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专题 09 一元一次方程应用题分类训练（5 种类型 50 道）
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【题型 1 行程问题】..................................................................................................................................................1
【题型 2 工程问题】.................................................................................................................................................3
【题型 3 销售问题】..................................................................................................................................................5
【题型 4 比赛积分】..................................................................................................................................................7
【题型 5 几何问题】................................................................................................................................................11
【题型 1 行程问题】
1．京雄高速北京段于 2023 年 12 月 31 日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现 1 小时通达，
比原来节省了 30 分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走 27．5 千米，如果平
均车速比原来每小时多走 17 千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多
少？
2．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时 12 千米的速度下山，以每小时 9
千米的速度通过平路，共用了 55 分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时 6 千米的速度上山，共
花去了 1 小时 10 分钟，问营地到学校有多少千米．
3．小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真
能在一日之内从白帝城到达江陵吗 小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖
北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14km/h，从宜昌到荆州的速度约为10km/h．从奉
节到荆州的水上距离约为350km．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1h．根
据小刚的假设，回答下列问题：
(1)奉节到宜昌的水上距离是多少km？
(2)李白能在一日（24h）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由．
4．我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行 100 步，不善行者 60
步．今不善行者先行 100 步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走 100 步时，走路慢的
人只走了 60 步，现在走路慢的人先走 100 步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请
你解决该问题．
5．据新华网北京频道（2023 年 11 月 24 日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于
2023 年 12 月 31 日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现 1 小时通达，比原来节省了 30 分钟． 小
艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走 27.5 千米，如果平均车速比原来每小时多走 17
千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？
6．我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百
五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”
译文：良马平均每天能跑 240 里，驽马平均每天能跑 150 里．现驽马出发 12 天后良马从同一地点出发沿同
一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？
7．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一
2
圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的3，甲跑第二圈的速度比第一
1 1
圈提高了3，乙跑第二圈的速度提高了5，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路
程是 190 米，问这条跑道长多少米？
8．2023 年 10 月，“弈启杯”国际象棋比赛在北京市怀柔区雁栖湖展览馆举行，早上8:30开始正式比赛，小
明一家三口早上可以乘坐 501动车或自驾前往怀柔雁栖湖站，自驾距离要比动车运行距离多 5 千米， 501
运行时间如下表，如果动车运行的速度是汽车速度的 2 倍，小明一家7:12出发，自驾前往怀柔雁栖湖站，
结果正好8:20到达．求汽车行驶的速度．
车次 昌平北站 怀柔雁栖湖站
501 7:36 8:08
9．列方程解应用题：京张高铁是 2022 年北京冬奥会的重要交通基础设施．考虑到不同路段的特殊情况，
将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长 11 千米，分为地下清华园隧道和地
上区间两部分，地下清华园隧道运行速度为 80 千米/小时．地上区间运行速度为 120 千米/小时．按此运行
速度，地下清华园隧道运行时间比地上区间运行时间多 2 分钟，求地下清华园隧道全长为多少千米．
10．列一元一次方程解应用题
6 月 15 日，新机场线一期工程正式开始试运行，轨道交通新机场线一期全长约 42.75 千米，全线从草桥
站出发，途经磁各庄站，终到新机场北航站楼站，新机场线车辆首次采用基于城际平台的市域车型，全线
行驶需 20 分钟(不含起始站和终点站停靠时间)，若列车的平均时速为 135 千米，则列车在磁各庄站停靠
的时间是多少分钟
【题型 2 工程问题】
11．我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有 A、B 两条不同的粽子生产线，原
计划 A 生产线每小时加工粽子 400 个，B 生产线每小时加工粽子 500 个．
（1）若生产线 A，B 一共加工 12 小时，且生产粽子总数量不少于 5500 个，则 B 生产线至少加工多少小
时？
（2）原计划 A，B 生产线每天均工作 8 小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A 生产线每小时
比原计划少生产 100a 个（a>0），B 生产线每小时比原计划少生产 100 个，为了尽快将粽子投放到市场，A
生产线每天比原计划多工作 2a 小时，B 生产线每天比原计划多工作 a 小时，这样一天恰好生产粽子 6400 个，
求 a 的值．
12．故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科
学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学
理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用
30 个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要 720 个月完成．假设每名
文物修复师的工作效率相同，先由 16 名文物修复师一起修复了 10 个月，还需要增加多少名文物修复师才
能按时完成修复工作？
13．某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅 16 套，
乙每天修桌椅比甲多 8 套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用 20 天，学校每天付甲组 80 元修理费，
付乙组 120 元修理费．
(1)该中学库存多少套桌椅？
(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，并且付给他每天 10 元生活补助费，现有三种修理方案， A
方案：由甲单独修理；B 方案：由乙单独修理；C 方案：甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省
钱？为什么？
14．某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙
1
工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多2．
(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做 5 天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000
元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
15．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用 10 天，
且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的 1.5 倍．
(1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？
(2)若甲、乙两队共同工作 4 天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲
队的工作效率提高到原来的 2 倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？
16．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长
为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队加入，两工
程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此速度完成这项
隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
17．某校整理一批图书，由一个人做要 48 小时完成，现在计划由一部分人先做 4 小时，再增加 3 人和他们
一起做 6 小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？（列方程解答）
18．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工 程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要 60
天，若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合作 24 天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元．若该工程计划在 70 天内完成，
在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省
钱？
19．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书
2
中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3；若由甲队先做 10 天，剩
下的工程再由甲、乙两队合作 30 天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为 8.4 万元，乙队每天的施工费用为 5.6 万元．工程预算的施工费用为 500 万
元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请
给出你的判断并说明理由．
20．在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生 48 人，其中
4
女生人数比男生人数的5多 3 人．如果让男生单独工作，需要 5 小时，如果让女生单独工作，需要7.5小时．
(1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？
(2)如果让男生、女生一起工作 1 小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？
【题型 3 销售问题】
21．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价 40 元，售价 60 元；乙种商品每件进价 50 元，利润
率为60%．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过 380 元 不优惠
超过 380 元，但不超过 500 元 售价打九折
超过 500 元 售价打八折
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共 60 件，恰好总进价为 2600 元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只
购买乙种商品，实际付款 320 元，第二天只购买甲种商品实际付款 432 元，求小聪这两天在该商场购买甲、
乙两种商品一共多少件？
22．在 2024 年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获 44 枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，
一共收获了 2 枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人 10 米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次
采购了 20 个绿龟玩偶和 20 个绿龟挂件，共花费了 1400 元，已知玩偶的单价比挂件贵 50 元．
(1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？
(2)在第二场女子 10 米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，
挂件单价优惠了 元，玩偶单价优惠了5 元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件
比玩偶多出了一件，请求出 的值．
23．2023 年 12 月，我校开展了“艺青春”艺术节系列活动，小雅同学报名了艺术集市的售卖活动．集市开始
前，她在文体超市购买了若干个手提袋进行售卖，这种手提袋标价每个 30 元，请认真阅读结账时老板与小
明的对话图片，解决下面两个问题：
(1)求小雅原计划购买手提袋多少个？
(2)艺术组老师也来到文体超市，购买了新年日历和画册共 50 本作为奖品，其中新年日历标价每本 20 元，
画册标价每本 10 元，经过沟通，这次老板给予 8 折优惠，合计 560 元．问老师购买了新年日历和画册各多
少本？
24．现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），
花 300 元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的 8 折购物．
(1)小张要买一台标价为 3500 元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
(2)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？
25．山地自行车越来越受中学生的喜爱；一家店经营的某型号山地自行车，今年七月份销售额为 22500 元，
八月份每辆车售价比七月份每辆车售价提高 100 元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是
25000 元．
(1)求八月份每辆车售价是多少元？
(2)为了促销，九月份每辆车售价比八月份每辆车售价降低了 15%销售，该店仍可获利 25%，求每辆山地自
行车的进价是多少元？
26．黄老师要在周五开设羽毛球社团，她计划购买 16 支羽毛球拍和 x 盒羽毛球( > 16)．黄老师发现在学
校附近有甲、乙两家商店都在出售相同品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每支售价 150 元，羽毛球每盒
售价 40 元．经过老师的洽谈，甲商店给出每买一支羽毛球拍送一盒羽毛球的优惠，乙商店给出羽毛球拍和
羽毛球全部八折的优惠．请问黄老师购买这些球拍和羽毛球，在哪个商店更合算？请说明理由．
27．某商场从厂家购进了 、 两种品牌篮球共 80 个，已知购买 品牌篮球的总价比购买 品牌篮球总价的 2
倍还多 200 元， 品牌篮球每个进价 100 元， 品牌篮球每个进价 80 元．
(1)求购进 、 两种品牌篮球各多少个？
(2)在销售过程中， 品牌篮球每个售价 150 元，售出 30 个后出现滞销；商场决定打折出售剩余的 品牌篮
球， 品牌篮球每个按进价加价 20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利 2080 元，求 品
牌篮球打几折出售？
28．现在是互联网的时代，微商小古一次购进了一种时令水果 250kg，开始两天他以每千克高于进价40%的
价格卖出 180kg，第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价
基础上打4折全部售出．最后他卖该种水果获得618元的利润．问：
(1)这批水果的进价为多少元？
(2)计算小古打折卖出剩余的水果比购进这些水果亏了多少元？
29．某超市第一次以 4450 元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的 2 倍多 15 件，甲、
乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）
甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 25 40
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次
的 2 倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得
的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？
30．学校计划在某商店购买秋季运动会的奖品，若买 5 个篮球和 10 个足球需花费 1150 元，若买 9 个篮球
和 6 个足球需花费 1170 元．
(1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)实际购买时，正逢该商店进行促销．所有体育用品都按原价的八折优惠出售，学校购买了若干个篮球和
足球，恰好花费 1760 元．请直接写出学校购买篮球和足球的个数各是多少．
【题型 4 比赛积分】
31．某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投 10 次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，
计分规则如下：
投中位置 A 区 B 区 脱靶
一次计分（分） 3 1 2
在第一局中，珍珍投中 A 区 4 次，B 区 2 次，脱靶 4 次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中 A 区 k 次，B 区 3 次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了 13 分，求 k 的值．
32．2022 世界杯于 11 月 21 日在卡塔尔召开.在小组赛阶段，32 支球队根据自身实力所处的不同档次，以及
所属大洲的情况进行抽签选择，每个小组 4 支球队.在小组内部的球队会和其他三支队伍都进行比赛，以下
是世界杯小组赛 A 组的积分表．
小组 代表队 场次（场） 胜（场） 平（场） 负（场） 积分（分）
荷兰 3 2 1 0 7
塞内加尔 3 2 0 1 6
A 组
厄瓜多尔 3 1 1 1 4
卡塔尔 3 0 0 3 0
（说明：积分＝胜场积分+平场积分+负场积分）
(1)求小组赛中胜一场、平一场、负一场各积多少分？
(2)小组赛结束时，阿根廷队没有平场，并且小组赛积分 6 分，成功晋级，求阿根廷队胜、负各多少场？
(3)在本次小组赛中，能否出现一支球队保持不败的战绩，且胜场总积分恰好等于它的平场总积分？
33．如表是某次篮球联赛积分榜的一部分
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
远大 14 7 7 21
钢铁 14 0 14 14
备注：积分=胜场积分+负场积分
(1)观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分；
(2)设某队胜 场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含 的整式填空）；
(3)若某队的负场总积分是胜场总积分的 倍，其中 为正整数，请直接写出 的值．
34．某校组织学生参加冬奥会知识竞赛，共设 20 道单项选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参
赛者的得分统计表：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
于潇 20 0 100
王晓林 18 2 88
李毅 10 10 40
… … … …
(1)根据表格提供的数据，答对 1 题得_______分，答错 1 题扣________分；
(2)参赛者李小萌得了 76 分，求她答对了几道题．
35．某校组织学生参加 2022 年冬奥知识问答，问答活动共设有 20 道选择题，每题必答，每答对一道题加
分，答错一道题减分，下表中记录了 A、B、C 三名学生的得分情况：
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 18 2 86
C 15 5 65
请结合表中所给数据，回答下列问题：
（1）本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分；
（2）若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，那一个可能是小刚的得分： （填写选项）；
A．75；B．63；C．56；D．44
并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列方程解决问题）
36．某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其
中 4 个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 2 88
C 64
D 10 40
（1）参赛者 E 说他错了 10 个题，得 50 分，请你判断可能吗 并说明理由；
（2）补全表格，并写出你的研究过程．
37．在某年全国足球甲级 A 组的前 11 场比赛中，某队保持连续不败，共积 23 分，按比赛规则：胜一场得
三分，平一场得一分，那么该队共胜了多少场？
分析：设该队共胜了 x 场，根据题意，用含 x 的式子填空：
该队平了_____________场；按比赛规则，该队胜场共得_____________分；按比赛规则，该队平场共得
_____________分；
解答：
38．某小组 6 名同学参加一次知识竞赛，共答 20 道题，每题分值相同，答对得分，答错或不答扣分，下面
是前 5 名同学的得分情况(如表)：
序号 答对题数 答错或不答题数 得分
1 18 2 84
2 17 m 76
3 20 0 100
4 19 1 92
5 10 10 n
（1）表中的m = ______，n = ______；
（2）该小组第 6 名同学说：“这次知识竞赛我得了 0 分”，请问他的说法是否正确？如果正确，请求出这位
同学答对了多少题；如果不正确，请说明理由．
39．为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛，下表记录了比赛过程中部分代表队的积分
情况.
代表队 场次（场） 胜（场） 平（场） 负（场） 积分（分）
6 5 1 0 16
6 6 0 0 18
6 3 2 1 11
6 3 1 2 10
（1）本次比赛中，胜一场积______分；
（2）参加此次比赛的 代表队完成 10 场比赛后，只输了一场，积分是 23 分，请你求出 代表队胜出的场
数.
40．某次知识竞赛共出 25 道选择题，评分办法是：答对一道加 4 分，答错一道倒扣 1 分，不答记 0 分，已
知小王不答的题比答错的题多 1 道，他的总分是 87 分，小王答对了多少道题？
【题型 5 几何问题】
41．列方程或方程组解应用题．
如图 1，正方形 是一块边长为30cm的灰色地砖，在 A，B，C，D 四个顶点处截去四个全等的等腰直角
三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图 2 所示的图
案，该图案的面积为3000cm2（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积．
42．羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，
也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为4cm，场地的长比宽
的 2 倍还多120cm包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）
间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．
43．在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生
建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图
所示，已知空地长10米，宽4.5米，矩形菜园的长与宽的比为6:1，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽
度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？
44．下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将
房间地面全部铺设完预计需要花费 10000 元，其中包含安装费 1270 元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之
比是5:3，求每平方米木地板和瓷砖的价格．
45．列方程解应用题：
如图，小区规划在一个长70米，宽26米的长方形场地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与 平行，第
三条与 平行，场地的其余部分种草，并使每一块草坪的形状相同．若每一块草坪的长比宽多10米，求甬
道的宽是多少米．
46．在党的富农政策的支持下，李大爷将自家土地开发为适宜观光旅游、拍照摄影的油菜花田基地，如下
图所示：有一块长方形的土地，长是宽的1.5倍，在土地上的南北两侧各铺设宽度为2m的甬道供游人行走观
赏，已知油菜花的种植区域的长和宽的比为7 ∶ 3，求这块土地的长．
47．如图，小明同学用一张长为11cm，宽为7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，
他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．求剪去的正方形的边
长．
48．如图，把一块长 为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线
折起，做成一个无盖长方体纸盒，若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？
49．如图，用长为 18 米的篱笆靠墙(墙无限长)围成一块长方形的空地用于绿化，且平行于墙的一边为长．
(1)若长方形的长比宽多 1.5 米，此时长方形的长、宽各是多少？
(2)若在长方形与墙平行的一边开设一个宽为 1 米的门(用其他材料)，使长方形的长比宽多 4 米，此时所围成
的长方形的面积是多少？
50．已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空
间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间
的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构
成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其
中最大的正方形边长为3m，且空白区域 、 两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，
铺贴用纸费用分别为：A 区域 10 元/m2，B 区域 15 元/m2，C 区域 20 元/m2，铺贴三个区域共花费 150 元，
求 C 区域的面积．专题 09 一元一次方程应用题分类训练（5 种类型 50 道）
目录
【题型 1 行程问题】..................................................................................................................................................1
【题型 2 工程问题】.................................................................................................................................................6
【题型 3 销售问题】................................................................................................................................................13
【题型 4 比赛积分】................................................................................................................................................22
【题型 5 几何问题】................................................................................................................................................31
【题型 1 行程问题】
1．京雄高速北京段于 2023 年 12 月 31 日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现 1 小时通达，
比原来节省了 30 分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走 27．5 千米，如果平
均车速比原来每小时多走 17 千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多
少？
【答案】通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是 89 千米/小时
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为
( 27.5)千米，根据平均车速比原来每小时多走 17 千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出
差的路程为( 27.5)千米，
27.5
由题意得： 301 1+ = 17，60
解得： = 133.5，
133.5
∴ 301+ = 11+ = 89，60 2
答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是 89 千米/小时．
2．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时 12 千米的速度下山，以每小时 9
千米的速度通过平路，共用了 55 分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时 6 千米的速度上山，共
花去了 1 小时 10 分钟，问营地到学校有多少千米．
【答案】9 千米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键；
根据题意，设山路 x 千米，从营地回学校共用了 55 分钟，从学校回营地用了 1 小时 10 分钟，根据平路的
速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的
路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即
可．
11 7
【详解】55 分钟=12小时，1 小时 10 分钟=6小时，
设山路 x 千米，由题意得，
7 11
6 12 = 6 12
解得： = 3 ，
3 ÷ 6 = 12 (小时)，
7
6
1 2
2 = 3 (小时) ，
9 × 23 = 6 (千米)，
3 + 6 = 9 (千米)，
答：营地到学校有 9 千米．
3．小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真
能在一日之内从白帝城到达江陵吗 小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖
北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14km/h，从宜昌到荆州的速度约为10km/h．从奉
节到荆州的水上距离约为350km．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1h．根
据小刚的假设，回答下列问题：
(1)奉节到宜昌的水上距离是多少km？
(2)李白能在一日（24h）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由．
【答案】(1)奉节到宜昌的水上距离为210km
(2)李白不能在一日之内从白帝城到达江陵，见解析．
【分析】本题考查一元一次方程应用题，找到等量关系列方程是解题关键．
（1）奉节到宜昌的水上距离为 千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1h列出方程，解方
程即可;
（2）用两段时间之和计算即可.
【详解】（1）解：（1）设奉节到宜昌的水上距离是 km．

350 根据题意得：14 10 = 1，解得 = 210．
答：奉节到宜昌的水上距离为210km．
∵210 + 350 210（2） 14 10 = 15 + 14 = 29 > 24，
∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．
4．我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行 100 步，不善行者 60
步．今不善行者先行 100 步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走 100 步时，走路慢的
人只走了 60 步，现在走路慢的人先走 100 步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请
你解决该问题．
【答案】250 步
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设走路快的人走了 x 步追上走路慢的人，根据走路快
60
的人走 100 步时，走路慢的人只走了 60 步，可知相同时间内走路慢的人所走路程为100 步，据此列出方程
求解即可．
【详解】解：设走路快的人走了 x 步追上走路慢的人．
由题意得， = 60100 + 100
解得： = 250，
答：走路快的人 250 步追上走路慢的人
5．据新华网北京频道（2023 年 11 月 24 日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于
2023 年 12 月 31 日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现 1 小时通达，比原来节省了 30 分钟． 小
艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走 27.5 千米，如果平均车速比原来每小时多走 17
千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？
【答案】通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时89千米．
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通
车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为( 27.5)千米，再利用车速度之间的关系列方程，再解方程即
可．
【详解】解：设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出
差的路程为( 27.5)千米，则
27.5 301 1+ = 17，60
解得： = 133.5，
133.5
∴ 301+ = 11+ = 89，60 2
答：通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时89千米．
6．我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百
五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”
译文：良马平均每天能跑 240 里，驽马平均每天能跑 150 里．现驽马出发 12 天后良马从同一地点出发沿同
一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？
【答案】良马 20 天能够追上驽马．
【分析】设良马 x 天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于 x 的一元一次
方程，解之即可得出结论．
【详解】设良马 x 天能够追上驽马．
根据题意得：240x=150×（12+x），
解得：x=20．
答：良马 20 天能够追上驽马．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，列出关于 x 的一元
一次方程是解题的关键．
7．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一
2
圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的3，甲跑第二圈的速度比第一
1 1
圈提高了3，乙跑第二圈的速度提高了5，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路
程是 190 米，问这条跑道长多少米？
【答案】跑道长为 400 米
【分析】本题主要考查应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练弄清楚追及类问题过程，此题有一定
2
的难度．设一开始时甲的速度是 ，于是乙的速度便是3 ．再设跑道长是 ，根据题干条件求出甲乙两人的
速度之比，再根据甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点 190 米，即可求出椭圆的跑道长．
2
【详解】解：设一开始时甲的速度是 ，于是乙的速度便是3 ．再设跑道长是 ，
3
则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为5 ．
2 1 1 4
甲跑完第一圈，乙跑了3 ，乙再跑余下的3 ，甲已折返，且以 1 + = 3 的速度跑，所以在乙跑完第一圈3
2
时，甲已折返跑了3 ，
2 1 4
这时，乙折返并以3 1 + = 的速度跑着．5 5
4 4 5
从这时起，甲、乙速度之比是3 ÷ 5 = 3，即5:3．
5 3 3
所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的3的8，而乙跑了它的8，即第二次相遇时距出发点8 × 3 = 8．
3 1 19
可见两次相遇点间的距离是 = 190（米)，即40 = 190（米)， = 400（米)5 8
答：跑道长为 400 米．
8．2023 年 10 月，“弈启杯”国际象棋比赛在北京市怀柔区雁栖湖展览馆举行，早上8:30开始正式比赛，小
明一家三口早上可以乘坐 501动车或自驾前往怀柔雁栖湖站，自驾距离要比动车运行距离多 5 千米， 501
运行时间如下表，如果动车运行的速度是汽车速度的 2 倍，小明一家7:12出发，自驾前往怀柔雁栖湖站，
结果正好8:20到达．求汽车行驶的速度．
车次 昌平北站 怀柔雁栖湖站
501 7:36 8:08
【答案】汽车行驶的速度为75km/h
【分析】本题考查一元一次方程的应用，自驾用时 68 分钟， 501动车用时 32 分钟，设汽车行驶的速度为
千米/分钟，根据自驾距离要比动车运行距离多 5 千米得：68 5 = 32 × 2 ，即可解得答案．
【详解】解：由已知可得，自驾用时 68 分钟， 501动车用时 32 分钟，
设汽车行驶的速度为 千米/分钟，
根据题意得：68 5 = 32 × 2 ，
解得 = 1.25，
答：汽车行驶的速度为 1.25 千米/分钟，即75km/h．
9．列方程解应用题：京张高铁是 2022 年北京冬奥会的重要交通基础设施．考虑到不同路段的特殊情况，
将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长 11 千米，分为地下清华园隧道和地
上区间两部分，地下清华园隧道运行速度为 80 千米/小时．地上区间运行速度为 120 千米/小时．按此运行
速度，地下清华园隧道运行时间比地上区间运行时间多 2 分钟，求地下清华园隧道全长为多少千米．
【答案】地下清华园隧道全长为 6 千米.
1
【分析】设地下清华园隧道全长为 x 千米，根据“地下隧道运行时间比地上大约多 2 分钟（30小时）”列出方
程，再解方程即可．
【详解】解：设地下清华园隧道全长为 x 千米，则地上区间全长为（11-x）千米，
11 1
依题意得：80 120 = 30，
整理得：5 = 30,
解得： = 6,
答：地下清华园隧道全长为 6 千米.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关
系，列方程．
10．列一元一次方程解应用题
6 月 15 日，新机场线一期工程正式开始试运行，轨道交通新机场线一期全长约 42.75 千米，全线从草桥
站出发，途经磁各庄站，终到新机场北航站楼站，新机场线车辆首次采用基于城际平台的市域车型，全线
行驶需 20 分钟(不含起始站和终点站停靠时间)，若列车的平均时速为 135 千米，则列车在磁各庄站停靠
的时间是多少分钟
【答案】1 分钟
【分析】设列车在磁各庄站停靠的时间是 x 分钟，根据全线运行时间加停靠时间等于 20 分中列出关系等
式.
【详解】设列车在磁各庄站停靠的时间是 x 分钟
则有： + (42.75 ÷ 135) × 60 = 20
解得： = 1
故列车在磁各庄站停靠的时间是 1 分钟.
【点睛】本题解题关键在于理解 20 分钟包括停靠在磁各庄站的时间和行驶时间，务必清楚的时时间=路程÷
速度.
【题型 2 工程问题】
11．我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有 A、B 两条不同的粽子生产线，原
计划 A 生产线每小时加工粽子 400 个，B 生产线每小时加工粽子 500 个．
（1）若生产线 A，B 一共加工 12 小时，且生产粽子总数量不少于 5500 个，则 B 生产线至少加工多少小
时？
（2）原计划 A，B 生产线每天均工作 8 小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A 生产线每小时
比原计划少生产 100a 个（a>0），B 生产线每小时比原计划少生产 100 个，为了尽快将粽子投放到市场，A
生产线每天比原计划多工作 2a 小时，B 生产线每天比原计划多工作 a 小时，这样一天恰好生产粽子 6400 个，
求 a 的值．
【答案】（1）B 生产线至少加工 7 小时；（2）a 的值为 2
【分析】（1）设 B 生产线加工生产 x 小时，则 A 生产线加工生产（12-x）小时，根据生产粽子总数量不少于
5500 个，列出不等式解决问题；
（2）利用 A、B 生产线一天生产的总数量的和是 6400 个列出方程解决问题．
【详解】（1）解：设 B 生产线加工 x 小时，则 A 生产线加工（12 ）小时．
500 + 400(12 ) ≥ 5500，
解得 ≥ 7．
答：B 生产线至少加工 7 小时．
（2）(400 100 )(8 + 2 ) + (500 100)(8 + ) = 6400
整理得， 2 2 +4 = 0，
解得 1 = 2, 2 = 0（不符合题意，舍去）
∴a 的值为 2
【点睛】此题考查一元一次不等式，一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程或不
等式解决问题是关键．
12．故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科
学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学
理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用
30 个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要 720 个月完成．假设每名
文物修复师的工作效率相同，先由 16 名文物修复师一起修复了 10 个月，还需要增加多少名文物修复师才
能按时完成修复工作？
【答案】还需要增加 12 名文物修复师才能按时完成修复工作
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设还需要增加 名文物修复师才能按时完成修复工作，
根据工作总量 = 工作时间 × 工作效率列出方程求解即可．
【详解】解：设还需要增加 名文物修复师才能按时完成修复工作．
10×16 (30 10)(16+ )
依题意列方程，得 720 + 720 = 1．
解得 = 12．
答：还需要增加 12 名文物修复师才能按时完成修复工作．
13．某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅 16 套，
乙每天修桌椅比甲多 8 套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用 20 天，学校每天付甲组 80 元修理费，
付乙组 120 元修理费．
(1)该中学库存多少套桌椅？
(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，并且付给他每天 10 元生活补助费，现有三种修理方案， A
方案：由甲单独修理；B 方案：由乙单独修理；C 方案：甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省
钱？为什么？
【答案】(1)该中学库存桌椅 960 套．
(2)选择 C 方案省时又省钱．理由见解析
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
（1）设乙单独修完需 x 天，则甲单独修完需( + 20)天．根据题意得：16( + 20) = 24 ，再计算桌椅数即
可；
（2）分别计算，通过比较选择最省钱的方案．
【详解】（1）解：设乙单独修完需 x 天，则甲单独修完需( + 20)天．根据题意得：16( + 20) = 24 ，
解得： = 40（天），
∴共有桌椅：16 × (40 + 20) = 960（套），
答：该中学库存桌椅 960 套．
（2）由甲单独修理所需费用：80 × (40 + 20) +10 × (40 + 20) = 5400（元），
由乙单独修理所需费用：120 × 40 + 10 × 40 = 5200（元），
1 1
甲、乙合作同时修理：完成所需天数：960 ×
16 + = 24（天），24
所需费用：(80 + 120 + 10) × 24 = 5040（元），
∴由甲、乙合作同时修理所需费用最少，
答：选择 C 方案省时又省钱．
14．某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙
1
工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多2．
(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做 5 天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000
元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
【答案】(1)30 天
(2)9 天
(3)甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是 10 天和 15 天
1
【分析】（1）用甲工程队单独完成这项工程的天数乘以 1 + ，即可求解；2
（2 5）根据题意得：若甲工程队先做 5 天，还剩余 1 ，再除以甲乙两队合作的工作效率，即可求解；20
（3）甲工程队需要施工 x 天，再把两队的总费用加起来等于 70000，即可求解．
1
【详解】（1）解：20 × 1 + = 30天，2
答：乙工程队单独完成需要 30 天；
（2 5 1 1）解： 1 ÷ + = 9天，20 20 30
答：还需要 9 天才能完成；
（3）解：设甲工程队需要施工 x 天，
4000 + 2000 × 1 11 = 70000，20 ÷ 30
解得： = 10，
1 1
乙工程队需要施工 1 ÷ =15 天．20 × 10 30
答：甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是 10 天和 15 天．
【点睛】本题主要考查了分数乘除法的应用、一元一次方程的应用等知识点，明确题意、准确得到数量关
系是解答本题的关键．
15．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用 10 天，
且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的 1.5 倍．
(1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？
(2)若甲、乙两队共同工作 4 天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲
队的工作效率提高到原来的 2 倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？
【答案】(1)甲队单独完成此项任务需要 30 天，乙队单独完成此项任务需要 20 天
(2)10 天
【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要 x 天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据 “乙队每
天的工作效率是甲队每天工作效率的 1.5 倍”找到等量关系，建立方程，求出其解即可；
（2）设甲队再单独施工 a 天，根据甲、乙两队共同工作 4 天，甲队的工作效率提高到原来的 2 倍，利用总
工作量为 1，建立方程求出其解即可．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项任务需要 x 天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，
1 1.5
由题意可得： = +10，
解得：x＝20，
经检验，x＝20 是原方程的解，
∴x+10＝30（天），
答：甲队单独完成此项任务需要 30 天，乙队单独完成此项任务需要 20 天；
（2）设甲队再单独施工 a 天，由题意可得：
1 1 2
30 + × 4 + 30 = 1，20
解得：a＝10，
答：甲队再单独施工 10 天．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解答本题的关键是掌握工作时间×工作效率=工作总量，利用此
关系等式列出分式方程．
16．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长
为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队加入，两工
程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此速度完成这项
隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【答案】甲乙两个工程队还需联合工作 10 天.
【分析】设甲工程队每天掘进 x 米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，利用甲、乙两工程队 3 天共掘进 26 米
列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可.
【详解】解：设甲工程队每天掘进 x 米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，
由题意得 2x+（x+x-2）=26，解得 x=7，所以乙工程队每天掘进 5 米，
146-26
7+5 =10（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作 10 天
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键.
17．某校整理一批图书，由一个人做要 48 小时完成，现在计划由一部分人先做 4 小时，再增加 3 人和他们
一起做 6 小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？（列方程解答）
【答案】具体先安排 3 人工作．
1
【详解】试题分析：根据题意可得，每个人每小时完成48，设具体先安排 x 人工作，根据题意的工作方式可
得出方程，解出即可．
试题解析：解：设先安排 x 人工作 4 小时，则依题意得：
4
48 +
6( +3)
48 = 1；
解得 x=3；
答：应先安排 3 人工作．
考点：列一元一次方程解实际问题
18．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工 程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要 60
天，若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合作 24 天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元．若该工程计划在 70 天内完成，
在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省
钱？
【答案】（1）乙队单独完成需 90 天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲 20 天
的工作量+甲乙合作 24 天的工作总量=1．
（2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可．
【详解】解：（1）设乙队单独完成需 x 天．
1 1 1
根据题意，得：60 × 20 + ( + 60) × 24 = 1．
解这个方程得：x=90．
经检验，x=90 是原方程的解．
∴乙队单独完成需 90 天．
1 1
（2）设甲、乙合作完成需 y 天，则有(60 + 90) × = 1，
解得，y=36；
①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．
②乙单独完成超过计划天数不符题意，
③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书
2
中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3；若由甲队先做 10 天，剩
下的工程再由甲、乙两队合作 30 天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为 8.4 万元，乙队每天的施工费用为 5.6 万元．工程预算的施工费用为 500 万
元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请
给出你的判断并说明理由．
【答案】(1)乙队单独完成这项工程需 90 天，则甲队单独完成这项工程需 60 天
(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算 4 万元
【分析】本题考查了分式方程的应用：
（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作
量 = 工作效率 × 工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
2
【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需 x 天，则甲队单独完成这项工程需3 天，根据题意得：
10+30 30
2
3
+ = 1，
解得： = 90，
经检验： = 90是原方程的解，且符合题意，
2
此时3 = 60，
答：乙队单独完成这项工程需 90 天，则甲队单独完成这项工程需 60 天；
（2）解：工程预算的施工费用不够用，需追加预算 4 万元，理由：
设两队合作 y 天完成，根据题意得：
1 1 = 1，
90 + 60
解得： = 36，
此时36 × (8.4 + 5.6) = 504元 > 500元，
所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算 4 万元．
20．在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生 48 人，其中
4
女生人数比男生人数的5多 3 人．如果让男生单独工作，需要 5 小时，如果让女生单独工作，需要7.5小时．
(1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？
(2)如果让男生、女生一起工作 1 小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？
【答案】(1)七年级（1）班有男生25人、女生23人；
13
(2)男生共需要 3 小时．
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，熟练的确定相等关系建立方程是解本题的关键．
1 1 4（ ）设七年级（ ）班有男生有 人，则女生有 + 3 人，再利用全班共 48 人建立方程求解即可；5
（2）设男生共需要 小时，再由各部分的工作量之和等于 1 建立方程求解即可．
4
【详解】（1）解：设七年级（1）班有男生有 人，则女生有
5 + 3 人，
∴ + 45 + 3 = 48，
解得： = 25；
∴45 × 25 + 3 = 23，
答：七年级（1）班有男生25人、女生23人；
（2）设男生共需要 小时，则
1 + 1 15 7.5 + 5 = 1，
= 13解得： 3 ；
13
答：男生共需要 3 小时．
【题型 3 销售问题】
21．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价 40 元，售价 60 元；乙种商品每件进价 50 元，利润
率为60%．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过 380 元 不优惠
超过 380 元，但不超过 500 元 售价打九折
超过 500 元 售价打八折
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共 60 件，恰好总进价为 2600 元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只
购买乙种商品，实际付款 320 元，第二天只购买甲种商品实际付款 432 元，求小聪这两天在该商场购买甲、
乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)购进甲商品 40 件，乙商品 20 件
(2)小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共 12 或 13 件
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
（1）设购进甲种商品 件，则购进乙种商品(60 )件，然后根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）根据利润率等于利润除以进价，直接算出乙的售价；设第一天购买乙种商品 件，设第二天购买甲种
商品 件，然后分别列方程求得 、 ，最后求和即可．
【详解】（1）解：设购进甲种商品 件，则购进乙种商品(60 )件，
由题意得，40 + 50(60 ) = 2600，
解得： = 40，
则60 = 20．
答：购进甲商品 40 件，乙商品 20 件．
（2）解：设第一天购买乙种商品 件，
依题意得，80 = 320或80 90% = 320，
= 4 40解得 或 9 （舍去），
所以第一天购买乙种商品 4 件．
50 × (1 + 60%) = 80元，
每件乙种商品售价为 80 元．
设第二天购买甲种商品 件，
依题意得，60 90% = 432或60 80% = 432，
解得 = 8或 9，
所以第二天购买甲种商品 8 或 9 件，
4 + 8 = 12件或4 + 9 = 13件．
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共 12 或 13 件．
22．在 2024 年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获 44 枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，
一共收获了 2 枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人 10 米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次
采购了 20 个绿龟玩偶和 20 个绿龟挂件，共花费了 1400 元，已知玩偶的单价比挂件贵 50 元．
(1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？
(2)在第二场女子 10 米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，
挂件单价优惠了 元，玩偶单价优惠了5 元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件
比玩偶多出了一件，请求出 的值．
【答案】(1)购买绿龟挂件的单价为 10 元，则绿龟玩偶的单价为60元
(2) = 10121
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设购买绿龟挂件的单价为 x 元，则绿龟玩偶的单价为( + 50)元，然后可得方程20 + 20( + 50) = 1400，
进而求解即可；
（2）由（1）及题意易得挂件单价变为(10 )元，玩偶的单价变为(60 5 )元，然后可得方程21(10 ) +20
(60 5 ) = 1400，进而问题可求解．
【详解】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为 x 元，则绿龟玩偶的单价为( + 50)元，由题意得：
20 + 20( + 50) = 1400
解得： = 10；
∴绿龟玩偶的单价为 60 元；
答：购买绿龟挂件的单价为 10 元，则绿龟玩偶的单价为60元．
（2）解：由（1）及题意得挂件单价变为(10 )元，玩偶的单价变为(60 5 )元，则有：
21(10 ) + 20(60 5 ) = 1400
解得： = 10121．
23．2023 年 12 月，我校开展了“艺青春”艺术节系列活动，小雅同学报名了艺术集市的售卖活动．集市开始
前，她在文体超市购买了若干个手提袋进行售卖，这种手提袋标价每个 30 元，请认真阅读结账时老板与小
明的对话图片，解决下面两个问题：
(1)求小雅原计划购买手提袋多少个？
(2)艺术组老师也来到文体超市，购买了新年日历和画册共 50 本作为奖品，其中新年日历标价每本 20 元，
画册标价每本 10 元，经过沟通，这次老板给予 8 折优惠，合计 560 元．问老师购买了新年日历和画册各多
少本？
【答案】(1)15 个；
(2)新年日历：20 本，画册：30 本．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题；解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
（1）设小雅原计划购买手提袋 x 个，则实际购买了( + 1)个，根据对话内容列出方程即可得出结果；
（2）设老师购买了新年日历 y 本，根据两种物品的购买总费用 560 元，列出方程即可得出结果．
【详解】（1）（1）解：设小雅原计划购买手提袋 x 个，则实际购买了( + 1)个，
由题意得：30( + 1) × 0.9 = 30 18．
解得： = 15；
答：小雅原计划购买手提袋 15 个；
（2）（2）解：设老师购买了新年日历 y 本，，则购买画册(50 )本，
由题意得：[20 + 10(50 )] × 80% = 560，
解得： = 20，
则：50 = 30（本）．
答：老师购买了新年日历 20 本，购买画册 30 本．
24．现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），
花 300 元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的 8 折购物．
(1)小张要买一台标价为 3500 元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
(2)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？
【答案】(1)买卡合算，小张能节省 400 元
(2)这台冰箱的进价是 2480 元
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据花 300 元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的 8 折购物，得出等式进而求出即可，然后可得
出怎样购买合算；
（2）首先假设进价为 y 元，则可得出(300 + 3500 × 0.8) = 25％ 进而求出即可．
【详解】（1）解：设顾客购买 x 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．
根据题意，得300 + 0.8 = ，
解得 = 1500，
所以，顾客购买 1500 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等；
∴小张买卡合算，
∴3500 (300 + 3500 × 0.8) = 400（元），
所以，小张能节省 400 元钱；
（2）解：设进价为 y 元，根据题意，得
(300 + 3500 × 0.8) = 25％ ，
解得： = 2480，
答：这台冰箱的进价是 2480 元．
25．山地自行车越来越受中学生的喜爱；一家店经营的某型号山地自行车，今年七月份销售额为 22500 元，
八月份每辆车售价比七月份每辆车售价提高 100 元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是
25000 元．
(1)求八月份每辆车售价是多少元？
(2)为了促销，九月份每辆车售价比八月份每辆车售价降低了 15%销售，该店仍可获利 25%，求每辆山地自
行车的进价是多少元？
【答案】(1)八月份每辆车的售价是 1000 元
(2)每辆山地自行车的进价是 680 元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用．
（1）设八月份每辆车的售价是 x 元，则七月份每辆车售价为( 100)元，根据数量=总价÷单价，即可得出
关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每辆山地自行车的进价为 y 元，根据利润=售价 进价，即可得出关于 y 的一元一次方程，解之即可
得出结论．
【详解】（1）解：设八月份每辆车的售价是 x 元，则七月份每辆车售价为( 100)元，
由题意得：
22500 25000
100 = ，
解得： = 1000．
检验：当 = 1000时， ( 100) ≠ 0．
所以 = 1000是原方程的解，且符合题意．
答：八月份每辆车的售价是 1000 元；
（2）解：设每辆山地自行车的进价是 y 元，由题意得：
[1000 × (1 15%) у] × 100% = 25%
解得： = 680．
答：每辆山地自行车的进价是 680 元．
26．黄老师要在周五开设羽毛球社团，她计划购买 16 支羽毛球拍和 x 盒羽毛球( > 16)．黄老师发现在学
校附近有甲、乙两家商店都在出售相同品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每支售价 150 元，羽毛球每盒
售价 40 元．经过老师的洽谈，甲商店给出每买一支羽毛球拍送一盒羽毛球的优惠，乙商店给出羽毛球拍和
羽毛球全部八折的优惠．请问黄老师购买这些球拍和羽毛球，在哪个商店更合算？请说明理由．
【答案】当 = 20时，甲、乙商店的花费相同；当 > 20时，乙商店的花费合算；当 < 20时，甲商店的花
费合算
【分析】根据甲、乙给出的优惠方案列出对应的代数式，再分类求出甲、乙商店的花费即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
甲商店的花费150 × 16 + 40( 16) = (40 + 1760)元，
乙商店的花费150 × 16 × 0.8 + 0.8 × 40 = (32 + 1920)元，
当40 + 1760 = 32 + 1920，即 = 20时，甲、乙商店的花费相同；
当40 + 1760 > 32 + 1920，即 > 20时，乙商店的花费合算；
当40 + 1760 < 32 + 1920，即 < 20时，甲商店的花费合算．
【点睛】本题主要考查了列代数式和一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用不等式或
方程解决实际问题，学会采用混合购买的方法解决问题中省钱的方案．
27．某商场从厂家购进了 、 两种品牌篮球共 80 个，已知购买 品牌篮球的总价比购买 品牌篮球总价的 2
倍还多 200 元， 品牌篮球每个进价 100 元， 品牌篮球每个进价 80 元．
(1)求购进 、 两种品牌篮球各多少个？
(2)在销售过程中， 品牌篮球每个售价 150 元，售出 30 个后出现滞销；商场决定打折出售剩余的 品牌篮
球， 品牌篮球每个按进价加价 20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利 2080 元，求 品
牌篮球打几折出售？
【答案】(1)购进 品牌篮球 50 个，购进 品牌篮球 30 个
(2)7 折
【分析】（1）设购进 品牌篮球 个，则购进 品牌篮球 个，根据 、 两种品牌篮球共 80 个和购买 品牌篮
球的总价比购买 品牌篮球总价的 2 倍还多 200 元可列出方程组求解即可；
（2）设 品牌篮球打 折出售，根据两种品牌篮球全部售出后共获利 2080 元列出方程解决问题．
【详解】（1）解：设购进 品牌篮球 个，则购进 品牌篮球 个，
+ = 80
100 = 2 × 80 + 200 ，
= 50
解得 = 30 ，
故购进 品牌篮球 50 个，购进 品牌篮球 30 个；
（2）解：设 品牌篮球打 折出售，依题意有：

(150 100) × 30 + (50 30) × 150 × 10 (50 30) × 100 + 80 × 20% × 30 = 2080，
即：1500 + 20 × (15 100) +480 = 2080，
解得： = 7，
故 品牌篮球打 7 折出售．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握题意，找出题目中的等量关系，
列出方程并解答是关键．
28．现在是互联网的时代，微商小古一次购进了一种时令水果 250kg，开始两天他以每千克高于进价40%的
价格卖出 180kg，第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价
基础上打4折全部售出．最后他卖该种水果获得618元的利润．问：
(1)这批水果的进价为多少元？
(2)计算小古打折卖出剩余的水果比购进这些水果亏了多少元？
【答案】(1)15 元/千克
(2)亏了 462 元
【分析】（1）先设进价为 元/千克，根据前后一共获利618元，列出方程，求出 的值；
（2）根据总额 进货总价来计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元．
【详解】（1）解：设进价为 元/千克，
依题意得：180（1 + 40%） + 70 × 40% × （1 + 40%） 250 = 618，
解得 = 15，
答：这批水果的进价为15元/千克；
（2）解：70 × 15 70 × 15 × 1.4 × 0.4 = 462（元）．
答：亏了462元．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程并解
答．
29．某超市第一次以 4450 元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的 2 倍多 15 件，甲、
乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）
甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 25 40
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次
的 2 倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得
的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？
【答案】(1)甲 50 件，乙 115 件
(2)9 折
【分析】（1）设第一次购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品(2 + 15)件，根据“第一次以 4450 元购进甲、
乙两种商品”列方程求解即可；
（2）设第二次甲商品是按原价打 m 折销售，根据“乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品
都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样”列方程求解即可．
【详解】（1）设第一次购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品(2 + 15)件，由题意得：
20 + 30(2 + 15) = 4450
解得 = 50
2 + 15 = 2 × 50 + 15 = 115
所以，第一次购进甲种商品 50 件，则购进乙种商品 115 件．
（2）设第二次甲商品是按原价打 m 折销售，根据题意得：

50 × 2 × (25 × 10 20) + 115 × (40 30) = 50 × (25 20) + 115 × (40 30)
解得 = 9
答：第二次甲商品是按原价打 9 折销售．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找准等量关系是解题的关键．
30．学校计划在某商店购买秋季运动会的奖品，若买 5 个篮球和 10 个足球需花费 1150 元，若买 9 个篮球
和 6 个足球需花费 1170 元．
(1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)实际购买时，正逢该商店进行促销．所有体育用品都按原价的八折优惠出售，学校购买了若干个篮球和
足球，恰好花费 1760 元．请直接写出学校购买篮球和足球的个数各是多少．
【答案】(1)篮球的单价是 80 元，足球的单价是 75 元；
(2)学校购买篮球 5 个，足球 24 个或购买篮球 20 个，足球 8 个．
【分析】此题主要考查一元一次方程的实际应用．
1150 5
（1）首先设篮球的单价是 元，则足球的单价是 10 元，然后根据题意列出方程求解即可；
440 16
（2）首先设购买了 个篮球，则购买足球数为 15 ，求出其整数解即可．
1150 5
【详解】（1）解：设篮球的单价是 元，则足球的单价是 10 元，
根据题意得9 + 6 1150 5 10 = 1170，
解得 = 80，
1150 5
10 = 75，
答：篮球的单价是 80 元，足球的单价是 75 元；
（2）解：设购买了 个篮球，
1760 80×80% 440 16
则购买足球数为 75×80% = 15 ，
∵ 440 16 为整数，且 15 也是整数，
∴ = 5或 = 20，
= 5 440 16 当 时， 15 = 24；
当 = 20 440 16 时， 15 = 8，
答：学校购买篮球 5 个，足球 24 个或学校购买篮球 20 个，足球 8 个．
【题型 4 比赛积分】
31．某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投 10 次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，
计分规则如下：
投中位置 A 区 B 区 脱靶
一次计分（分） 3 1 2
在第一局中，珍珍投中 A 区 4 次，B 区 2 次，脱靶 4 次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中 A 区 k 次，B 区 3 次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了 13 分，求 k 的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分为 6 分；
(2) = 6．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）解：由题意得4 × 3 + 2 × 1 + 4 × ( 2) = 6(分)，
答：珍珍第一局的得分为 6 分；
（2）解：由题意得3 + 3 × 1 + (10 3) × ( 2) = 6 + 13，
解得： = 6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
32．2022 世界杯于 11 月 21 日在卡塔尔召开.在小组赛阶段，32 支球队根据自身实力所处的不同档次，以及
所属大洲的情况进行抽签选择，每个小组 4 支球队.在小组内部的球队会和其他三支队伍都进行比赛，以下
是世界杯小组赛 A 组的积分表．
小组 代表队 场次（场） 胜（场） 平（场） 负（场） 积分（分）
荷兰 3 2 1 0 7
塞内加尔 3 2 0 1 6
A 组
厄瓜多尔 3 1 1 1 4
卡塔尔 3 0 0 3 0
（说明：积分＝胜场积分+平场积分+负场积分）
(1)求小组赛中胜一场、平一场、负一场各积多少分？
(2)小组赛结束时，阿根廷队没有平场，并且小组赛积分 6 分，成功晋级，求阿根廷队胜、负各多少场？
(3)在本次小组赛中，能否出现一支球队保持不败的战绩，且胜场总积分恰好等于它的平场总积分？
【答案】(1)胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分
(2)胜 2 场，负 1 场
(3)不能
【分析】（1）根据表格数据，可得负一场积0分，然后设胜一场积 分，平一场积 分，列方程即可解答；
（2）设阿根廷队胜 场，则负(3 )场，根据题意列方程即可解答；
（3）设一个队胜 场，则平(3 )场，根据题意列方程即可解答．
【详解】（1）观察积分表，从卡塔尔一行数据可以看出：负一场积0分
设胜一场积 分，从塞内加尔一行数据可得，2 + 0 = 6，解得： = 3
设平一场积 分，从荷兰一行数据可得，2 × 3 + = 7，解得： = 1
用积分表其他行可以验证，得出结论：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．
（2）设阿根廷队胜 场，则负(3 )场，由题意得：
3 × + 0 × (3 ) = 6．
解得： = 2．所以，3 = 3 2 = 1
答：阿根廷队胜2场，负1场．
（3）设一个队胜 场，则平(3 )场，
由题意得：胜场总积分等于平场总积分，则得方程3 = 3 ，
3
解得： = 4．
∵ ∴ = 3（胜场数）的值必须为整数， 4不合实际．
∴没有一支球队保持不败的战绩，且胜场总积分恰好等于它的平场总积分．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程
是解题关键．
33．如表是某次篮球联赛积分榜的一部分
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
远大 14 7 7 21
钢铁 14 0 14 14
备注：积分=胜场积分+负场积分
(1)观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分；
(2)设某队胜 场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含 的整式填空）；
(3)若某队的负场总积分是胜场总积分的 倍，其中 为正整数，请直接写出 的值．
【答案】(1)胜一场积 2 分，负一场积 1 分
(2)2 ，14
(3)3
a 21 7 【分析】（1）设胜一场积 分，则由远大队胜、负积分可知负一场积 7 = 3 分，根据光明队胜 9 场负 5
场积 23 分即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设胜了 x 场，则负了（14-x）场，由胜一场积 2 分负一场积 1 分即可得出结论；
（3）根据负场总积分是胜场总积分的 n 倍即可得出关于 x 的一元一次方程，解方程求出 x 值，再根据 x、n
均为正整数即可得出 n 的值．
21 7
【详解】（1）设胜一场积 a 分，则由远大队胜、负积分可知负一场积 7 = 3 分，
∴由光明队可得：9 + 5(3 ) = 23
解得： = 2
∴3 = 1
∴胜一场积 2 分，负一场积 1 分
（2）设胜了 x 场，则负了（14-x）场，
∴胜场总积分为2 分，负场总积分为（14 ）分
（3）∵负场总积分是胜场总积分的 倍
∴14 = 2
= 14解得： 2 +1
∵x 和 n 均为正整数，
∴2 + 1 = 1、2、7、14
∴ = 14
= 7 = 2 = 1
解得 = 0 （舍去）， = 1 （舍去）、 = 3 、 = 13 （舍去）
2 2
故答案为：3
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．
34．某校组织学生参加冬奥会知识竞赛，共设 20 道单项选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参
赛者的得分统计表：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
于潇 20 0 100
王晓林 18 2 88
李毅 10 10 40
… … … …
(1)根据表格提供的数据，答对 1 题得_______分，答错 1 题扣________分；
(2)参赛者李小萌得了 76 分，求她答对了几道题．
【答案】(1)答对 1 题得 5 分，答错 1 题扣 1 分；
(2)她答对 16 道题．
【分析】（1）先根据于潇的得分可得出答对 1 题得 5 分，再根据王晓林的得分即可得出答错 1 题扣的分数；
（2）设参赛者李小萌答对了 道题，从而可得她答错了(20 )道题，根据（1）的结果和“参赛者李小萌得
了 76 分”建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：答对 1 题得的分数为100 ÷ 20 = 5（分），
答错 1 题扣的分数为(18 × 5 88) ÷ 2 = 1（分），
故答案为：5，1；
（2）解：设参赛者李小萌答对了 道题，则她答错了(20 )道题，
由题意得：5 (20 ) = 76，
解得 = 16，
答：她答对了 16 道题．
【点睛】本题考查了有理数加减乘除的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．
35．某校组织学生参加 2022 年冬奥知识问答，问答活动共设有 20 道选择题，每题必答，每答对一道题加
分，答错一道题减分，下表中记录了 A、B、C 三名学生的得分情况：
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 18 2 86
C 15 5 65
请结合表中所给数据，回答下列问题：
（1）本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分；
（2）若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，那一个可能是小刚的得分： （填写选项）；
A．75；B．63；C．56；D．44
并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列方程解决问题）
【答案】（1）5，2；（2）D，答对了 12 道题，见解析
【分析】（1）根据 A 的得分可求出每答对一题的加分，根据 B 或 C 的得分可求出每打错一题的减分；
（2）设小刚答对 x 道题，则答错(20 )道题，列方程对每个选项分析即可；
【详解】解：（1）答对一题加：100÷20=5 分，
打错一题减：(18×5-86) ÷2=2 分，
故答案为：5，2；
（2）设他答对 x 道题，则答错(20 )道题．
A. 若5 2(20 ) = 75 115，解得 x= 7 ，故不符合题意；
5 2(20 ) = 63 x 103B．若 ，解得 = 7 ，故不符合题意；
96
C．若5 2(20 ) = 56，解得 x= 7 ，故不符合题意；
D．若5 2(20 ) = 44，解得 = 12，符合题意；
答：学生小刚答对了 12 道题．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系列出方程，再求解．
36．某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其
中 4 个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 2 88
C 64
D 10 40
（1）参赛者 E 说他错了 10 个题，得 50 分，请你判断可能吗 并说明理由；
（2）补全表格，并写出你的研究过程．
【答案】（1）不可能，理由见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由参赛者 A 可得答对一道得 5 分，结合参赛者 B 可得答错一道扣 1 分，然后求出参赛者 E 的
得分即可；
（2）根据共作答 20 道，可补全参赛者 B、D；设参赛者 C 答对 x 道，答错(20-x)道，然后列一元一次方程求
解即可．
【详解】解：（1）不可能，理由如下：
由参赛者 A 可得答对一道得 5 分，结合参赛者 B 可得答错一道扣 1 分
则参赛者 E 的得分为：5×10-1×10=40 分
所以参赛者 E 说他错了 10 个题，不可能得 50 分；
（2）由试题共设 20 道选择题，每题必答，则参赛者 B 答对 20-2=18 道；参赛者 D 答错 20-10=10 道；
设参赛者 C 答对 x 道，答错(20-x)道
5x-（20-x）=64，解得 x=15
所以参赛者 C 答对 14 道，答错 6 道．
故答案为：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 18 2 88
C 14 6 64
D 10 10 40
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得 5 分、答错一道扣 1 分成为解答
本题的关键．
37．在某年全国足球甲级 A 组的前 11 场比赛中，某队保持连续不败，共积 23 分，按比赛规则：胜一场得
三分，平一场得一分，那么该队共胜了多少场？
分析：设该队共胜了 x 场，根据题意，用含 x 的式子填空：
该队平了_____________场；按比赛规则，该队胜场共得_____________分；按比赛规则，该队平场共得
_____________分；
解答：
【答案】(11 )；3 ；(11 )；6 场
【分析】平的场数=总场数－胜的场数；胜场总分=胜的场数×3；平场总分＝平的场数×1；根据题意列出一
元一次方程，从而得出答案．
【详解】设该队共胜了 x 场，则平的场数为(11 )场；
∵胜一场得三分，平一场得一分，
∴胜场共得3 分，平场共得(11 )分，
故答案为：(11 )；3 ；(11 )
根据“共积 23 分”，可得方程：
3 + (11 ) = 23
解得： = 6
∴该队共胜了 6 场．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，仔细审题，准确列出各表达式再建立方程是解题关键．
38．某小组 6 名同学参加一次知识竞赛，共答 20 道题，每题分值相同，答对得分，答错或不答扣分，下面
是前 5 名同学的得分情况(如表)：
序号 答对题数 答错或不答题数 得分
1 18 2 84
2 17 m 76
3 20 0 100
4 19 1 92
5 10 10 n
（1）表中的m = ______，n = ______；
（2）该小组第 6 名同学说：“这次知识竞赛我得了 0 分”，请问他的说法是否正确？如果正确，请求出这位
同学答对了多少题；如果不正确，请说明理由．
【答案】（1）3，20；（2）这位同学的说法不正确；理由见解析．
【分析】（1）由题意知，总共 20 道题，即可求出 m；由第三位同学的答题情况，可知答对一题得 5 分；然
后将答错或不答题扣分设为 x，通过建立方程可计算得 x；再将结论代入第五位同学的答题情况，即可求得
n；
（2）设第 6 名同学答对 y 道题，建立一元一次方程即可得到答案．
【详解】（1）由于共有 20 道题
∴m = 20 17 = 3
由第 3 位同学可知答对一题得 5 分
设答错或不答扣 x 分
则从第 1 位同学可列方程：18 × 5 2 = 84
∴ = 3
∴n = 10 × 5 3 × 10 = 20
∴m=3，n=20；
（2）设这位同学答对 y 道题，则他答错或不答(20 y)题，则
5y 3(20 y) = 0，
∴y = 152
∵y 不是整数，所以这位同学的说法不正确．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识点；求解的关键是数量掌握一元一次方程的性质，并运用到实际
问题求解过程中，即可得到答案．
39．为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛，下表记录了比赛过程中部分代表队的积分
情况.
代表队 场次（场） 胜（场） 平（场） 负（场） 积分（分）
6 5 1 0 16
6 6 0 0 18
6 3 2 1 11
6 3 1 2 10
（1）本次比赛中，胜一场积______分；
（2）参加此次比赛的 代表队完成 10 场比赛后，只输了一场，积分是 23 分，请你求出 代表队胜出的场
数.
【答案】(1)3；(2)7
【分析】(1)根据 B 代表队的积分情况可直接得出胜一场的积分情况
(2)先根据 A,B,C,D 代表队的积分情况分别算出胜一场，平一场，负一场各自的积分情况，再列一元一次方程
求解即可.
【详解】解：(1)根据 B 代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：18 ÷ 6 = 3（分）
(2)由 A 代表队的积分情况得出平一场的积分情况：（16 3 × 5） ÷ 1 = 1（分）
由 C 代表队的积分情况得出负一场的积分情况：(11 3 × 3 2 × 1) ÷ 1 = 0（分）
设 代表队胜出的场数为 x，则平场为（9-x）场，列方程得：3x+1 × (9-x)=23
解方程得：x=7
答： 代表队胜出的场数为 7 场.
【点睛】本题是典型的比赛积分问题，清楚积分的组成部分及胜负积分的规则是解本题的关键.
40．某次知识竞赛共出 25 道选择题，评分办法是：答对一道加 4 分，答错一道倒扣 1 分，不答记 0 分，已
知小王不答的题比答错的题多 1 道，他的总分是 87 分，小王答对了多少道题？
【答案】小王答对了 22 道题
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用．设小明答错了 x 道题，则小明不答的题有( + 1)道，答对的
题有(24 2 )道，根据总分是 87 分列出一元一次方程并解方程即可求出答案．
【详解】解：设小明答错了 x 道题，则小明不答的题有( + 1)道，答对的题有：25 ( + 1) = 24 2
（道），
根据题意可得：4(24 2 ) = 87，
解得： = 1，
∴答对的题有：24 2 = 24 2 = 22（道），
答：小王答对了 22 道题．
【题型 5 几何问题】
41．列方程或方程组解应用题．
如图 1，正方形 是一块边长为30cm的灰色地砖，在 A，B，C，D 四个顶点处截去四个全等的等腰直角
三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图 2 所示的图
案，该图案的面积为3000cm2（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积．
【答案】一块八边形地砖的面积为700cm2，黑色正方形地砖的面积为200cm2
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，可设等腰直角三角形直角边长为 cm，则斜边度为 2 cm，根
据 4 个正八边形面积 + 黑色正方形的面积 = 3000列出方程，求出 和 2 ，即可得出结论
【详解】解：设等腰直角三角形直角边长为 cm，则斜边度为 2 cm，根据题意得，
4 302
1 2
4 × 2 + ( 2 ) = 3000，2
4(900 2 2) + ( 2 )2 = 3000
6 2 = 600
解得， =± 10，
∵ > 0
∴ = 10
2
∴黑色正方形地砖的面积 = ( 2 ) = 200cm2；
3000 200
则一块八边形地砖的面积 = 4 = 700cm
2，
答：一块八边形地砖的面积为700cm2，黑色正方形地砖的面积为200cm2．
42．羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，
也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为4cm，场地的长比宽
的 2 倍还多120cm包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）
间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．
【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，
设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12 cm，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7 cm，根据题
意列方程求解即可．
【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12 cm，则中线同侧的单、双打边线间的距离是
7 cm，
由题意可得1180 + 24 + 4 × 4 = 2(510 + 14 + 4 × 4) +120．
解得 = 6
∴12 = 72，
答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm．
43．在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生
建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图
所示，已知空地长10米，宽4.5米，矩形菜园的长与宽的比为6:1，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽
度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？
【答案】预留通道的宽度是0.5米，矩形菜园的宽是1.5米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设矩形菜园的宽为 米，则长为6 ，根据预留的上、中、下、左、
右通道的宽度相等，可列一元一次方程，解得 的值即为矩形菜园的宽，可求得预留通道的宽度．
【详解】解：设矩形菜园的宽为 米，则矩形菜园的长为6 米．
由题意可得，
10 6
2 =
4.5 2
3 ．
解得 = 1.5．
∴10 6 2 = 0.5．
答：预留通道的宽度是0.5米，矩形菜园的宽是1.5米．
44．下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将
房间地面全部铺设完预计需要花费 10000 元，其中包含安装费 1270 元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之
比是5:3，求每平方米木地板和瓷砖的价格．
【答案】每平方米木地板的价格为 150 元，每平方米瓷砖的价格为 90 元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为
5 元，则每平方米瓷砖的价格为3 元，根据花费 10000 元，其中包含安装费 1270 元列方程求解即可．
【详解】解：设每平方米木地板的价格为5 元，则每平方米瓷砖的价格为3 元．
厨房面积：2 × 3 = 6m2，
卫生间面积：2 × 3 = 6m2，
客厅面积：(8 4) × 3 + 6 × 4 = 36m2，
卧室面积：5 × 3 = 15m2，
由题意可得，(6 + 6) × 3 + (36 + 15) × 5 = 10000 1270，
解得 = 30，
∴ 5 = 150，3 = 90．
答：每平方米木地板的价格为 150 元，每平方米瓷砖的价格为 90 元．
45．列方程解应用题：
如图，小区规划在一个长70米，宽26米的长方形场地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与 平行，第
三条与 平行，场地的其余部分种草，并使每一块草坪的形状相同．若每一块草坪的长比宽多10米，求甬
道的宽是多少米．
【答案】2米．
70 2 26
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，甬道的宽是 米，则草坪的长为 3 ，草坪的宽为 2 ，根据数
量关系，列出方程是解题的关键．
70 2 26 【详解】解：设甬道的宽是 米，则草坪的长为 3 ，草坪的宽为 2 ，
70 2 26
根据题意得： 3 = 2 +10，
解得： = 2，
答：甬道的宽是2米．
46．在党的富农政策的支持下，李大爷将自家土地开发为适宜观光旅游、拍照摄影的油菜花田基地，如下
图所示：有一块长方形的土地，长是宽的1.5倍，在土地上的南北两侧各铺设宽度为2m的甬道供游人行走观
赏，已知油菜花的种植区域的长和宽的比为7 ∶ 3，求这块土地的长．
【答案】这块土地的长为16.8m
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，比例的基本性质．根据题意正确的列一元一次方程是解题的关
键．
设这块土地的长为 m 2，则宽为3 m
2 2
，油菜花的种植区域的长为 m，宽为 4 m，依题意得， :3 3 4
=7:3 2，即7 4 =3 ，计算求解，然后作答即可．3
2
【详解】设这块土地的长为 m，则宽为3 m．
∴油菜花的种植区域的长为 m 2，宽为 4 m，3
2 2
依题意得， :
3 4 =7:3，即7 3 4 =3 ，
解得， = 16.8，
∴这块土地的长为16.8m．
47．如图，小明同学用一张长为11cm，宽为7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，
他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．求剪去的正方形的边
长．
【答案】2cm
【分析】设剪去的正方形的边长为 cm，根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是(11 2 )cm，宽为
(7 2 )cm，然后根据长方形的面积公式列方程，再求解即可．
【详解】解：设剪去的正方形的边长为 cm，根据题意得，
(11 2 )(7 2 ) = 21，
解得 1 = 7（舍）， 2 = 2，
答：剪去的正方形的边长2cm．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据图形和题意写出裁剪后的底面的长和宽是解题的关键．
48．如图，把一块长 为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线
折起，做成一个无盖长方体纸盒，若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？
【答案】20cm
【分析】设长方形硬纸板的宽为 cm，根据纸盒的体积是1500cm3可列出方程(40 10) × ( 10) × 5 = 1500，
求解即可．
【详解】解：设长方形硬纸板的宽为 cm，根据题意，
得(40 10) × ( 10) × 5 = 1500，
解得： = 20；
答：长方形硬纸板的宽为20cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
49．如图，用长为 18 米的篱笆靠墙(墙无限长)围成一块长方形的空地用于绿化，且平行于墙的一边为长．
(1)若长方形的长比宽多 1.5 米，此时长方形的长、宽各是多少？
(2)若在长方形与墙平行的一边开设一个宽为 1 米的门(用其他材料)，使长方形的长比宽多 4 米，此时所围成
的长方形的面积是多少？
【答案】(1)此时长方形的长为 7 米，宽为 5.5 米．
(2)此时所围成的长方形的面积是 45 平方米．
【分析】（1）等量关系为：2×宽+长=18，把相关数值代入即可求解；
（2）利用（1）的等量关系得出 2×宽+长 = 18 + 1，求得长与宽，进而求出面积．
【详解】（1）解：设长方形的宽为 米，则长为( + 1.5)米．
根据题意，得( + 1.5) + 2 = 18．
解得 = 5.5．
所以 + 1.5 = 5.5 + 1.5 = 7．
答：此时长方形的长为7米，宽为5.5米．
（2）设长方形的宽为 米，则长为( + 4)米．
根据题意，得( + 4) + 2 = 18 + 1．
解得 = 5．
所以 + 4 = 5 + 4 = 9，
5 × 9 = 45(平方米)．
答：此时所围成的长方形的面积是45平方米．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
50．已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空
间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间
的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构
成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其
中最大的正方形边长为3m，且空白区域 、 两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，
铺贴用纸费用分别为：A 区域 10 元/m2，B 区域 15 元/m2，C 区域 20 元/m2，铺贴三个区域共花费 150 元，
求 C 区域的面积．
【答案】5m2
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设 A 区域的面积为 m，根据题意得出
10 + 15 + 20(9 2 ) = 150，解得 = 2，再求出 C 区域的面积即可．
【详解】解：设 A 区域的面积为 m，
10 + 15 + 20(9 2 ) = 150，
解得 = 2，
9 2 × 2 = 5，
答：C 区域的面积是5m2．

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