ，故tan∠ = =43，即可求得．【详解】（1）证明：∵ 为直径作 ⊙ ，点 C 在 ⊙ 上∴∠ = 90°∴∠ = 90° ∠ ∵ ⊥ ∴∠ = 90°∴∠ = 90° ∠ ∵ ∥ ∴∠ = ∠ ∴∠ = ∠ （2）∵ ⊥ ∴ = ∴tan∠ = = 4 = 3又∵∠ = ∠ ∴tan∠ = tan∠ = 4 = 3∴ = 34 =34 × 8 = 6【点睛】本题考查了半圆（或直径）所对的圆周角是直角，三角形内角和，切线的性质，平行线的性质，垂径定理，正切的定义等，熟练掌握以上性质是解题的关键．13．如图，在Rt △ 中，∠ = 90°，以直角边 为直径的 ⊙ 交 于点 ，在 上截取 = ，连接 交 ⊙ 于点 ．1(1)求证：∠ = 2∠ ；(2)若 ⊙ 的半径长 = 5，tan∠ = 12，求 的长．【答案】(1)见解析 = 20(2) 3 ．【分析】（1）连接 ，由圆周角定理及直角三角形的性质可得∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，进而可得∠ = ∠ ，再利用等腰三角形的性质可证明结论；（2）过 E 点作 ⊥ 于点 G，证明 △ ∽△ ，列比例式，结合锐角三角函数的定义可求得 = 4， = 8， △ ∽△ ，列比例式可求解 的长，再利用勾股定理可求解．【详解】（1）证明：连接 ，∵ 为 ⊙ 的直径，∴∠ = 90°，∴∠ + ∠ = 90°，∵∠ = 90°，∴∠ + ∠ = 90°，∴∠ = ∠ ，∵ = ，∠ = 90°，∴∠ = 12∠ ，∴∠ = 12∠ ；（2）解：过 E 点作 ⊥ 于点 G，∴∠ = ∠ = 90°，∵∠ = ∠ ，∴ △ ∽△ ，∴ = = ，∵tan∠ = tan∠ = 12，∴ = 2 ，∵ = 2 = 10，∴ = 2 5， = 4 5，∵ ⊥ ， = ，∴ = 2 = 4 5，10∴ = 2 5 = 4 5，4 5 解得 = 4， = 8，∵∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，∴ △ ∽△ ，∴ = ，∴ 4 10 = 8+ ，16解得 = 3 ，2∴ = 16 2 + 2 = + 42 =203 ．3【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理等知识的综合运用，掌握相关的性质定理是解题的关键．14．如图，P 为 ⊙ 外一点， ， 是 ⊙ 的切线，A，B 为切点，点 C 在 ⊙ 上，连接 ， ， ， ，延长 交 于点 D．(1)求证：2∠ + ∠ = 90°；(2)连接 ，若 ∥ ， ⊙ 的半径为 3， = 2，求 的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）连接 ，延长交 ⊙ 于点 ，连接 ，先根据圆周角定理可得∠ = 90°，∠ = 2∠ ，再根据圆的切线的性质可得∠ = 90°，从而可得∠ = 2∠ ，然后根据∠ + ∠ = 90°即可得证；（2）连接 ，延长 交 于点 ，先利用勾股定理可得 = 4，再证出 △ △ ，根据相似三角形的性质可得 = 85，然后根据切线长定理可得 = ，设 = = 12，则 = 5 ，最后证出△ △ ，根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）证明：如图，连接 ，延长交 ⊙ 于点 ，连接 ，由圆周角定理得：∠ = 90°，∠ = 2∠ ，∴ ∠ + ∠ = 90°，∵ 是 ⊙ 的切线，∴ ∠ = 90°，即∠ + ∠ = 90°，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = 2∠ ，又 ∵ ∠ + ∠ = 180° ∠ = 90°，∴ 2∠ + ∠ = 90°．（2）解：如图，连接 ，延长 交 于点 ，∵⊙ 的半径为 3， = 2，∴ = = 3， = 5，∵ ∠ = 90°，∴ = 2 2 = 4，∵ ∥ ，∴△ △ ，∠ = ∠ = 90°，∴ = 2 ，即 4 = 5，8解得 = 5，∵ ， 是 ⊙ 的切线，∴ ∠ + ∠ = 90°， = ，设 = = ，则 = = 12( ) = 5 ，∵ = ，∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∵ ∠ + ∠ = 90°，∴ ∠ = ∠ ，△ △ ∠ = ∠ 在 和 中， ∠ = ∠ = 90° ，∴△ △ ，∴ 12= ，即 5 5 = ，3解得 = 6，所以 的长为 6．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线长定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．15．如图， 是 ⊙ 的半径， 与 ⊙ 相切于点 A，点 C 在 ⊙ 上且 = ，D 为 的中点，连接 ，连接 交 于点 E，交 于点 F．(1)求证： = ；3(2)若 = 3，sin∠ = 5，求 的长．【答案】(1)见解析(2)2 10【分析】（1）由等腰三角形的性质及切线的性质得出∠ = ∠ ，得出∠ = ∠ ，则可得出结论；（2）设 = 3 ， = 5 ，则 = 4 ，求出 = 1，由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】（1）证明：∵ = ，D 为 的中点，∴ ⊥ ，∴∠ + ∠ = 90°，∵ 与⊙相切于点 A，∴ ⊥ ，∴∠ = 90°，∴∠ + ∠ = 90°，∵ = ，∴∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∴ = ；3（2）解：∵sin∠ = 5∴ 3 = 5设 = 3 ， = 5 ，∴ = 4 ，∵ = = 3，∴ = 4 3， = 5 3，∴ = 2 = 6 ，∴ = 6 ，∵∠ = ∠ ，∴tan∠ = tan∠ ，∴ 4 3 5 3 = , 3 = 6 解得 = 1∴ = 2， = 6，∴ = 2 + 2 = 2 10【点睛】本题考查了切线的性质、锐角三角函数等知识点．熟练掌握相关结论是解题关键．16．如图， 为 ⊙ 的直径，弦 ⊥ ，过点 A 作 ⊙ 的切线交 的延长线于点 E．(1)求证：∠ = ∠ ；(2)若 ⊙ 的半径为 5， = 6，求 的长．【答案】(1)见详解9(2)2【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的 ．（1）先证明 ∥ ，则∠ = ∠ ，由 = ，得到∠ = ∠ ，继而求证；（2）连接 ， 为 ⊙ 的直径， ⊥ ，则 = = 6，∠ = ∠ = 90°，先求 = 2 2= 8，再证明 △ ∽△ 即可．【详解】（1）证明：∵ 是 ⊙ 的切线， 为 ⊙ 的直径，∴∠ = 90°，∵ ⊥ ，∴∠1 = ∠ = 90°，∴ ∥ ，∴∠ = ∠ ，∵ = ，∴∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ．（2）解：如图，连接 ，∵ 为 ⊙ 的直径， ⊥ ，∴ = = 6，∠ = ∠ = 90°，∵半径为 5∴ = 10，∴ = 2 2 = 8，∵∠ = ∠ = 90°，∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，∴∠ = ∠ ，在Rt △ 和Rt △ 中，∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，∴ △ ∽△ ，∴ = ，2∴ = = 36 9 8= 2．17．如图， 为 ⊙ 的直径，过点 A 作 ⊙ 的切线 ，C 是半圆 上一点（不与点 A、B 重合），连结 ，过点 C 作 ⊥ 于点 E，连接 并延长交 于点 F．(1)求证：∠ = ∠ ；(2)若 ⊙ 的半径为 5， = 8，求 的长．【答案】(1)证明见解析 = 32(2) 3【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．【详解】（1）证明： ∵ 是 ⊙ 的切线，∴ ∠ = 90 ，∵ ⊥ 于点 ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∥ ，∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ．（2）解：连结 ，∵ ⊥ 于点 ， 是 ⊙ 的直径，∴ = ，∴ 是 的垂直平分线，∴ = = 8，∵⊙ 的半径为 5，∴ = 10，∴ = 6，∵ 是 ⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，∴ tan∠ = tan∠ ，∴ = ，∴ 2 = ，∴ = 323 ．18．如图， 为 ⊙ 的直径，弦 ⊥ 于点 H，⊙ 的切线 与 的延长线交于点 E， ∥ ， 与 ⊙ 的交点为 F．(1)求证： = ；(2)若 ⊙ 的半径为 6， = 2 ，求 的长．【答案】(1)证明见解析；(2) 的长为 12．【分析】此题考查圆周角定理、切线的性质定理、垂径定理、锐角三角函数，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）连接 、 、 ，由切线的性质证明 ⊥ ，而 为 ⊙ 的直径，所以∠ = ∠ = 90°，由 ∥ ，得∠ = ∠ = ∠ ，则 = ，由垂径定理得 = ，则 = ，可证明 = ，所以 = ；（2）由 ⊙ 的半径为 6， = 2 ，得到 = = 2 + = 6 ，求得 = 2，因为 = = cos2 2∠ 6，所以 = = = 18，进而即可求解． 2【详解】（1）解：连接 、 、 ，则 = ，∵ 与 ⊙ 相切于点 C，∴ ⊥ ，∵ 为 ⊙ 的直径，∴∠ = ∠ = 90°，∴∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，∵∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∵ ∥ ，∴∠ = ∠ = ∠ ，∴ = ，∵ ⊥ ，∴ = ，∴ = ，∴ = + = + = ，∴ = ．（2）解：∵ ⊙ 的半径为 6， = 2 ，∴ = = 2 + = 6，∴ = 2，∵∠ = ∠ = 90°，∴ = = cos∠ ， 2 2∴ = = 6 = 18， 2∴ = = 18 6 = 12，∴ 的长为 12．19．如图， 是 ⊙ 的直径，点 在 ⊙ 上， 是 的中点， 的延长线与过点 的切线交于点 ， 与 的交点为 ．(1)求证： = ；(2)若 ⊙ 的半径是2， = 3，求 的长．【答案】(1)证明见解析7(2)5【分析】（1）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等得出∠ = ∠ ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ = 90°，根据直角三角形中两个锐角互余可得∠ + ∠ = 90°，根据对顶角相等可得∠ + ∠ = 90°，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得∠ = 90°，根据直角三角形中两个锐角互余可得∠ + ∠ = 90°，根据等角的余角相等可得∠ = ∠ ，根据等角对等边即可证明；（2）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ = 90°，根据直角三角形中两个锐角互余可得∠ + ∠ = 90°，根据等角的余角相等可得∠ = ∠ ，根据题意可得 = 4，根据直角三角形中9两直角边的平方和等于斜边的平方求得 = 5，根据锐角三角形函数的定义可求得 = 5，根据等腰三角18形底边上的高与底边上的中点重合可得 = 5 ，即可求解．【详解】（1）证明：∵ 是 的中点，∴ = ，∴∠ = ∠ ，∵ 是 ⊙ 的直径，∴∠ = 90°，∴∠ + ∠ = 90°，∵∠ = ∠ ，∴∠ + ∠ = 90°，∵ 与 ⊙ 相切于点 ，∴∠ = 90°，∴∠ + ∠ = 90°，∴∠ = ∠ ，∴ = ．（2）解：连接 ，如图：∵ 是 ⊙ 的直径，∴∠ = 90°，∴∠ + ∠ = 90°，∵∠ = ∠ + ∠ = 90°，∴∠ = ∠ ，∵ ⊙ 的半径是2，∴ = 4，∵ = 3，在Rt △ 中， = 2 + 2 = 42 + 32 = 5，∴sin∠ = sin∠ = = =35，∴ = sin∠ = 3 × 35 =95，∵ = ， ⊥ ，∴ = 2 = 2 × 9 = 185 5 ，∴ = = 5 18 75 = 5．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，等角的余角相等等，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．20．如图，过 ⊙ 外一点 P 作 ⊙ 的两条切线 ， ，切点分别为 A，B， 是 ⊙ 的直径，连接 并延长交直线 于点 D．(1)求证： = ；(2)延长 交 的延长线于点 E．若 ⊙ 的半径为 2，sin =13，求 的长．【答案】(1)见解析(2)4 33【分析】（1）连接 ，利用切线的性质和切线长定理得到∠ = ∠ = 90°， = ，利用等腰三角形性质和等量代换得到 = ，利用等量代换即可证明 = ；（2）连接 ， ，在Rt △ 中，利用sin = 13，得到设 = ， = 3 ．则 = = = ， = 2 2 ．在Rt △ 1中，利用sin = = 3建立等式算出 的值，进而得到 ，利用勾股定理得到 ，证明 △ ∽△ ，利用相似三角形的性质即可求出 ．【详解】（1）证明：连接 ，如图 1．∵ ， 是 ⊙ 的切线， ， 是 ⊙ 的半径，∴ = ，∠ = ∠ = 90°，∴ ∠ + ∠ = 90°，∠1 + ∠2 = 90°.．∵ = ，∴ ∠ = ∠2，∴ ∠1 = ∠ ，∴ = ．又 ∵ = ，∴ = ．（2）解：连接 ， ，如图 2．在Rt △ sin = = 1中， 3，设 = ， = 3 ．则 = = = ， = 2 2 ． 1 2 1在Rt △ 中，sin = = 3，即 = 3．解得 = 1．2+2 2 ∴ = 2， = 2 + 2 = 2 3．∵ 是 ⊙ 的直径，∴ ∠ = 90°．∵ ∠ = ∠ = 90°,，∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ．∴ = ，∴ = 2 2×2 2 = 4 3．2 3 3【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、熟练掌握切线的性质，能够正确作出辅助线是解答问题的关键．【题型 3 求证是切线】21．如图，AB 为 ⊙ 的直径，点 C、点 D 为 ⊙ 上异于 A、B 的两点，连接 CD，过点 C 作 ⊥ ，交DB 的延长线于点 E，连接 AC、AD．(1)若∠ = 2∠ ，求证：CE 是 ⊙ 的切线．1(2)若 ⊙ 的半径为 5，tan∠ = 2，求 AC 的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）连接 OC，可证明 OC//DE，由于 CE⊥DB，∠CED=90°，所以∠OCE=90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案．（2）连接 BC，由于∠BDC=∠BAC，所以tan∠ =tan∠ = 12，设 BC=x，AC=2x，所以 AB= 5x，列出方程即可求出 x 的值．【详解】（1）解：连接 OC，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠COB=2∠OAC，∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC，∴∠COB=∠ABD，∴OC//DE，∵CE⊥DB，∠CED=90°，∴∠OCE=90°，OC⊥CE，∴CE 是⊙O 的切线．（2）连接 BC，∵∠BDC=∠BAC，∴tan∠ =tan∠ = 12，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA=90°，∴ 1 = 2，设 BC=x，AC=2x，∴AB= 5 ，∵⊙O 的半径为 5，∴ 5 = 2 5，∴x=2，∴AC=2x=4．【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理．22．如图， ⊙ 的半径 与弦 垂直于点 ，连接 ， ．(1)求证：2∠ + ∠ = 90°；(2)分别延长 、CO交 ⊙ 于点 E、F，连接 ，交 于 ，过点 作 ⊥ ，交 延长线于点 ．若 是 的中点，求证： 是 ⊙ 的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接 ，可知∠ = 90°，根据圆周角定理即可证明；（2）连接 ，根据垂径定理的推论，可知 ⊥ ，可证∠ = ∠ ，根据同弧所对圆周角相等可知∠ = ∠ ，再证∠ = ∠ 即可知 ∥ ，进而可证明 是 ⊙ 的切线．【详解】（1）连接 ，∵ ⊥ ∴∠ = 90°∵ = ∴∠ = ∠ ∵∠ = 2∠ 、∠ + ∠ = 90°∴2∠ + ∠ = 90°（2）连接 ，∵点 是 的中点，且位于 上∴ ⊥ 于点 G∴∠ = 90° = ∠ ∵∠ = ∠ ∴∠ = ∠ ∵∠ = ∠ ∴∠ = ∠ ∵ = ∴∠ = ∠ ∴∠ = ∠ ∴ ∥ ∵ ⊥ ∴ ⊥ 即∠ = 90°∴ 是 ⊙ 的切线．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定及性质、平行线的判定、切线的判定等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．23．如图， 是 ⊙ 的直径，点 P 是 ⊙ 外一点， ⊥ ，点 M 在 ⊙ 上，连接 交 于点 N，使得∠ = 2∠ ．(1)求证： 是 ⊙ 的切线；(2)若 ⊙ 的半径为 5，tan∠ = 34，求 的长．【答案】(1)见解析(2)4 103【分析】（1）首先根据圆周角定理得到∠ = 2∠ ，然后等量代换得到∠ = ∠ ，然后结合 ⊥ 得到∠ + ∠ = 90°，即∠ = 90°，进而证明即可；（2）过点 M 作 ⊥ ，首先得到tan∠ = = 3 4，设 = 3 ， = 4 ，根据勾股定理求出 = 3， = 4 = 2 2 = 3 △ ∽△ ，然后求出 + 10，然后证明出 ，得到 = ，求出 =5 10，进而求解即可．3【详解】（1）∵ = ∴∠ = 2∠ ∵∠ = 2∠ ∴∠ = ∠ ∵ ⊥ ∴∠ + ∠ = 90°∴∠ + ∠ = 90°∴∠ = 90°∵点 M 在 ⊙ 上，∴ 是 ⊙ 的切线；（2）如图所示，过点 M 作 ⊥ ∵tan∠ = 34，∠ = ∠ ∴tan∠ = 3 = 4∴设 = 3 ， = 4 ∵若 ⊙ 的半径为 5，∴ = = 5∵ 2 = 2 + 2，．即52 = (4 )2 + (3 )2解得 = 1（负值舍去）∴ = 3， = 4∴ = + = 9∴ = 2 + 2 = 3 10∵ ⊥ ， ⊥ ∴ ∥ ∴ △ ∽△ ∴ = 5 ，即 =3 10 9解得 = 5 103∴ = = 3 10 5 10 = 4 10．3 3【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．24．如图，在 △ 中，∠ = 90°，点 在边 上，且∠ = ∠ ，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，以点 为圆心， 的长为半径作 ⊙ 交 于点 ．(1)求证： 是 ⊙ 的切线．(2)若 ⊙ 的半径为5， = 8，求线段 的长．【答案】(1)见解析；39(2) 2【分析】（1）过点 作 ⊥ ，垂足为 ．由题意得∠ = ∠ ，进而得∠ = ∠ ，由 ⊥ ， ⊥ ，得 = ，问题得证；（2）由勾股定理求得 ，证明 △ ∽△ ，即可求解．【详解】（1）证明：过点 作 ⊥ ，垂足为 ．∵ ⊥ ， ∠ = 90°，∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∵∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ = ，即 为 ⊙ 的半径，∴ 是 ⊙ 的切线．（2）解： ⊙ 的半径为5， = 8，∴ = 13， = 5，在Rt△ 中，由勾股定理可得 = 132 52 = 12，∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 90°，∴ △ ∽△ ，∴ = ，∴13 = 12 18，∴ = 392 ．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线性质定理，切线的判定等知识．熟练掌握切线的判定及相似三角形的判定及性质是解题的关键．25．如图，圆内接四边形 的对角线 , 交于点 E，∠ = ∠ ．(1)求证： 平分∠ ；(2)过点 C 作 ∥ 交 的延长线于点 F，若 平分∠ , = ，求证： 为 ⊙ 的切线．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定：（1）同弧所对的圆周角相等，得到∠ = ∠ ，进而推出∠ = ∠ 即可；（2）先证明 △ ≌ △ ，推出 △ 是正三角形，进而推出∠ = 90°，得到 是圆的直径，取 中点 O，连接 ，易得 △ 是正三角形，推出∠ = 90°，即可得证．【详解】（1）证明： ∵ = ，∴ ∠ = ∠ ．∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ 平分∠ ．（2）解： ∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ ．∵ ∠ = ∠ , = ，∴△ ≌ △ ．∴ = ．∵ = ∴△ 是正三角形．∴ ∠ = ∠ = 60°．∵ 为圆内接四边形，∴ ∠ + ∠ = 180°．∴ ∠ + ∠ = 90°．∴ ∠ = 90°．∴ 是圆的直径．∵ ∥ ，∴ ∠ = 90°取 中点 O，连接 ∵ = ，∴△ 是正三角形．∴ ∠ = 60°．∴ ∥ ．∴ ∠ = 90°．∴ ⊥ ．∴ 为 ⊙ 的切线．26．如图，已知⊙O 的直径 垂直弦 于点 E，过 C 点作 ∥ 交 延长线于点 G，连接 并延长交 于点 ，且 ⊥ ．(1)求证： 是⊙O 的切线；(2)若 = 4，求 的长．【答案】(1)见解析(2)2 3【分析】（1）由平行线的性质求得∠ = ∠ = 90°，根据经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可证明；（2）连接 ，由圆周角定理可得∠ = 90°，由平行线的判定可得 ∥ ，结合垂径定理可得 = ，再由 △ ≌ △ 求得 = ，然后在Rt △ 中利用勾股定理求得 即可解答；【详解】（1）证明：∵ ⊥ ，∴∠ = 90°，∵ ∥ ，∴∠ = ∠ = 90°，∴ ⊥ ，∴ 是⊙O 的切线；（2）解：连接 ，如图，∵ 为⊙O 的直径，∴∠ = 90°，又∵∠ = 90°，∴∠ = ∠ ，∴ ∥ ，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∵直径 垂直弦 于点 E，∴ = ，又∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴ △ ≌ △ (AAS)∴ = ，∵ = 4，∴ = = 2，∴ = = 1，∴在Rt △ 中，由勾股定理得： = 2 2 = 3，∴ = 2 = 2 3；【点睛】本题考查了垂径定理，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识；熟练掌握相关性质和定理是解题关键．27．如图①， ⊙ 是 △ 的外接圆，点 在 上，延长 至点 ，使得∠ = ∠ ．(1)求证： 为 ⊙ 的切线；(2)若∠ 的角平分线 1交线段 于点 ，交 ⊙ 于点 ，连接 ，如图②，其中 = 4，tan∠ = 2，求 ．【答案】(1)见解析72(2) 5【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质，同角的余角相等得出∠ + ∠ = 90°，再根据切线的判定方法进行判断即可；△ ∽△ = = （2）通过证明 ，可得 = tan∠ = tan∠ =12，从而得到 = 2， = 8， = 6，在Rt △ 中，由勾股定理可得 = 6 5 = 12 5， ，再根据圆周角定理以及相似三角形的性质5 5得出 = ，代入计算即可．【详解】（1）证明：连接 ，如图，， ∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∵ 是直径，∴ ∠ = 90°，即∠ + ∠ = 90°，∴ ∠ + ∠ = 90°，∴ ∠ = 90°，∴ 是 ⊙ 的直径；（2）解： ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ，∴ = = = tan∠ = tan∠ =12，∵ = 4，∴ = 12 = 2， = 2 = 8，∴ = = 6，在Rt △ 中， = 6， = 2 ，∵ 2 + 2 = 2，即(2 )2 + 2 = 62，∴ = 6 5， = 12 5，5 5∵ 为∠ 的角平分线，∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ，∴ = ，∴ = = 12 5 × 6 5 = 725 ．5 5【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．28．如图， 是 ⊙ 的直径，点 C 是 ⊙ 上一点， 平分∠ 交 ⊙ 于点 D，过点 D 作 ⊥ 交 的延长线于点 E．(1)求证：直线 是 ⊙ 的切线；(2)延长 与直线 交于点 F，若 = 5，cos∠ = 45，求 的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接 ，证 ∥ ，由已知 ⊥ ，得出 ⊥ ，即可得出结论；（2）连接 交 于点 H，证明四边形 为矩形，得出 ∥ , = = ，再证明∠ = ∠ ，求出 的长即可得出结论．【详解】（1）连接 ．∵ 平分∠ ，∴∠ = ∠ ．∵ = ，∴∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∴ ∥ ，∴∠ + ∠ = 180°．∵ ⊥ ．∴∠ = 90°，∴∠ = 90°，∴ ⊥ ．又∵点 D 在 ⊙ 上，∴直线 是 ⊙ 的切线．（2）连接 交 于点 H，如图．∵ 为直径，∴∠ = 90°，∴∠ = 90°．又∵∠ = 90°，∠ = 90°，∴四边形 为矩形，∴ ∥ ，∴∠ = ∠ ，∴cos∠ = cos∠ = 45．又∵ = 5 4，cos∠ = =5，∴ = 4．∵四边形 为矩形，∴ ⊥ ，∴ = 12 = 2．∵四边形 为矩形，∴ = = 2．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、角平分线定义、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键．29．如图， 是 ⊙ 的直径，C 是圆上一点，弦 ⊥ 于点 E，且 = ．过点 A 作 ⊙ 的切线，过点C 作 的平行线，两直线交于点 F， 的延长线交 的延长线于点 G．(1)求证： 与 ⊙ 相切；(2)连接 ，求tan∠ 的值．【答案】(1)见解析(2) 351【分析】（1）连接 , ．易证 △ 为等边三角形，所以∠ = ∠ = ∠ = 60°，从而可知∠1 = 2∠ = 30°，由于 ∥ ，易知∠ = ∠ ∠1 = 90°，所以 与 ⊙ 相切；（2）作 ⊥ 于点 H．设 = ，则 = , = 2 ．易证四边形 为平行四边形．因为 = , = 2 ，所以四边形 为菱形，求出∠ = 60°，从而可求出 、 的值，从而可知 的长度，利用锐角三角函数的定义即可求出tan∠ 的值．【详解】（1）连接 , ．∵ 是 ⊙ 的直径，弦 ⊥ 于点 E，∴ = , = ．∵ = ，∴ = = ，∴ △ 为等边三角形，∴∠ = ∠ = ∠ = 60°，∴∠1 = 12∠ = 30°．∵ ∥ ，∴∠ + ∠ = 180°，∴∠ = 180° ∠ = 120°，∴∠ = ∠ ∠1 = 90°，∴. ⊥ ，∴ 与 ⊙ 相切（2）作 ⊥ 于点 H．设 = ，则 = , = 2 ．∵ .与 ⊙ 相切，∴ ⊥ ．又∵ ⊥ ，可得 ∥ ．又∵ ∥ ，∴四边形 为平行四边形．∵ = ，∴四边形 为菱形．∴ = = = 2 ,∠ = ∠ = 60°．由（1）知∠ = 120°∴∠ = 60°，∵ = sin60° = 3 , = cos60° = 1 ．2 2∴ = + = 52 ．∵在Rt △ 中，∠ = 90°，3∴tan∠ = = 2 3 5 = ．52 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键．30．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点， ⊥ 交 AC 于点 E， = ．(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)若 = 4， = 2，求 cosD．【答案】(1)见解析3(2)5【分析】（1）连接 OC．证∠OCD=90°，即可得出结论； （2）先求出 = 4．再同由勾股定理求出 DC=3，OD=5，最后由余弦定义cos = 求解．【详解】（1）证明：如图，连接 OC．∵ ⊥ 交 AC 于点 E，∴∠ = 90 ,∴∠ + ∠ = 90 ．∵∠ = ∠ ，∴∠ + ∠ = 90 ．∵ = ，∴∠ = ∠ ,∵ = ，∴∠ = ∠ ，∴∠OCD=∠ + ∠ = 90 ，∴ ⊥ ，∴DC 是⊙O 的切线，（2）解：∵∠ = 90 ，∴ 2 + 2 = 2，∵ = 4，∴ = 4．设 = ，∵ = 2，∴ 2 + 42 = ( + 2)2．解得 = 3，∴ = 3， = 5．∴在 Rt△OCD 3中，cos = = 5．【点睛】本师考查切线的判定，解直角三角形，掌握切线的判定定理是解题的关键．【题型 4 角的数量关系】31．如图， △ 中， = ，以 为直径作 ⊙ ，与边 交于点 ，过点 的 ⊙ 的切线交 的延长线于点 ．(1)求证：∠ = 2∠ ；3(2)若cos∠ = 5， = 4，求 的长．【答案】(1)见解析(2) = 8．【分析】（1）由等边对等角，以及三角形内角和定理推出∠ = 180° 2∠ ，再由圆周角定理推出∠ = 90° ∠ ，据此即证明结论；（2）设 = 3 ，则 = 5 ， = 4 ，证明 △ ∽△ ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵ = ，∴∠ = ∠ ，∴∠ = 180° ∠ ∠ = 180° 2∠ ，∵ 为 ⊙ 的直径，∴∠ = 90° ∠ ，∴∠ = 2∠ ；（2）解：∵ 为 ⊙ 的直径，∴∠ = ∠ = 90°，∵cos∠ = 35，∴ = 3 5，设 = 3 ，则 = 5 ， = 2 2 = 4 ，∵ = = 5 ，∴ = 2 ，连接 ，则 = ，∴∠ = ∠ ，∵ 为 ⊙ 的直径， 为 ⊙ 的切线，∴∠ = ∠ = 90°，∴∠ = ∠ = ∠ ，∵∠ = ∠ ，∴ △ ∽△ ，∴ = = 2 1 4 = 2，∵ = 4，∴ = 8．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定和三角函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．32．如图， 为 ⊙ 的直径， 为 延长线上的一点， 为 ⊙ 的切线， 为切点， ⊥ 于点 ，连结 ．1(1)求证：∠ = 2∠ (2)作 ⊥ 交 延长线于点 ，交 ⊙ 点 ，若sin = 23， = 10，求 的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接 ， ，先根据切线的性质得到∠ = ∠ + ∠ = 90°，再根据等腰三角形的性质得到∠ = ∠ ，利用圆周角定理即可证得结论；（2）连接 ，利用圆周角定理和解直角三角形分别求得 、 、 即可求解．【详解】（1）证明：连接 ， ，∵ 为 ⊙ 的切线， 为切点，∴∠ = ∠ + ∠ = 90°，∵ = ， ⊥ ，∴∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 90°，∴∠ = ∠ ，∵∠ = 1∠ = 12 2∠ ，∴∠ = 12∠ ；（2）解：连接 ，∵ ⊥ sin = ， =23， = 10，∴ = 15，在Rt △ 2中，∠ = 90°，sin = = 3， = ，∴ 215 = 3，解得 = 6，经检验， = 6是所列方程的解；∵ 为 ⊙ 的直径，∴∠ = 90° 2，则sin = = 3，∴ = 23 = 8，∴ = = 10 8 = 2．【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．33．如图，AB 是 ⊙ 的弦，C 为 ⊙ 上一点，过点 C 作 AB 的垂线与 AB 的延长线交于点 D，连接 BO 并延长，与 ⊙ 交于点 E，连接 EC，CD 是 ⊙ 的切线．(1)求证：∠ = 2∠ ；1(2)若tan = 3， = 8，求 BD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）连接 OC，根据切线的性质易得 ∥ ，由平行线的性质得到∠ = ∠ ，再结合等腰三角形的性质得到∠ = ∠ ，由三角形外角性质易得∠ = ∠ + ∠ = 2∠ 即可求解；（2）连接 BC 和 AC，CO，根据 BE 是 ⊙ 的直径和切线的性质易得∠ = ∠ ，由圆周角定理得到∠ = ∠ 1 1，结合 = 3得到 = = 3，进而可得 = 3 ，将 = 8， = + = 8 + 代入即可求解．【详解】（1）证明：连接 OC，如下图．∵CD 是 ⊙ 的切线，过点 C 作 AB 的垂线与 AB 的延长线交于点 D，∴∠ = ∠ = 90°，∴ ∥ ，∴∠ = ∠ ．∵ = ，∴∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ + ∠ = 2∠ ，∴∠ = 2∠ ；（2）解：连接 BC 和 AC，CO，如下图．∵BE 是 ⊙ 的直径，∴∠ = 90°，∴∠ + ∠ = 90°．∵CD 是 ⊙ 的切线，∴∠ + ∠ = 90°，∴∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∵∠ = ∠ 1， = 3，∴ = 1 = 3，∴ = 3 ．∵ = 8， = + = 8 + ，∴ 3 8+ =13，∴ = 1．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，锐角三角函数值的求法，作出辅助线是解答关键．34．如图，BE 是⊙O 直径，点 A 是⊙O 外一点：OA⊥OB，AP 切⊙O 于点 P，连接 BP 交 AO 于点 C．(1)求证：∠PAO=2∠PBO；3(2)若⊙O 的半径为 5，tan∠ = 4，求 BP 的长．【答案】(1)见解析(2)3 10【分析】（1）连接 ，由切线的性质及垂直条件可得∠ =∠ ，再由等腰三角形的性质即可证得结果；3（2）过点 作 ⊥ 于点 ，tan∠ = tan∠ = 4，设 = 3 , = 4 ，则可求得 OB，从而可得 k的值，则在Rt △ 中由勾股定理即可求得 PB 的长．【详解】（1）证明：连接 ∵ 切⊙O 于点 ∴ ⊥ ∴∠ + ∠ = 90°∵ ⊥ ∴∠ + ∠ = 90°∴∠ =∠ ∵OP=OB∴∠OPB=∠PBO∴∠ = 2∠ ∴∠ = 2∠ （2）解：过点 作 ⊥ 于点 ∵tan∠ = 34∴tan∠ = 34∴设 = 3 , = 4 ∴由勾股定理得： = 5 ∵⊙O 半径为 5∴ = = 5∴ = 1∴ = 3, = 4∴ = + = 9∴在Rt △ 中，∠ =90° = 2 + 2 = 3 10【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及正切函数的定义等知识，连接半径是关键．35．如图， △ 是 ⊙ 的内接三角形，过点 C 作 ⊙ 的切线交 AB 的延长线于点 D， ⊥ 于点 E，交 CD 于点 F．（1）求证：∠ + ∠ = 90°；3（2）若tan = 2, = 6，求线段 CF 的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2） = 3 1321【分析】（1）连接 OB，OC，证明 OE 垂直平分 BC，OE 是∠ 的角平分线，得到∠ = 2∠ ，再根据圆周角定理求解即可；（2）根据已知条件证明 △ △ ，再利用勾股定理求解即可；【详解】（1）连接 OB，OC，∵ 是 ⊙ 的切线， ⊥ ，∴ ⊥ ，∴∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠ = 90°，∴∠2 = ∠ ，∠1 = ∠ ，∵ ⊥ 弦 BC， = ,∴OE 垂直平分 BC，OE 是∠ 的角平分线，∴∠ = 12∠ ，∵∠ 为弧 BC 所对的圆周角，∠ 为弧 BC 所对的圆心角，∴∠ = 12∠ ，∴∠ = ∠ ，∴∠ + ∠ = 90°；（2）∵ = 6，OE 垂直平分 BC，∴ = 3，∵tan = tan∠ = 32，∴ = 2，∵∠1 = ∠ ，∠2 = ∠ ，∠ = ∠ = 90°，∴ △ △ ，∴ = ，∴ = 92，∴ = + = 2 + 9 132 = 2 ,在 △ 中， = 2 + 2 = 13，∵ 1 1 △ = 2· · ， △ = 2 · ，∴ · = · ，∴ = 3 13．2【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，锐角三角函数的应用，结合相似三角形的判定与性质、勾股定理求解是解题的关键．36．如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点 D 作 DE⊥OA 于点 E，射线 DC 切⊙O 于点 C、交 AB 的延长线于点 P，连接 AC 交 DE 于点 F，作 CH⊥AB 于点 H．（1）求证：∠D=2∠A；3（2）若 HB=2，cosD=5，请求出 AC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC=4 5.【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到∠ = 90°，根据垂直的定义得到∠ = 90°，得到∠ = ∠ ，然后根据圆周角定理证明即可；（2）设 ⊙ 的半径为 ，根据余弦的定义、勾股定理计算即可．【详解】（1）连接 ．∵射线 切 ⊙ 于点 ， ∴ ∠ = 90°．∵ ⊥ ， ∴ ∠ = 90°， ∴ ∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°， ∴ ∠ = ∠ ，由圆周角定理得：∠ = 2∠ ， ∴ ∠ = 2∠ ；（2）由（1）可知：∠ = 90°，∠ = ∠ ， ∴ cos∠ = cos∠ = 35， ∵ ⊥ ， ∴ ∠ = 90°，⊙ = 2 Rt CHO cos∠ = = 2 = 3设 的半径为 ，则 ，在 中， 5， ∴ = 5， ∴ = 5 2 = 3，∴由勾股定理可知： = 4， ∴ = = 10 2 = 8．在Rt AHC中，∠ = 90°，由勾股定理可知： = 2 + 2 = 4 5．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的性质定理、圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．37．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，D 是弧 BC 的中点，过点 D 作⊙O 的切线，分别交 AC、AB 的延长线于点 E 和点 F，连接 CD、BD．（1）求证：∠A＝2∠BDF；（2）若 AC＝3，AB＝5，求 CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）连接 AD，如图，利用圆周角定理得∠ADB=90°，利用切线的性质得 OD⊥DF，则根据等角的余角相等得到∠BDF=∠ODA，所以∠OAD=∠BDF，然后证明∠COD=∠OAD 得到∠CAB=2∠BDF；（2）连接 BC 交 OD 于 H，如图，利用垂径定理得到 OD⊥BC，则 CH=BH，于是可判断 OH 为△ABC 的中位线，所以 OH=1.5，则 HD=1，然后证明四边形 DHCE 为矩形得到 CE=DH=1．【详解】（1）证明：连接 AD，如图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∵EF 为切线，∴OD⊥DF，∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，∴∠BDF＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠BDF，∵D 是弧 BC 的中点，∴∠COD＝∠OAD，∴∠CAB＝2∠BDF；（2）解：连接 BC 交 OD 于 H，如图，∵D 是弧 BC 的中点，∴OD⊥BC，∴CH＝BH，∴OH 为△ABC 的中位线，∴ = 1 12 = 2 × 3 = 1.5，∴HD＝2.5－1.5＝1，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形 DHCE 为矩形，∴CE＝DH＝1．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理．38．如图， 为 ⊙ 的直径， 与 ⊙ 相切于点 ，连接 交 ⊙ 于点 ．（1）求证：∠ = ∠ ；（2）若点 为 的中点，连接 交 于点 ，若 = 6，sin∠ = 5，求 的长．3【答案】（1）见解析；（2） = 3．【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理可得结论；2（2）先根据条件求出 、 长，求出cos = 3，得 = = 6，求出 长，再可求 的长．【详解】（1）证明：∵ 与 ⊙ 相切于点 ， 为 ⊙ 的直径，∴∠ = 90 ，∴∠ + ∠ = 90 ．∵ 为 ⊙ 的直径，∴∠ = 90 ．∴∠ + ∠ = 90 ．∴∠ = ∠ ．（2）解：如图，∵∠ = ∠ ，∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ ．∴∠ = ∠ ．∵sin∠ = 5，3∴sin = 5，3∵ = 6，∴ = 2 5．∴ = 4．∴cos = 23，∵∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ ，又∵点 为 的中点，∴ = ，∴∠ = ∠ ．由（1）得：∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ．∴ = = 6．∵cos = 23，∴ = 9．∴ = = 9 6 = 3．【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理以及锐角三角函数的定义等知识．39．如图，AB 是⊙O 的直径，PA，PC 与⊙O 分别相切于点 A，C，连接 AC，BC，OP，AC 与 OP 相交于点 D．（1）求证：∠B+∠CPO＝90°；12 3（2）连结 BP，若 AC＝ 5 ，sin∠CPO＝5，求 BP 的长．【答案】（1）详见解析；（2） 13【分析】（1）连接 OC，根据圆的公切线定理，可得到∠AOC+∠APC＝180°，再由圆周角等于圆心角的一半，可得到结果.（2）连接 BP，由解直角三角形可得到 AP 的长度，再由勾股定理求出 BP 的长度即可.【详解】（1）证明：连接 OC，如图．∵PA，PC 与⊙O 分别相切于点 A，C，∴OC⊥PC，OA⊥PA，∠APC＝2∠CPO．∴∠OCP＝∠OAP＝90°．∵∠AOC+∠APC+∠OCP+∠OAP＝360°，∴∠AOC+∠APC＝180°．∵∠AOC＝2∠B，∴∠B+∠CPO＝90°．（2）解：连接 BP，如图．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAC＝90°．∵∠ABC+∠CPO＝90°，∴∠BAC＝∠CPO＝∠APO．∵AC 12 3＝ 5 ，sin∠BAC＝5，∴AB = 3＝3， 2．∵ = 3 32，sin∠APO＝5，∴AP＝2．∴PB = 2 + 2 = 13.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．40．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点 C 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线交于点 D，过点 B 作BE⊥BA，交 DC 延长线于点 E，连接 OE，交⊙O 于点 F，交 BC 于点 H，连接 AC．（1）求证：∠ECB＝∠EBC；3（2）连接 BF，CF，若 CF＝6，sin∠FCB=5，求 AC 的长．【答案】（1）证明见解析；14（2）AC 的长为 5【分析】（1）只要证明 EB 是⊙O 的切线，利用切线长定理可知 EC=EB，即可解决问题．3 18（2）连接 CF、CO、AC．在 Rt△CFH 中，由 CF=6，sin∠FCH= 2 25，推出 FH=CF sin∠FCH= 5 ，CH= =24 24 18 75 ，设 OC=OF=x，在 Rt△COH 中，由 OC2=CH2+OH2，可得 x2=（ 5 ）2+（x- 5 ）2，解得 x=5，推出 OH=5，再利用三角形中位线定理证明 AC=2OH 即可解决问题．【详解】（1）证明：∵BE⊥OB，∴BE 是⊙O 的切线，∵EC 是⊙O 的切线，∴EC=EB，∴∠ECB=∠EBC．（2）连接 CF、CO、AC．∵EB=EC，OC=OB，∴EO⊥BC，∴∠CHF=∠CHO=90°，3在 Rt△CFH 中，∵CF=6，sin∠FCH=5，∴ 18FH=CF sin∠FCH= ，CH= 2 2=245 5 ，设 OC=OF=x，在 Rt△COH 中，∵OC2=CH2+OH2，∴ 24 18x2=（ 25 ） +（x-25 ） ，∴x=5，∴ 7OH=5，∵OH⊥BC，∴CH=HB，∵OA=OB，∴ 14AC=2OH= 5 ． 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题11 圆解答题分类训练（4种类型40道）（原卷版）2025年中考数学复习高频考题专项训练（北京专用）.pdf 专题11 圆解答题分类训练（4种类型40道）（解析版）2025年中考数学复习高频考题专项训练（北京专用）.pdf
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