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专题 13 几何证明压轴题（6 种类型 45 道）
目录
【题型 1 探究两条线段数量关系】 ..........................................................................................................................1
【题型 2 探究三条线段数量关系】 ........................................................................................................................22
【题型 3 最值问题（最小值）】 .............................................................................................................................49
【题型 4 最值问题（最大值）】 .............................................................................................................................60
【题型 5 几何证明与三角函数综合】 ...................................................................................................................73
【题型 6 几何证明与相似三角形综合】 ...............................................................................................................87
【题型 1 探究两条线段数量关系】
1．如图，在菱形 ABCD中， BAD = 60°，E 是 AB 边上一点（不与 A，B 重合），点 F 与点 A 关于直线DE
对称，连接DF ．作射线CF ，交直线DE 于点 P，设 ADP = a ．
(1)用含a 的代数式表示 DCP；
(2)连接 AP，AF ．求证：VAPF 是等边三角形；
(3)过点 B 作BG ^ DP 于点 G，过点 G 作CD的平行线，交CP于点 H．补全图形，猜想线段 CH 与 PH 之间
的数量关系，并加以证明．
【答案】(1) DCP = a + 30°
(2)见解析
(3) CH = PH ，证明见解析
【详解】（1）解：∵点 F 与点 A 关于直线DE 对称， ADP = a ，
∴ AD = DF ， PDF = ADP = a ，
∵在菱形 ABCD中， BAD = 60°，
∴ AD = CD ， AB∥CD，
∴ DF = CD， ADB =180° - BAD =120°，
∴ DCP = CFD，
∵ CDF = ADC - ADP - PDF =120° - 2a ，
∴ DCP CFD
1
= = 180° - CDF = 30° +a ，
2
即 DCP = a + 30°；
（2）∵点 F 与点 A 关于直线DE 对称，
∴ AP = FP， DPF = DPA，
∴VAPF 是等腰三角形，
∵ CFD = 30° +a = DPF + PDF = DPF +a ，
∴ DPF = 30°，
∴ DPF = DPA = 30°，
∴ APF = 60°，
∴VAPF 是等边三角形；
（3）如图所示，猜想CH = PH ，证明如下：
过点 B 作BG ^ DP 于点 G，过点 G 作CD的平行线，交CP于点 H．连接PB, BD，
∵VAPF 是等边三角形，
∴ AF = AP, PAF = 60°，
∴ PAF + BAF = 60° + BAF = BAD + BAF ，
∴ PAB = FAD ，
∵ DA = BA，
∴VDAF≌VBAP SAS ，
∴ DF = PB ，
∵ AB = AD, BAD = 60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴ BD = AB = AD = DF = PB ，
∵ BG ^ DP 于点 G，
∴ PG = GD ，
∵ CD∥GH ，
PH PG
∴ = =1，
CH GD
∴ CH = PH
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱
形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
2．如图，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ，P，D 为射线 AB 上两点（点 D 在点 P 的左侧），且
PD = BC ，连接 CP．以 P 为中心，将线段 PD 逆时针旋转n° 0 < n < 180 得线段 PE．
(1)如图 1，当四边形 ACPE 是平行四边形时，画出图形，并直接写出 n 的值；
(2)当n = 135°时，M 为线段 AE 的中点，连接 PM．
①在图 2 中依题意补全图形；
②用等式表示线段 CP 与 PM 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)画图见解析, n 的值为 45；
(2)①画图见解 析；②用等式表示线段 CP 与 PM 之间的数量 关系 CP = 2PM ，证明见解析.
【分析】（1）根据题意画出图形，根据平行四边形的性质即可求得 n 的值；
（2）①根据题意补全图形，延长 PM 至点 F , 使 FM = PM , 连接 AF 、CF、EF ,CF 交 AP 于点 O，
证明四边形 APEF 是平行四边形，证明VACO @VAFO SAS ，进而可得 AP ^ CF , 即有 AP 垂直平分
1
CF ，根据FM = PM = FP ，即可求解．
2
【详解】（1）当四边形 ACPE 是平行四边形时, 画出图形, 如图
在 VABC 中, ACB = 90o , AC = BC
\ CAB = ACB = 45o
Q 四边形 ACPE 是平行四边形
\ APE = CAB = 45o ，
即 n 的值为 45
（2）①当 n =135o 时, M 为线段 AE 的中点, 在图 2 中依题意补全图形如下:
②用等式表示线段 CP 与 PM 之间的数量关系 CP = 2PM , 证明如下:
延长 PM 至点 F , 使 FM = PM , 连接 AF 、CF、EF ,CF 交 AP 于点 O , 如图，
QM 为线段 AE 的中点，
\ 四边形 APEF 是平行四边形，
\ AF / /PE, AF = PE ，
\ PAF + APB =180o，
而 APE = no =135o，
AC = BC = PD = PE ，
\ PAF =180o - APB = 45o ，
AC = AF ，
\ CAO = FAO = 45o ，
在 VACO 和 VAFO 中，
ìAC = AF

í CAO = FAO，

AO = AO
\VACO @VAFO SAS ，
\OC = OF ，
AOC = AOF 1= 180o = 90o，
2
\ AP ^ CF , 即有 AP 垂直平分 CF ，
\CP = FP，
而 FM
1
= PM = FP ，
2
\CP = 2PM
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，综
合运用以上知识是解题的关键．
3．在RtVABC 中， ABC = 90°， BAC = 30°．D 为边 BC 上一动点，点 E 在边 AC 上，CE = CD．点 D
关于点 B 的对称点为点 F，连接 AD，P 为 AD 的中点，连接 PE，PF，EF．
(1)如图 1，当点 D 与点 B 重合时，写出线段 PE 与 PF 之间的位置关系与数量关系；
(2)如图 2，当点 D 与点 B，C 不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若
不成立，请举出反例．
(1) PE ^ PF PE 3【答案】 ， =
PF 3
(2)成立，证明见解析
1
【分析】（1）由题意知D, B, F 三点重合，则CD = BC ， PF = PD = PB，含 30°的直角三角形中 BC = AC ，
2
1
由CE = CD，可知CE = CD = BC = AC
1 1
，PE是△ADC 的中位线，有PE ^ PF ，PE = CD = BC ，
2 2 2
PF 1= AB 3= BC ，然后求出比值即可；
2 2
（2）如图 2，连接DE ，作PM ^ BC 于M ，PG∥x 轴，过E 作GN ^ BC 交BC 于 N ，交PG 于G ，由题意
知，PM 是△ABD 的中位线，BD = FB ，VCDE是等边三角形，四边形 PMNG 是矩形，设 DC = c，FD = BD = b，
b 3 1 1
则BC = BD + DC = b + c， AB = 3 b + c 3，PM = b + c ，BM = ，FM = b ，DN = DC = c，
2 2 2 2 2
1 1
EN 3= c 3，GE = PM - EN = b ， PG = MN = b + c ， FN = FB + BD + DN = 2b + c，在 Rt△PFM 中，
2 2 2 2
由勾股定理得PF 2 = FM 2 + PM 2，求出用 a，b 表示的PF 2 的值，在Rt△PEG 中，由勾股定理得
PE2 = GE2 + PG2 ，求出用 a，b 表示的PE2的值，在Rt△EFN 中，由勾股定理得EF 2 = EN 2 + FN 2 ，求出用
a b 2 PE
2 PE
， 表示的EF 的值，求出可得 2 的值，进而可得 的值，根据PF PE
2 + PF 2 与EF 2 的数量关系判断PE
PF
与PF 的位置关系即可．
【详解】（1）解：PE ^ PF PE 3， = ．
PF 3
理由如下：由题意知D, B, F 三点重合
∴ CD = BC ，PF = PD = PB
∵ ABC = 90°， BAC = 30°
1
∴ ACB = 60°，BC = AC
2
∵ CE = CD
∴ CE = CD = BC
1
= AC
2
∴ E 为线段 AC 的中点
∵ P 是 AD 中点
∴ PE是△ADC 的中位线
PE 1 CD 1∴ = = BC ，PE ^ PF
2 2
∴ PF 1 AB 3= = BC
2 2
1
PE BC2 3∴ = =PF 3 3 ．BC
2
2 PE 3（ ）解：PE ^ PF ， = 的关系仍成立．
PF 3
证明：如图 2，连接DE ，作PM ^ BC 于M ，PG∥x 轴，过E 作GN ^ BC 交BC 于 N ，交PG 于G ，
由题意知， PM 是△ABD 的中位线， BD = FB ，VCDE是等边三角形，四边形 PMNG 是矩形，设 DC = c，
FD = BD = b
b 3 1 1
∴ BC = BD + DC = b + c， AB = 3 b + c ，PM 3= b + c ，BM = ，FM = b ，DN = DC = c，
2 2 2 2 2
1 1
EN 3= c ，GE = PM - EN 3= b ，PG = MN = b + c ，FN = FB + BD + DN = 2b + c
2 2 2 2
2 2é ù 2
Rt PFM PF 2 FM 2 PM 2 3 b 3 b c 9 3 b + c 在 △ 中，由勾股定理得 = + = + + 2 2 ÷ ê ú = b +è 2 4 4
2
2 b + c 2
在Rt△PEG 3 é1 ù 3

中，由勾股定理得PE2 = GE2 + PG2 = 2 b÷÷ + ê b + c = b +
è 2 2
ú 4 4
2
2 4b + c 2
在Rt△EFN 3 1 3

中，由勾股定理得EF 2 = EN 2 + FN 2 = c ÷÷ + 2b + c ÷ = c
2 + = 3b2 + b + c 2
è 2 è 2 4 4
3 b + c
2
PE2 b
2 +
∴ = 4 4
1
=
PF 2 9 2 3 b + c
2 3
b +
4 4
∴ PE 3=
PF 3
∵ 3PE2 PF 2 9 b2 b + c
2
3 2 b + c
2
+ = + + b + = 3b2 + b + c 2 = EF 2
4 4 4 4
∴ EPF = 90°
∴ PE ^ PF ．
【点睛】本题考查了含 30°的直角三角形，中位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判
定与性质等知识．解题的关键在于表示出PE与PF 的长度．
4．如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上一点（ AE > CE ），连接 BE，DE．
(1)求证：BE = DE ；
(2)过点 E 作EF ^ AC 交 BC 于点 F，延长 BC 至点 G，使得CG = BF ，连接 DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示 BE 与 DG 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② DG = 2BE
【分析】（1）根据正方形的性质可得 AB = AD， BAE = DAE,依据 SAS 证明DABE @ DADE 即可得出结论；
（2）①根据题中作图步骤补全图形即可；②连接 EG，证明DBEF @ DDEG ,得 GE=BE, BEF = GEC ，
由（1）得DE = EG, DEG = 90°, 再运用勾股定理可得出结论．
【详解】（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD = AB, BAD = BCD = 90° ，
∵AC 是正方形的对角线，
1
∴∠ BAC = DAC = BCA = 90° = 45° ,
2
在△ ABE 和△ ADE 中，
ì AD = AB

í DAE = BAE

AE = AE,
∴△ ABE @VADE,
∴ BE = DE；
（2）①补全图形如下：
②连接 GE，如图，
∵ EF ^ AC, ECF = 45° ,
∴∠ EFC = 45° ,
∴∠ ECF = EFC,
∴ EF = EC ， EFB = ECG =135° ，
又BF = CG,
∴△ BEF @ DGEC,
∴ BE = GE, BEF = GEC,
∴ GE = DE ，
由（1）知：△ ABE @ DADE.，
∴∠ AEB = AED,
∴∠ BEC = DEC,即∠ BEF + FEC = GEC + DEG ，
∴∠ DEG = FEC = 90°
由勾股定理得，DG2 = DE2 + GE2，
∴ DG2 = 2GE2 = 2BE2 ，
∴ DG = 2BE.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明DABE @ DADE 是
解答本题的关键．
5．已知点 P 为线段 AB 上一点，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°，得到线段 AC；再将线段 BP 绕点 B 逆
时针旋转 120°，得到线段 BD；连接 AD，取 AD 中点 M，连接 BM，CM．
(1)如图 1，当点 P 在线段 CM 上时，求证：PM//BD；
(2)如图 2，当点 P 不在线段 CM 上，写出线段 BM 与 CM 的数量关系与位置关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) CM ^ BM ，CM = 3MB ，理由见解析
【分析】（1）由旋转可得，DAPC 是等边三角形， PBD = 120° ，则 BPM + PBD = 180°，所以PM / /BD．
（2）延长 BM 至点G ，使得MG = MB ，连接 AG ，BC ，GC ，PC ，可证DCBG 是等边三角形且点M 是BG
的中点，则有CM ^ BM ，CM = 3MB ．
【详解】（1）解：由题意可得， CAP = 60°，且 AP = AC ，
\DAPC 是等边三角形，
\ APC = 60°，
\ BPM = 60°，
又Q PBD =120°，
\ BPM + PBD =180°，
\PM / /BD ．
（2）解：猜想，CM ^ MB，CM = 3MB ，理由如下：
如图 2，延长 BM 至点G ，使得MG = MB ，连接 AG ，BC ，GC ，PC ，GD ，
Q AM = MD，GM = BM ，
\四边形 AGDB 是平行四边形，
\ AG = BD， AG / /BD，
\ BAG = 180° - ABD = 60° ，
\ CAG = 120°，
QDAPC 是等边三角形，
\ AC = CP， CPB =120°，
QPB = DB = AG ，
\DCAG @ DCPB(SAS) ，
\CG = CB ， ACG = PCB，
\ GCB = 60°，
\DCBG 是等边三角形，
QGM = BM ，
\CM ^ BM ，CM = 3MB ．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形，等边三角形的性质与判定，平行四边形，解题的关键是
构造合适辅助线．
6．如图，在VABC 中， ABC = 90°，BA = BC ，点 D 为线段 AC 上一点，将线段 BD 绕点 B 逆时针旋转
90°，得到线段 BE，连接 AE．
(1)①依题意补全图形；
②求 EAC 的度数；
(2)取 AD 中点 F，连接 BF，CE，猜想 CE 与 BF 之间的位置关系与数量关系，并证明．
【答案】(1)①作图见解析；② EAC = 90°
(2) CE ^ BF ；CE = 2BF ；证明见解析
【分析】（1）①根据题意作图即可；②连接 AE，由旋转可证VABE≌VCBD ，根据全等的性质得到
1 = C = 45°，便可得出 EAC = 1+ BAC = 90° ．
（2）如图，延长DB至点G ，使DB = BG ,得到 BF 为 △AGD的中位线，则 AG ， AG = 2BF .再由旋转证得
△CBE≌△ABG .根据全等的性质得到 AG=CF,从而得到 CF=2BF．再根据全等的性质得到 GAB = ECB ,
根据中位线的性质得到 GAC = BFC , GAC = GAB + BAC = ECB + BAC ,则
BFC + FCE = ECB + BAC + FCE = BAC + ACB = 90°，从而得到CE ^ BF ．
【详解】（1）①如图所示，将 BD 绕 B 逆时针旋转 90°，即∠EBD=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴ EBD - ABD = ABC - ABD，
即作∠EBA=∠CBD 即可．
② EAC = 90°．
证明：由旋转得 BD=BE， EBD = 90° , BAC = C = 45° ,
∵由题得：AB=BC, ABC = 90° ,
∴ EBD = ABC
∴ EBD - ABD = ABC - ABD
∴ EBA = DBC
在△ABE 和△CBD 中，
ì BE = BD

í EBA = DBC

AB = BC
∴VABE≌VCBD （SAS）．
∴ 1 = C = 45°，
∴ EAC = 90°．
（2）解：CE = 2BF ，CE ^ BF ．
证明：如图，延长DB至点G ，使DB = BG，
∴B 为 GD 中点
∴BF 为△AGD 的中位线，
∴AG=2BF,AG∥BF．
由（1）得 BE=BD， EBD = 90° ,则 BG=BE， GBE = 90° ,
∴ ABC + EBA = GBE + EBA
∴ GBA = EBC
在△ABG 和△CBE 中，
ì BG = BE

í GBA = EBC

AB = BC
∴△ABG≌△CBE (SAS)．
∴AG=CE
∴CE=2BF．
∵AG∥BF
∴ GAC = BFC ,
∵△ABG≌△CBE
∴ GAB = ECB
又∵ GAC = GAB + BAC = ECB + BAC ,
∴ BFC + FCE = ECB + BAC + FCE = BAC + ACB = 90°，
∴ CE ^ BF ．
∴CE=2BF，CE ^ BF ．
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线 CM，∠ACM＝80°．D 在射线 CM 上，连接 AD，E
是 AD 的中点，C 关于点 E 的对称点为 F，连接 DF．
(1)依题意补全图形；
(2)判断 AB 与 DF 的数量关系并证明；
(3)平面内一点 G，使得 DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG 的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)AB=DF，理由见解析；
(3)∠CDG=40°或 120°．
【详解】（1）解：如图 1 所示：
（2）解：解：AB=DF，理由如下：
QE 是 A D 的中点，
\.AE=DE，
Q C 关于点 E 的对称点为 F，
\ CE=EF，
又Q∠AEC=∠FED，
\△AEC≌△DEF ( SAS)，
\AC=DF，
QAB=AC，
\AB=DF
（3）如图 2，连接
QAE=DE， CE=EF，
\四边形 ACDF 是平行四边形，
\ AF ，AF=CD， DF=AC=AB，
\∠ACM+∠CAF=180°，
\∠CAF=180°-80°=100°=∠CDF，
\∠BAF=.140°， .
QDG1=DC，
\点 G1在以点 D 为圆心，DC 为半径的圆上，
QFG1=FB，
\点 G1在以点 F 为圆心， FB 为半径的圆上，
QAB=DF， AF=DG1， FB=FG1，
\△ABF≌△DFG1，
\∠BAF=∠FDG1= 140°，
\∠CDG1=40°，
同理可证△ABF≌ODFG2，
\∠BAF=∠G2DF= 140°，
\∠CDG2=360°-100°- 140°=120°，
综上所述：∠CDG=40°或 120°．
8．已知：在正方形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在直线 CD 的右侧，且满足∠PCE＝90°，
CP＝CE，连接 DE．
(1)依据题意，补全图形；
(2)计算∠CDE 的度数；
(3)连接 EP 并延长，分别与 AB 边和 CD 边相交于点 M 和点 N，试判断线段 PM 与 NE 之间的数量关系，并
说明理由．
【答案】(1)图见解析；
(2)45°；
(3)PM=NE，理由见解析
【详解】（1）解：补全图形如图（1）所示：
（2）解：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠BDC=∠ADB=45°，∠BCD=∠ADC=∠A=90°，AD=CD，
如图（2），过点 P 作 PF⊥CD 于 F，过 E 作 EG⊥CD 于 G，
则∠PFD=∠PFC=∠CGE=∠DGE=90°，PF∥GE，
∴∠ECG+∠GEC=90°，又∠FCP+∠ECG=90°，
∴∠FCP=∠GEC，又∠PFC=∠CGE，CP=CE，
∴△CPF≌△ECG（AAS），
∴GE=CF，CG=PF，
∵∠BDC=45°，∠PFD=90°，
∴∠DPF=∠BDC=45°，
∴PF=DF，即 CG=DF，
∴CF=FG+CG=FG+DF=DG，
∴DG=GE，又∠DGE=90°，
∴∠CDE=45°；
（3）解：PM=NE，理由如下：
如图（2），过 P 作 PH⊥AD 于 H，过 M 作 MI⊥PH 于 I，
则∠PHA=∠PHD=∠MIH=∠MIP=90°，
又∠ADC=∠A=∠PFD=90°，
∴ 四边形 HPFD 为正方形，四边形 AMIH 为矩形，
∴MI=AH，DF=HD，MI∥AD∥PF，
∴MI=AH=AD-HD=CD-DN=CF，MI∥GE，
∴MI=GE，∠IMP=∠GEN，又∠MIP=∠EGN=90°，
∴△MIP≌△EGN（ASA），
∴PM=NE.
9．如图 1，在Rt△ABC 中， ACB = 90°, ABC = 60°, D为 AB 边上一点，DE ^ AB于D，连接BE, P 为 BE
中点．
(1)连接PD、PC ，判断PD与PC 的数量关系，并直接写出 DPC 的度数；
(2)如图 2，将VADE 绕点A 顺时针旋转a 度 0° < a <180° ．
①请你依据题意补全图形；
②在旋转过程中， DPC 的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由．
【答案】(1) PD = PC ， DPC =120°
(2)①补全图形见详解，②度数不变，为120°
【详解】（1）解：如图：
∵ DE ^ AB， ACB = 90°，点 P 为 BE 中点，
1
∴ PD = PB = PC = BE，
2
∴ 1 = 2, 3 = 4，
∴ DPC = DPE + EPC = 1+ 2 + 3+ 4 = 2 1+ 3 ，
∵ ABC = 60°，
∴ 1+ 3 = 60°，
∴ DPC = DPE + EPC = 2 1+ 3 =120°；
（2）解：①补全图形如图：
②取 AE, AB中点为H ,G ，连接HD, HG, HP,GP,GC ，
∵ ACB = 90°, ABC = 60°，
∴ BAC = 30°，
由旋转得， DAE = BAC = 30°， ADE = 90°，
∴ AED = 60°，
同上可得，HD = HE ，
∴VHDE 是等边三角形，
∴ DHE = 60° ，
同理VBGC 是等边三角形，
∴ BGC = 60°，
∵ P,G 为BE, BA中点，
∴ PG 为VABE 的中位线，
PG 1∴ = AE, PG∥AE ，
2
∴ 2 = 3，
同理可得：PH 为VABE 的中位线，
PH 1∴ = AB, PH∥AB ，
2
∴ 1 = 2，
∴ 1 = 3，
∴ DHP = PGC ，
同上可得，GC
1
= AB，
2
∴ GC = PH ，
同上可得，DH
1
= AE PG 1， = AE ，PG∥AE，
2 2
∴ DH = PG ，
∴△PGC≌△DHP ，
∴ PC = PD ， PCG = DPH ，
∵ BGC = 60°，
∴ PCG + GPC + 3 =120°
∵ PG∥AE，
∴ 3= 4，
∴ DPH + GPC + 4 =120°
∴ DPC =120°．
10．如图，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 2a ，N 是BC 中点，P 为 NC 上一点，连接 AP ，D 为△BAP
内一点，且 DAP = a ，点 D 关于直线 AP 的对称点为点 E，DE 与 AP 交于点 M，连接BD，CE ．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：BD = EC ；
(3)连接 MN，若 DBC + ECB = 90° ，用等式表示线段BD与MN 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) BD = 2MN ，见解析
【详解】（1）解：依题意补全图形如下：
（2）证明：连接 AE ．
∵点 D 关于直线 AP 的对称点为 E， DAP = a ，
\ EAP = DAP = a ， AD = AE ．
\ DAC + EAC = 2a ．
Q BAC = 2a ，
\ DAC + DAB = 2a ．
\ DAB = EAC ．
Q AB = AC ，
\VADB≌VAEC ．
\BD = EC ．
（3）用等式表示线段BD与MN 的数量关系是： BD = 2MN ．
证明：连接DN 并延长到 F，使得 NF = ND ，连接FC，EF ．
∴点 N 是DF 中点．
∵点 D 关于直线 AP 的对称点为 E，DE 与 AP 交于点 M，
∴点 M 是DE 中点．
∴ MN 为VDEF 的中位线．
\MN 1= EF ．
2
∵点 N 是BC 中点，
\ NB = NC ．
Q BND = CNF ， NF = ND ，
\△BND≌△CNF ．
\CF = BD ， DBC = FCN ．
又QBD = CE ，
\CF = CE ．
Q DBC + BCE = 90°，
\ FCN + BCE = 90°．
\ ECF = 90°．
\ CEF = CFE = 45°．
\ EF = 2CE ．
QBD = CE MN 1， = EF ，
2
2
\MN = BD．
2
\BD = 2MN ．
【题型 2 探究三条线段数量关系】
11．在正方形 ABCD中，E 为BC 上一点，点 M 在 AB 上，点 N 在DC 上，且MN ^ DE ，垂足为点 F．
(1)如图 1，当点 N 与点 C 重合时，求证：MN = DE ；
(2)将图 1 中的MN 向上平移，使得 F 为DE 的中点，此时MN 与 AC 相交于点 H．
①依题意补全图 2；
②用等式表示线段MH，HF，FN 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② MH + FN = HF ，见解析
【分析】（1）根据正方形的性质证明△BCM ≌△CDE(ASA) 即可；
（2）按题意补充图形即可；在FH 上截取FG = FN ，连接EG 交 AC 于点 K，作CT ∥MN 交 AB 于点 T，
根据题意证明Rt△BCT ≌Rt△CDE(HL) ，△EFG≌△DFN (SAS)，△AMH ≌△KGH (AAS)即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是长方形，
∴ BC = CD ， B = BCD ，
∵ MN ^ DE ，
∴ BCM + DCF = DCF + CDE = 90°，
∴ BCM = CDE ，
∴△BCM ≌△CDE(ASA) ；
∴ MN = DE ；
（2）①过DE 的中点 F 作MN ^ DE ，分别与 AB、AC、CD 交于点 M、H、N，如图即为补全的图形；
图 2
② MH + FN = HF ，理由如下：
如图，在FH 上截取FG = FN ，连接EG 交 AC 于点 K，作CT ∥MN 交 AB 于点 T，
∵ AB P DC ，
∴四边形MTCN 是平行四边形，
∴ MT = NC ，
∵ MN ^ DE ，
∴ CT ^ DE ，
由（1）知：CT = DE ， B = DCE = 90°，
在Rt△BCT 和RtVDCE中，
ìCT = DE
í
BC = CD
，
∴ Rt△BCT ≌Rt△CDE(HL) ，
∴ BT = CE，
在VEFG和△DFN 中，
ìFG = FN

í EFG = DFN ，

EF = DF
∴△EFG≌△DFN (SAS)，
∴ EG = DN ， EGF = DNF ，
∴ EG∥CD∥ AB ，
∴ GE ^ BC ，
∵ ACB = 45°，
∴△CEK 是等腰直角三角形，
∴ EK = CE = BT ，
∵ AB = CD，MT = NC ，
∴ AM + BT = DN = EG = EK + KG，
∴ AM = KG ，
∵ AB∥EG ，
∴ MAH = GKH ，
在VAMH 和△KGH 中，
ì MAH = GKH

í AHM = KHG ，

AM = KG
∴△AMH ≌△KGH (AAS)，
∴ MH = GH ，
∵ GH + FG = HF ，
∴ MH + FN = HF ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正
方形的性质确定全等三角形是解本题的关键．
12．如图，在VABC 中， BAC = 90°， AB = AC ，点 D 为BC 边中点，DE ^ AB于 E，作 EDC 的平分线
交 AC 于点 F，过点 E 作DF 的垂线交DF 于点 G，交BC 于点 H．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：DH = BE ；
(3)判断线段FD 、HC 与 BE 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) BE2 + HC 2 = DF 2 ，见解析
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）通过 ASA证明VEDG≌VHDG，得到DE = DH ，根据题意易得 B = 45°，由DE ^ AB，可得VBDE 为
等腰直角三角形，于是BE = DE = DH ；
（3）过点F 作FN ^ CD 于点 N ，得DE 为VABC 的中位线，则BD = CD，根据三角形内角和定理求得
CDF = CFD = 67.5°，于是CD = CF = BD，进而CN = FN = BE = DE = DH ，以此得出
CD - DH = CD - CN ，即CH = DN ，在RtVDFN 中，利用勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：补全图形如图所示．
（2）证明：QDF 平分 EDC ，
\ EDG = HDG ，
QEH ^ DF ，
\ EGD = HGD = 90°，
在△EDG和△HDG 中，
EGD = HGD ，DG = DG ， EDG = HDG，
\VEDG≌VHDG(ASA)，
\DE=DH，
在VABC 中， BAC = 90°， AB = AC ，
\VABC 为等腰直角三角形，
\ B = 45°，
又∵ DE ⊥ AB ，即 DEB = 90°，
\VBDE 为等腰直角三角形，
\BE = DE = DH ．
（3）解：HC 2 + BE2 = FD2 ，证明如下：
如图，过点F 作FN ^ CD 于点 N ，
则VCFN 为等腰直角三角形，
Q DEB = CAB = 90°，
\DE∥AC ，
又QE 为 AB 的中点，
\DE 为VABC 的中位线，
\BD = CD ，
Q BDE = 45°，
\ CDE = 135°，
QDF 平分 EDC ，
\ EDF = CDF = 67.5°，
Q C = 45°，
\ CFD =180° - CDF - C = 67.5°，即 CDF = CFD，
\CD = CF = BD ，
\CN = FN = BE = DE = DH ，
\CD - DH = CD - CN ，即CH = DN ，
在RtVDFN 中，由勾股定理得DN 2 + FN 2 = DF 2 ，
\HC 2 + BE2 = FD2．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分
线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾
股定理解决问题．
13．如图，在正方形 ABCD中，点 E 是BC 边上的点，延长CD到点 F，使DF = BE ，连接 AF、EF ，作 EFC
的平分线FM 交 AC 于点 M．
(1)补全图形， EAF = _______ °；
(2)求证： AM = AF ；
(3)过点 M 作MN ^ EF 于点 N，写出线段 AB, MN 与EF 之间的数量关系．
【答案】(1)图见解析，90；
(2)见解析
(3) EF = 2AB - 2MN
【分析】（1）根据题意补全图形，证明VABE≌VADF SAS ，得出 BAE = DAF ，进而得出
EAF = BAD = 90°；
（2）根据等腰三角形的性质可得 AFE = AEF = 45° = ACD ，根据FM 平分 CFE ，进而得出
AFM = AMF ，即可得证；
（3）过点M 作MH ^ CF 于点 H ，可得CM = 2MH = 2MN ，根据 AC = AM + MC ，
AF = AM , AC = 2AB，就可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形如图所示，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AB = AD ， ABC = ADF = 90°， ACD = 45°
又BE = DF
∴VABE≌VADF SAS
∴ AE = AF ， BAE = DAF ，
∴ EAF = BAD = 90°
故答案为：90°．
（2）证明：Q AE = AF ， EAF = 90°，
\ AFE = AEF = 45° = ACD ，
Q FM 平分 CFE ，
\ CFM = EFM ，
Q AFM = AFE + EFM ，
AMF = ACD + CFM ，
\ AFM = AMF ，
\ AM = AF ；
（3）如图所示，过点M 作MH ^ CF 于点 H
∵ FM 平分 CFE ，MH ^ CF ，MN ^ EF ，
∴ MN = MH
∵ ACD = 45°, MH ^ CD
∴ ACD = CMH = 45°
∴ MH = HC
∴ CM = 2MH = 2MN
∵ AC = AM + MC ，
由∵ AF = AM , AC = 2AB，
∴ 2AB 2= EF + 2MN ，
2
即EF = 2AB - 2MN ．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，
等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．在正方形 ABCD中，E 是边 AD 上的一动点（不与点 A，D 重合），连接 BE ，点 C 关于直线 BE 的对称
点为 F，连接FA，FB．
(1)如图 1，若△ABF 是等边三角形，则 ABE = __________ °；
(2)如图 2，延长 BE 交FA的延长线于点 M，连接CF 交 BE 于点 H，连接DM ．
①求 MFH 的大小；
②用等式表示线段MB，MD ， AB 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)15
(2)① 45°；② MB2 + MD2 = 2AB2 ，见解析
【分析】（1）利用正方形性质得到 ABC = 90°，利用等边三角形性质得到 ABF = 60°，进而得到 FBC ，
利用对称的性质得到 FBE = CBE
1
= FBC ，再利用 ABE = ABC - CBE 计算求解，即可解题；
2
（2）①利用正方形性质得到 ABC = 90°， AB = BC ，利用对称的性质得到BF = BC ， MHF = 90°，进
而得到 AB = BF ，设 ABF = x，分别利用等腰三角形性质得到 BFH ， BFA，再根据
MFH = BFA - BFH 计算求解，即可解题；
②过点A 作 AN ^ AM 交 BM 于点 N ，连接 BD，理由直角三角形性质和正方形性质证明VAMD≌VANB SAS ，
进而得到 DMB = AMD - AMN = 90°，再理由勾股定理求解，即可解题，
【详解】（1）解：Q四边形 ABCD是正方形，
\ ABC = 90°，
Q △ABF 是等边三角形，
\ ABF = 60°，
\ FBC = ABF + ABC =150°，
Q点 C 关于直线 BE 的对称点为 F，
FBE CBE 1\ = = FBC = 75°，
2
\ ABE = ABC - CBE =15°，
故答案为：15．
（2）解：①Q四边形 ABCD是正方形，
\ ABC = 90°， AB = BC ，
Q点 C 关于直线 BE 的对称点为 F，
\BF = BC ， MHF = 90°，
\ AB = BF ，
设 ABF = x，
\ BFH 180° - 90° - x x= = 45° - ，
2 2
BFA 180° - x x = = 90° - ，
2 2
\ MFH = BFA - BFH = 45°；
②解：数量关系为：MB2 + MD2 = 2AB2 ，
理由如下：
过点A 作 AN ^ AM 交 BM 于点 N ，连接BD，
Q MFH = 45°，
\ HMF = 45°，
\ ANM = AMN = 45°， ANB =135°，
\ AM = AN ，
Q四边形 ABCD是正方形，
\ BAD = 90° = MAN ， AB = AD ，
\ BD = 2AB ， MAN - DAN = BAD - DAN
\ MAD = NAB ，
\VAMD≌VANB SAS ，
\ AMD = ANB =135°，
\ DMB = AMD - AMN = 90°，
\MB2 + MD2 = BD2 ，
即MB2 + MD2 = 2AB2 ．
【点睛】本题主要考查了正方形性质，等边三角形性质，对称的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性
质和判定，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键．
15．如图， AB = AC ， BAC = 90°，过点 C 作直线 l ^ AC ，点 D，E 是直线 l上的动点（D 在 E 的右侧）
且满足DE = AB ，连接BD， ABD 的平分线与射线 AE 交于点 F，与射线 AC 交于点 G．
(1)如图 1，当点 C 在线段DE 上，且 CAE = 30°时，若 AB = 6，求线段EF 的长；
(2)如图 2，当点 D 在点 C 左侧时，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 AG ，CD，EF 的数量关系，并证明．
【答案】(1) 4 3 - 6
(2)①补全图形见解析；② EF = DC + AG,证明见解析．
【分析】（1）先求证明四边形 AEDB 是平行四边形，可得 ABD = AEC = 60°, 证明 AFB = ABF = 30°，
可得 AB = AF = 6, 再求出 AE = 4 3 ，从而可得答案；
（2）①根据题干要求画好图形即可，②过 A 作 AH ^ BF 于H , 交BD于M , 交 l于 N , 证明四边形 ABMF
是菱形，四边形 EFMD是平行四边形，可得EF = DM , 再证明DM = DN , 再证明VACN≌VBAG, 可得
CN = AG, 利用DN = DC + CN , 从而可得结论．
【详解】（1）解：∵ l ^ AC ， BAC = 90°，
∴ DE∥AB，
∵ DE = AB ，
∴四边形 ABDE 是平行四边形，
∵ CAE = 30°， ACE = 90°，
∴ AEC = 60°，
∴ ABD = AEC = 60°，
∴ FBA = FBD = 30°，
∵ AFB = FBD ，
∴ AFB = ABF ，
∴ AF = AB = 6，
∵ AC = AB = 6 ， CAE = 30°，
∴ cos AC 3 CAE = = ，
AE 2
∴ AE = 4 3 ,
∴ EF = AE - AF = 4 3 - 6 ；
（2）解：①图形如下图所示，
② EF = DC + AG,理由如下：
如下图所示，过 A 作 AH ^ BF 于H , 交BD于M , 交 l于 N ,
\ BHM = BHA = 90°,
QBF 平分 ABD,
\ ABH = MBH ,
\ BAH = BMH ,
\BA = BM ,
由（1）得：YABDE,
\ AF //BM ,
\ AFB = MBF = ABF ,
\ AF = AB,
\ AF = BM ,
\ 四边形 ABMF 是菱形，
\FM ∥ AB, FM = AB,
\FM ∥DE, FM = DE,
\ 四边形 EFMD是平行四边形，
\EF = DM ,
QDE∥ AB,
\ DNM = BAM ,
Q BMA = DMN , BMA = BAM ,
\ DNM = DMN ,
\DM = DN ,
Q ACN = CAB = 90°，
\ CAN + CNA = 90° = CAN + HAB,
\ CAN = GBA,
Q AC = AB,
\VACN≌VBAG,
\CN = AG,
\DN = DC + CN = DC + AG,
\EF = DC + AG.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，
菱形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
16．如图，在正方形 ABCD中，E 是边 AD 上的一点（不与 A，D 重合），连接CE，点 B 关于直线CE的对
称点是点 F，连接CF ，DF ，直线CE与直线DF 交于点 P ，连接 BF 与直线CE交于点 Q．
(1)依题意补全图形；
(2)求 CPF 的度数；
(3)用等式表示线段PC ，PD，PF 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) CPF = 45°
(3) PF + PD = 2PC ，证明见解析
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据正方形的性质得 BC = CD ， BCD = 90°，根据轴对称得 CBF = CFB ，CP ^ BF ， BC = CF ，
根据三角形的外角性质及角的和差可得 QFD = CPD根据同角的余角相等等量代换得出 QFD = CPD，
得△PQF 为等腰直角三角形，得 CPF = 45°，
（3）过点 C 作CH ^ PC 交PF 延长线于点 H，证 H = CPF = 45°，△CPD≌△CHF ，根据全等三角形
的性质可得，PD = HF ，在Rt△ PCH 中，PH = 2PC ，得结论PF + PD = 2PC ．
【详解】（1）依题意补全图形，如图．
（2）解：Q四边形 ABCD是正方形，
\BC = CD， BCD = 90°．
Q点 B，F 是关于直线CP对称，
\ CBF = CFB ，CP ^ BF ，BC = CF ．
\ BCQ + QBC = BCQ + PCD = 90°．
\ QBC = PCD．
QBC = CF = CD ，
\ CFD = CDF ．
Q CFD = CFQ + QFD = CDF = PCD + CPD，
\ QFD = CPD ．
\ CPD = 45°，即 CPF = 45°．
（3）PF + PD = 2PC ．
证明：过点 C 作CH ^ PC 交PF 延长线于点 H．
\ PCH = 90°．
Q CPF = 45°，
\ H = CPF = 45°．
\PC = CH ．
QCD = CF ，
\ CDF = CFD ．
\ CDP = CFH ．
\△CPD≌△CHF (AAS)．
\PD = HF ．
在Rt△ PCH 中，PH = 2PC ．
\PF + PD = 2PC ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质
与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
17．如图，在正方形 ABCD中，将边 AD 所在直线绕点D逆时针旋转a 度得到直线DM ，作点A 关于直线DM
的对称点 P ，连接CP、DP．
(1)依题意补全图形；
(2)求 DPC 的度数；
(3)延长DP、CP 分别交直线 AB、AD 于点E、F ，试探究：线段DE、BE 和 AF 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) DPC = 45° +a
(3)点E 在线段 AB 上时，DE = BE + AF ；点E 在线段 AB 延长线上时， AF = DE + BE ；点E 在线段BA延长
线上时，BE = DE + AF ，见解析
【分析】本题考查四边形综合题，熟知轴对称作图及性质，根据题意分类讨论是解题的关键．
（1）作点A 关于直线DM 的对称点 P ，连接CP、DP即可；
（2）连接 AP ，根据轴对称性质可得 AD = PD ， ADM = PDM = a ，可求出 CDP = 90° - 2a ，根据等
1
腰三角形的性质，利用三角形内角和可求出 DPC = 180° - 90° + 2a = 45° +a ；
2
（3）分三种情况，当DP交线段 AB 、线段 AB 延长线上、线段BA延长线上于点E 时，分别可证
△CDF≌△DAK ，进而可得DE = EK ，即可求证．
【详解】（1）解：如图，作点A 关于直线DM 的对称点 P ，连接CP、DP；
（2）连接 AP ，
Q点 A, P关于直线DM 对称，
\DM 垂直平分 AP ，
\ AD = PD ，
\ PDM = ADM = a ，
\ PDC = 90° - 2a ，
Q四边形 ABCD为正方形，
\ AD = DC ，
\ DP = DC ，
DPC 1\ = 180° - PDC
2
\ DPC = 45° +a ；
（3）①当DP交线段 AB 于点E 时，
延长 AB 至K ，使BK = AF ，连接DK ，
Q AD = AB, BK = AF ，
\DF = AK ，
又QCD = AD, CDA = DAK = 90°，
在VCDF 和VDAK 中
ìDC = AD

í CDF = DAK

DF = AK
\△CDF≌△DAK ，
\ F = K ，
\由（2）可知， DCP = DPC = 45° +a ，
\ K = F = 90° - DCP = 45° -a ，
QDC∥AB ，
\ CDK = K = 45° -a ，
\ EDK = 90° - ADE - CDK = 45° -a ，
\ EDK = K ，
\DE = EK ，
\DE = BE + BK = BE + AF ，
即DE = BE + AF ；
②当DP交线段 AB 延长线于点E 时，在 AB 延长线上截取BK = AF ，连接DK ，
由①同理可证△CDF≌△DAK ，
\ K = F = 45° -a ，
\ EDK = 90° - ADE - CDK = 45° -a ，
\ K = KDE，
\ ED = EK ，
\ED = BK - BE = AF - BE，
即 AF = DE + BE ；
③当DP交线段BA延长线于点E 时，在BA上截取BK = AF ，连接DK ，
由题意可知，DP = DC ，
\ DCP 1= 180° - PDC ，
2
Q PDC = ADM + MDP + ADC = 2 360° -a + 90° = 810° - 2a ，
1
\ DCP = 180° -810° + 2a = a - 315°，
2
又Q AD = AB，
\DF = AK ，
在VCDF 和VDAK 中
ìDC = AD

í CDF = DAK

DF = AK
\△CDF≌△DAK ，
\ ADK = DCP = a - 315°，
\ AKD = DFC = 90° - a - 315° = 405° -a ，
又Q EDK = EDA + ADK = 2 360° -a +a - 315° = 405° -a ，
\ EDK = AKD ，
\ ED = EK ，
\DE = BE - BK = BE - AF ，
即BE = DE + AF ．
18．【探索发现】如图①，四边形 ABCD是正方形，M，N 分别在边CD、BC 上，且 MAN＝45°，我们把
这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将VADM 绕点A
顺时针旋转90°，点D与点 B 重合，得到VABE ，连接 AM、AN、MN．
(1)试判断DM，BN，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．
(2)如图②，点M、N 分别在正方形 ABCD的边BC、CD 的延长线上， MAN = 45°，连接MN ，请写出
MN、DM、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】(1) MN = DM + BN ．证明见解析
(2) MN = BN - DM ．证明见解析
【分析】（1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论；
（2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论．
【详解】（1）解：MN = DM + BN ．证明如下：
由旋转，可知： AE = AM，BE = DM， EAM = 90°． ABE = D = 90°
∴点E、B、C共线
∵ MAN = 45°
∴ EAN = EAM - MAN = 45° = MAN
在VEAN 和VMAN 中
ì AE = AM

í EAN = MAN

AN = AN
∴VEAN≌VMAN（SAS）
∴ EN = MN
∵ EN = BE + BN
∴ MN = DM + BN
（2）解：MN = BN - DM ．证明如下：
在BC 上取BE = MD ．连接AE ，
∵ AB = AD， B = ADM ，BE = MD
∴VABE≌VADM（SAS）
∴ AE = AM， BAE = MAD
∵ MAN = 45°
∴ EAN = EAM - MAN = 45° = MAN
在VEAN 和VMAN 中，
ì AE = AM

í EAN = MAN

AN = AN
∴VEAN≌VMAN（SAS）
∴ EN = MN
∵ EN = BN - BE
∴ MN = BN - DM
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题
的关键．
19．如图，已知正方形 ABCD，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点 B 作BF ^ DE于点F ，连接
CF ．
(1)求证： FDC = CBF ；
(2)作点C 关于直线DE 的对称点M ，连接CM , FM ．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段BF , DF ,CM 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② CM + DF = BF ，证明见解析
【分析】（1）设 BF 与 CD 交于点 G，根据三角形内角和定理，有 GDF=180° - DFG - DGF ，
GBC=180° - GCB - BGC ，再证明 DFG= GCB = 90°，通过等量代换，即可证得 FDC = CBF ．
（2）①按照题设要求作图即可；②过 C 作 CN⊥CF 交 BF 于点 N，证明△BNC ≌△DFC ，得出△FCN 是
等腰直角三角形，运用同角的余角相等，证得△FCM 是等腰直角三角形，CM = FN ，最后通过等量代换，
证得CM + DF = BF ．
【详解】（1）证明：如图，设 BF 与 CD 交于点 G，
在VDFG 中，
∵ BF ^ DE，
∴ DFG=90°，
∴ GDF=180° - DFG - DGF = 90° - DGF ．
∵正方形 ABCD，
∴ GCB=90°，
在VBCG 中，
GBC=180° - GCB - BGC = 90° - BGC ，
∵ GDF = 90° - DGF ， GBC=90° - BGC ，
DGF = BGC ，
∴ GDF = GBC ，即 FDC = CBF ．
（2）①解：作图如图所示，
②解：CM + DF = BF ，证明如下，
如图，过 C 作 CN⊥CF 交 BF 于点 N，
∵CN⊥CF，
∴ FCN = 90°，即 FCD + DCN = 90°．
∵正方形 ABCD，
∴ BCD = 90°，即 BCN + NCD = 90°，
∴ BCN = DCF ，BC = CD ，
又（1）中已证， FDC = CBF ，
∴△BNC ≌△DFC ASA ，
∴ CN = CF ，
∵ FCN = 90°，
∴△FCN 是等腰直角三角形，
∴ FNC = 45°，即 FNC = NBC + NCB = 45°，
∵ BCN = DCF ， NBC = FDC ，
∴ FDC + DCF = 45°．
∵点C 关于直线DE 的对称点是点M ，
∴ CM ^ DE ，
∴ DCM + CDE = 90°，
∵ DCM + MCE = 90°，
∴ CDE = MCE ，
∵ FDC + DCF = 45°，
∴ MCE + DCF = 45°，
∴ FCM = DCE - MCE + DCF = 45°，
∵点C 关于直线DE 的对称点是点M ，
∴ FC = FM ，
∵ FCM = 45°，
∴△FCM 是等腰直角三角形，
∴ CM = 2FC ．
∵△FCN 是等腰直角三角形，
∴ FN = 2FC ．
∴ CM = FN ．
∵△BNC ≌△DFC ，
∴ BN = DF ，
∴ BF = BN + NF = DF + CM ，故BF = DF + CM ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质运用，以及等腰直角三角形的性质，综合运
用以上几何知识是解题的关键．
20．探究题:
(1)如图 1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE，则 AEB的度数为
______；线段 AD，BE 之间的数量关系为______；
(2)如图 2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ACB = DCE = 90°，点 A，D，E 在同一直线上，CM 为△DCE
中 DE 边上的高，连接 BE，请猜测 AEB的度数及线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图 3，在正方形 ABCD 中，CD = 2 ，若点 P 满足PD =1，且 BPD = 90°，请直接写出点 A 到 BP 的距
离．
【答案】(1) 60°， AD = BE
(2)∠AEB＝90°， AE = 2CM + BE ，理由见详解
(3) 3 -1 3 +1或
2 2
【分析】（1）由条件易证DACD @ DBCE ，从而得到： AD = BE ， ADC = BEC ．由点A ，D，E 在同
一直线上可求出 ADC ，从而可以求出 AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出 AEB的度数，证出 AD = BE ；由DDCE 为等腰直角三角形及CM 为DDCE
中DE 边上的高可得CM = DM = ME ，从而证到 AE = 2CM + BE ．
（3）由PD =1可得：点 P 在以点D为圆心，1 为半径的圆上；由 BPD = 90°可得：点 P 在以BD为直径的圆
上．显然，点 P 是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添
加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．
【详解】（1）解：解：如图 1，
QDACB 和DDCE 均为等边三角形，
\CA = CB，CD = CE ， ACB = DCE = 60°．
\ ACD = BCE ．
在DACD和DBCE 中，
ìAC = BC

í ACD = BCE

CD = CE
\DACD @ DBCE(SAS)．
\ ADC = BEC ．
QDDCE 为等边三角形，
\ CDE = CED = 60°．
Q点A ，D，E 在同一直线上，
\ ADC =120°．
\ BEC =120°．
\ AEB = BEC - CED = 60°．
QDACD @ DBCE，
\ AD = BE ．
故答案为：60°， AD = BE ．
（2）解： AEB = 90°， AE = BE + 2CM ．
理由：如图 2，
QDACB 和DDCE 均为等腰直角三角形，
\CA = CB，CD = CE ， ACB = DCE = 90°．
\ ACD = BCE ．
在DACD和DBCE 中，
ìCA = CB

í ACD = BCE

CD = CE
\DACD @ DBCE(SAS)．
\ AD = BE ， ADC = BEC ．
QDDCE 为等腰直角三角形，
\ CDE = CED = 45°．
Q点A ，D，E 在同一直线上，
\ ADC =135° ．
\ BEC = 135°．
\ AEB = BEC - CED = 90°．
QCD = CE ，CM ^ DE ，
\ DM = ME ．
Q DCE = 90°，
\DM = ME = CM ．
\ AE = AD + DE = BE + 2CM ．
3 3 -1 3 +1（ ）解：点A 到BP的距离为 或 ．
2 2
理由如下：
QPD = 1，
\点 P 在以点D为圆心，1 为半径的圆上．
Q BPD = 90°，
\点 P 在以BD为直径的圆上．
\点 P 是这两圆的交点．
①当点 P 在如图 3①所示位置时，
连接PD、 PB、PA，作 AH ^ BP ，垂足为 H ，
过点A 作 AE ^ AP，交BP于点E ，如图 3①．
Q四边形 ABCD是正方形，
\ ADB = 45°． AB = AD = DC = BC = 2 ， BAD = 90°．
\BD = 2．
QDP =1，
\BP = 3 ．
Q BPD = BAD = 90° ，
\ A、 P 、D、 B 在以BD为直径的圆上，
\ APB = ADB = 45°．
\DPAE 是等腰直角三角形．
又QDBAD是等腰直角三角形，点 B 、E 、 P 共线， AH ^ BP ，
\由（2）中的结论可得：BP = 2AH + PD．
\ 3 = 2AH +1．
\ AH 3 -1= ．
2
②当点 P 在如图 3②所示位置时，
连接PD、 PB、PA，作 AH ^ BP ，垂足为 H ，
过点A 作 AE ^ AP，交 PB的延长线于点E ，如图 3②．
同理可得：BP = 2AH - PD．
\ 3 = 2AH -1．
AH 3 +1\ = ．
2
3 -1 3 +1
综上所述：点A 到BP的距离为 或 ．
2 2
【题型 3 最值问题（最小值）】
21．如图，点 P 是正方形 ABCD内一动点，满足 APB = 90°且 BAP < 45°，过点 D 作DE ^ BP交BP的延
长线于点 E．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段EP, DE, BP之间的数量关系，并证明；
(3)连接CP，若 AB = 4，请直接写出线段CP长度的最小值．
【答案】(1)图形见详解
(2)EP=BP+DE，理由见详解
(3) 2 5 - 2
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）过 A 点作 AM⊥ED 交 ED 的延长线于 M 点，先证明四边形 APEM 是矩形，在证明△APB≌△AMD，得
到 AP=AM，BP=MD，可得矩形 APEM 是正方形，有 ME=PE，即有 MD+DE=ME=PE，则结论得证；
（3）取 AB 中点 O，连接 OC，利用勾股定理可求得 OC，根据∠APB=90°，可知点 P 在以 O 为圆心、OB 为
半径的圆上，则有当 P 点落在线段 OC 上时，CP 最短，即 CP 可求．
【详解】（1）解：补全图形如下：
（2）线段 PE=DE+BP，
理由如下：过 A 点作 AM⊥ED 交 ED 的延长线于 M 点，如图，
∵∠M=∠E=∠APE=90°=∠APB，
∴四边形 APEM 是矩形，
∴∠DAP+∠DAM=90°，
∵∠BAP+∠PAD=90°，
∴∠DAM=∠BAP，
∵在正方形 ABCD 中有 AD=AB，
∴△APB≌△AMD，
∴AP=AM，BP=MD，
∴矩形 APEM 是正方形，
∴ME=PE，
∴MD+DE=ME=PE，
∴PE=DE+BP，
结论得证；
（3）取 AB 中点 O，连接 OC，如图，
∵AB=4，
∴OB=2，BC=4，
∴在 Rt△OBC 中，有OC = OB2 + BC 2 = 22 + 42 = 2 5 ，
∵∠APB=90°，
∴点 P 在以 O 为圆心、OB 为半径的圆上，
∴显然当 P 点落在线段 OC 上时，CP 最短，
∴此时在 Rt△ABP 中，OP 是斜边的中线，
∴OP= 12 AB=2，
∴CP=OC-OP= 2 5 -2．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、
勾股定理、圆周角等知识，确定点 P 的运动运动轨迹是解答本题的关键．
22．如图所示，四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点 E 为边 BC 上动点（不含端点），点 B 关于
直线 AE 的对称点为点 F，点 G 为 DF 中点，连接 AG．
（1）依题意，补全图形；
（2）点 E 运动过程中，是否可能 EF∥AG？若可能，求 BE 长；若不可能，请说明理由；
（3）连接 CG，点 E 运动过程中，直接写出 CG 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）不可能，见解析；（3） 3 -1
【分析】（1）根据题意画出图形即可．
（2）如图 1 中，结论：不可能．连接 BD．只要证明平行时，点 E 与 B 重合，不符合题意即可．
（3）如图 2 中，取 AD 的中点 T，连接 GT，CG，CT，AC．解直角三角形求出 CT，GT，根据
CG≥CT﹣GT，求出 CG 的最小值即可．
【详解】解：（1）图形如图 1 所示：
（2）如图 1 中，结论：不可能．
理由：连接 BD．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠BDC＝30°，
∵点 B 关于直线 AE 的对称点为点 F，
∴AF＝AB＝AD，∠AFE＝∠ABE＝60°，
∵点 G 为 DF 中点，
∴FG＝DG，
∴AG⊥DF，
若 EF / / AG，则 EF⊥DF，
∴∠EFG＝90°，
∴∠AFG＝30°，
∵∠AFD＝∠ADF，
∴∠ADF＝30°，
∴∠ADB＝∠ADF，此时点 F 与 B 重合，不符合题意，
∴不可能存在 EF / / AG．
（3）如图 2 中，取 AD 的中点 T，连接 GT，CG，CT，AC．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠B＝∠ADC＝60°，DA＝DC，
∴△ACD 是等边三角形，
∵AT＝TD，
∴CT⊥AD，
∴CT＝CD sin60°＝ 3，
∵AG⊥DF，
∴∠AGD＝90°，
∵AT＝TD，
∴TG 1＝ 2 AD＝1，
∵CG≥CT﹣GT，
∴CG≥ 3﹣1，
∴CG 的最小值为 3﹣1．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形、等边三角形的性质，解直角三角形，三角形三边关系等；
解题的关键是准确作出辅助线．
23．如图，点 E 是正方形 ABCD 内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点 D 作 DF⊥BE 交 BE 的延长
线于点 F．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段 EF，DF，BE 之间的数量关系，并证明；
（3）连接 CE，若 AB＝2 5 ，请直接写出线段 CE 长度的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝DF+BE，证明见解析；（3）CE 的最小值为5 - 5 ．
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）过点 A 作 AM⊥FD 交 FD 的延长线于点 M，可证四边形 AEFM 是矩形，由“AAS”可证△AEB≌△AMD，
可得 BE＝DM，AE＝AM，可证矩形 AEFM 是正方形，可得 EF＝MF，可得结论；
（3）取 AB 中点 O，连接 OC，由勾股定理可求 OC＝5，由点 E 在以 O 为圆心，OB 为半径的圆上，可得当
点 E 在 OC 上时，CE 有最小值，即可求解．
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图，
（2）线段 EF，DF，BE 的数量关系为：EF＝DF+BE，
理由如下：如图，过点 A 作 AM⊥FD 交 FD 的延长线于点 M，
∵∠M＝∠F＝∠AEF＝90°，
∴四边形 AEFM 是矩形，
∴∠DAE+∠MAD＝90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，AB＝AD，
∴∠BAE＝∠MAD．
又∵∠AEB＝∠M＝90°，
∴△AEB≌△AMD（AAS）
∴BE＝DM，AE＝AM，
∴矩形 AEFM 是正方形，
∴EF＝MF，
∵MF＝DF+DM，
∴EF＝DF+BE；
（3）如图，取 AB 中点 O，连接 OC，
∵AB＝2 5
∴OB＝ 5 ，
∴OC＝ OB2 + BC 2 ＝5，
∵∠AEB＝90°，
∴点 E 在以 O 为圆心，OB 为半径的圆上，
∴当点 E 在 OC 上时，CE 有最小值，
∴CE 的最小值为5 - 5 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾
股定理等知识，确定点 E 的运动轨迹是本题的关键．
24．如图 1，在△ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AD，E 是边 BC 上
的一动点，连结 DE 交 AC 于点 F，连结 BF.
(1)求证：FB=FD；
(2)如图 2，连结 CD，点 H 在线段 BE 上（不含端点），且 BH=CE，连结 AH 交 BF 于点 N.
①判断 AH 与 BF 的位置关系，并证明你的结论；
②连接 CN．若 AB=2，请直接写出线段 CN 长度的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）①AH⊥BF，见解析；② 5 -1.
【分析】（1）证明△FAD≌△FAB（SAS）即可解决问题．
（2）①首先证明四边形 ABCD 是正方形，再证明∠BAH=∠CBF 即可解决问题．
②如图 3 中，取 AB 的中点 O，连接 ON，OC．理由三角形的三边关系解决问题即可．
【详解】（1）证明：如图 1 中，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AD，
∴∠BAD=90°，BA=AD，
∴∠FAD=∠FAB=45°，
∵AF=AF，
∴△FAD≌△FAB（SAS），
∴BF=DF．
（2）①解：结论：AH⊥BF．
理由：如图 2 中，连接 CD．
∵∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∵AD=AB=BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形 ABCD 是正方形，
∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE，
∴△ABH≌△DCE（SAS），
∴∠BAH=∠CDE，
∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB，
∴△CFD≌△CFB（SAS），
∴∠CDF=∠CBF，
∴∠BAH=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAH+∠ABF=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AH⊥BF．
②如图 3 中，取 AB 的中点 O，连接 ON，OC．
∵∠ANB=90°，AO=OB，
∴ON= 12 AB=1，
在 Rt△OBC 中，OC= 12 + 22 = 5 ，
∵CN≥OC-ON，
∴CN≥ 5 -1，
∴CN 的最小值为 5 -1．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三
边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题.
25．如图 1，在等腰直角△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=3，在边 AB 上取一点 D（点 D 不与点 A，B 重
合），在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE. 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转 α（0°＜α＜360°），如
图 2．
（1）请你在图 2 中，连接 CE 和 BD，判断线段 CE 和 BD 的数量关系，并说明理由；
（2）请你在图 3 中，画出当 α =45°时的图形，连接 CE 和 BE，求出此时△CBE 的面积；
（3）若 AD=1，点 M 是 CD 的中点，在△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，线段 AM 的最小值是 ．
9
【答案】（1）CE＝BD，理由见解析；（2）图形见解析， SVCBE = ；（3）1．2
【分析】（1）连接 CE 和 BD，求出∠EAC＝∠DAB，即可利用 SAS 证明△AEC≌△ADB，进而得到 CE＝BD；
（2）连接 CE 和 BE，延长 AD 交 BC 于 F，首先求出∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，然后可得 AF＝BF＝CF，∠EAB
S = 1＝135°，进而证明 AE∥BC，再根据 VCBE BC×AF 进行计算；2
1
（3）判断出在△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，点 M 在以 G 为圆心， 2 长为半径的圆上，即可得到
点 M 与点 E 重合时 AM 取最小值．
【详解】解：（1）CE＝BD；
理由：连接 CE 和 BD，如图 2 所示，
由题意可知，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∵∠EAD＝∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝∠DAB，
又∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△AEC≌△ADB(SAS)，
∴CE＝BD；
（2）当 α =45°时，连接 CE 和 BE，如图所示，延长 AD 交 BC 于 F，
∵α =45°，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，
∴AF＝BF＝CF，∠EAB＝135°，
∴∠EAB＋∠ABC＝135°+45°＝180°，
∴AE∥BC，
∵BC＝ 32 + 32 = 3 2 ，
∴AF 1＝ BC = 3 2 ，
2 2
∴ SVCBE =
1 BC×AF = 1 3 2 3 2 = 9 ；
2 2 2 2
（3）如图 4，当点 M 不在 AC 上时，取 AC 中点 G，连接 GM，
∵M 是 CD′的中点，
1
∴GM＝ AD =
1 AD = 1 ，
2 2 2
1
当点 M 在 AC 上时，由 M 是 CD′的中点可得 GM＝ 2 ，
∴在△ADE 1绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，点 M 在以 G 为圆心， 2 长为半径的圆上，
∴当点 M 与点 E 重合时 AM 取最小值，此时 AM＝AE＝1．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、三角形
面积计算以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
【题型 4 最值问题（最大值）】
26．如图 1，在等腰Rt△ABC 中， A = 90°，点 D、E 分别在边 AB 、 AC 上， AD = AE ，连接DC ，点 M、
P、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．
(1)观察猜想：
图 1 中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：
把VADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接MN ，BD，判断VPMN 的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
把VADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD = 4， AB =10，求VPMN 面积的最大值．
【答案】(1) PM = PN ； PM ^ PN
(2)VPMN 是等腰直角三角形，见解析
49
(3)
2
1 1
【分析】（1）由题可知PM 、PN 均是中位线，由PN = BD, PM = EC, PN P BD, PM P EC ，根据
2 2
A = 90°， AB = AC ， AD = AE ，得到BD = EC ，继而得到PM = PN ，结合平行线的性质，得到 NPM = 90°
即可．
（2）先证△ABD≌△ACE ，转化成（1）证明即可.
1
（3）由（2）可得PM = PN = BD ，要使VPMN 面积的最大，只需PM gPN 有最大值，则只需BD有最大
2
值，根据点 A 是定点， AD = 4是定长，判定点 D 在以 A 圆心，以 4 为半径的圆上，根据直径是最大的弦，
确定点 B，A，D 三点共线时，BD有最大值，且为 14，计算PM gPN 的最大值即可.
【详解】（1）∵点 M、P、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，
∴ PM 、PN 均是中位线，
∴ PN
1
= BD, PM 1= EC, PN P BD, PM P EC ，
2 2
∴ MPD = ECP, PNC = B，
∵ DPN = PNC + BCP ，
∴ NPM = ECP + PNC + BCP ，
∵ A = 90°， AB = AC ， AD = AE ，
∴ BD = EC ， ECP + PNC + B = 90°
∴ PM = PN ， NPM = 90° ,
故答案：PM = PN ； PM ^ PN ．
（2）VPMN 是等腰直角三角形，理由如下：
连接BD,CE，
∵ BAC = DAE = 90°， AB = AC ， AD = AE ，
∴ BAD = 90° - DAC = CAE ，
ìBA = CA

∵ í BAD = CAE ，

AD = AE
∴VABD≌VACE SAS ，
∴ BD = EC ， ABD = ACE
∵点 M、P、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，
∴ PM 、PN 均是中位线，
PN 1 BD, PM 1∴ = = EC, PN P BD, PM P EC ，
2 2
∴ MPD = ECP = ACE + ACD, PNC = DBC ，
∵ DPN = PNC + BCP ，
∴ NPM = MPD + DPN
= ECD + PNC + PCB
= ACE + ACD + PNC + PCB
= ABD + ACD + DBC + PCB
= ABC + ACB，
∵ BAC = 90°，
∴ ABC + ACB = 90°
∴ PM = PN ， NPM = 90° ,
故VPMN 是等腰直角三角形．
1
（3）由（2）可得PM = PN = BD ，要使VPMN 面积的最大，只需PM gPN 有最大值，则只需BD有最大
2
值，
∵点 A 是定点， AD = 4是定长， AB =10，
∴点 D 在以 A 圆心，以 4 为半径的圆上，
∵直径是最大的弦，
∴点 B，A，D 三点共线时，且 B，D 在点 A 的两侧时，BD有最大值，且为 14，
1
∴ PM = PN = BD = 7 ，
2
∴ PM gPN 的最大值为 49.
1 49
∴VPMN 面积的最大值为 PM gPN = .
2 2
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，
构造辅助圆求最值，熟练掌握中位线定理，构造辅助圆是解题的关键.
27．问题探究：
(1)如图 1，在等边VABC 中， AB = 3，点 P 是它的外心，则 PB＝ ；
(2)如图 2，在矩形 ABCD中， AB = 3，边BC 上存在点 P，使 APD = 90°，求矩形 ABCD面积的最小值；
问题解决：
(3)如图 3，在四边形 ABCD中， AB = 3， A = B = 90°， C = 45°，边CD上存在点 P，使 APB = 60° ，
在此条件下，四边形 ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 3
(2)18
(3) 3 3存在， + 3 6
2
【分析】（1）画出图形，根据等边三角形的性质和外心的性质即可作答；
（2）如图 2 中，当以 AD 为直径的eO 与BC 相切时，切点为 P，此时 APD = 90°， AD 的长最小,求出 AD
的长即可解决问题；
（3）存在．如图 3 中，如图作等边三角形 ABM 的外接圆eO ，当直线CD与eO 相切与 P 时，四边形 ABCD
的面积最大，此时满足条件 APB = AMB = 60°．想办法求出 AD 、 AB 即可解决问题．
【详解】（1）如图，
∵在等边VABC 中， AB = 3，
∴ B = 60°，BC = AB，CW 3 BC 3= = AB 3 3= ，
2 2 2
∵点 P 是等边VABC 的外心，
2
∴ PB = PC = WC ，
3
∴ PB PC 2WC 2 3 3= = = = 3 ，
3 3 2
故答案为： 3；
（2）如图，当以 AD 为直径的eO 与BC 相切时，切点为 P，此时 APD = 90°， AD 的长最小．
连接OP ．
∵ eO 与BC 相切，
∴ OP ^ BC ，
∵在矩形 ABCD中，OA = OP = OD，
∴四边形 ABPO ，四边形CDOP都是正方形，
∴ AB = OP
∴ AB = CD = AO = 3，BC = AD = 6，
∴矩形 ABCD面积的最小值为：BC × AB =18．
（3）存在．如图，在 AB 的右边作等边三角形 ABM 的外接圆eO ，当直线CD与eO 相切与 P 时，四边形 ABCD
的面积最大，此时根据圆周角定理可知：满足条件 APB = AMB = 60°．
延长MO 交 AB 于 E，过点 O 作OF ^ AD于 F，过点 P 作PT ^ BC 于 T，连接OP ，PT 交OM 于 R．TP的延
长线交 AD 的延长线于点 N，
∵ A = B = 90°
∴ A+ B =180°，
∴ AD∥BC ，
又∵ AB = 3， C = 45°，
∴ CD = 2AB = 3 2 ．
∵VABM 是等边三角形，圆eO 外接等边三角形 ABM ，
∴ EM ^ AB ，
结合OF ^ AD、PT ^ BC 、 A = B = 90°，
即四边形 AEOF 、四边形 AERN 、四边形BERT 、四边形FORN 是矩形，
∴ AE = EB = NR = RT
3
= ，
2 AF = EO
3
= ，OM = OP = 3 ，
2
∵ C = 45°， AD∥BC ， N = 90°，
∴ NDP = C = 45°，
∴ NPD = 45°，即DN = PN ，
∵ OP ^ CD ，
∴ DPO = 90°，
∴ OPR =180° - DPO - DPN = 45°，
∴ OR = PR OP 6= = ，
2 2
∴ BT AN 3 6= = + ，DN PN NR PR 3 6 3- 6= = - = - = ，
2 2 2 2 2
∴ AD AN DN 3 + 6 3 - 6 3 + 2 6 - 3= - = - = ， BC = BT CT 3 + 6 3 6 3 + 2 6 + 3+ = + + = ，
2 2 2 2 2 2 2
∴ S AD + BC 3 3= × AB = + 3 6 ．
四边形ABCD 2 2
【点睛】本题考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形
的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴
题．
28．如图，在正方形 ABCD中，E 是边BC 上一动点（不与点 B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的
对称点为C ，连接 AC 并延长交直线DE 于点 P ，F 是 AC 中点，连接DF ．
(1)求 FDP 的度数；
(2)连接BP，请用等式表示 AP ，BP，DP三条线段之间的数量关系，并证明；
(3)若正方形的边长为 2 ，请直接写出△ACC 的面积最大值．
【答案】(1)45°
(2) BP + DP＝ 2AP，见解析
(3) 2 -1
1
【分析】（1）证明 CDE = C DE 和 ADF = C DF ，可得 FDP = ADC = 45°2 ；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明VBAP≌VDAP (SAS) ，得 BP = DP ，从而得VPAP 是等腰直角三角
形，可得结论；
（3）先作高线C G ，确定VACC 的面积中底边 AC 为定值 2，根据高的大小确定面积的大小，当C 在BD
上时，C G 最大，其VACC 的面积最大，并求此时的面积．
【详解】（1）解：由对称得：CD = C D ， CDE = C DE ，
在正方形 ABCD中， AD = CD ， ADC = 90°，
\ AD = C D ，
QF 是 AC 的中点，
\ DF ^ AC ， ADF = C DF ，
\ FDP = FDC + EDC 1= ADC = 45°
2 ；
（2）结论： BP + DP = 2AP ，
证明：如图，作 AP ^ AP 交PD的延长线于P ，
\ PAP = 90°，
在正方形 ABCD中，DA = BA， BAD = 90°，
\ DAP = BAP ，
由（1）可知： FDP = 45° ，
Q DFP = 90° ，
\ APD = 45°，
\ P = 45°，
\ AP = AP ，
在△BAP 和△DAP 中，
ìBA = DA

í BAP = DAP ，

AP = AP
\△BAP≌△DAP (SAS) ，
\ BP = DP ，
\ DP + BP = PP = 2AP ；
（3） 2 -1．
理由如下：如图，过C
1
作C G ^ AC 于G ，则 S△AC C = AC ×C G2 ，
Rt△ABC 中， AB = BC = 2 ，
\ AC = ( 2)2 + ( 2)2 = 2，即 AC 为定值，
当C G 最大时，△AC C 的面积最大，
连接BD，交 AC 于O，当C 在BD上时，C G 最大，此时G 与O重合，
1
QCD = C D = 2 ，OD = AC = 12 ，
\C G = 2 -1，
\S 1△AC C = AC ×C G
1
= 2 ( 2 -1) = 2 -1
2 2 ．
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
29．如图 1，P 是正方形 ABCD边BC 上一点，线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称，连接EB并延长交直线 AP
于点 F，连接CF ．
(1)补全图形，求 AFE 的大小；
(2)用等式表示线段CF，BE 之间的数量关系，并证明；
(3)连接CE，G 是CE的中点， AB = 2 ，若点 P 从点 B 运动到点 C，直接写出DG 的最大值．
【答案】(1) 45°
(2) BE = 2CF ，证明见解析
(3) 2 +1
【分析】（1）补全图形如图 1，由线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称，可知 DAF = EAF = 1+ 2，
AEB ABE 180° - 1 1AB = AE ，则 = = = 90° - ， DAF + 2 = 2 2 + 1 = 90°，根据
2 2
AFE =180° - EAF - AEB，计算求解即可；
（2）如图 2，连接DF ，DB，连接DE 交 AF 于 H ，由对称的性质可得，DF = FE ， AFD = AFE = 45°，
DE ^ AF ，则 DFE = 90° ， FHD = 90° ，VDEF 是等腰直角三角形， FDE = 45°， CDB = 45°，
CD DF
CDF = BDE = cos 45° = VCDF VBDE CF CD 2，由 ，证明 ∽ ，则 = = ，计算求解即可；BD BE BE BD 2
（3）如图 3，连接 AC ，BD，交点为O，则DO = AD ×cos ADB = 2 ， AE = AD = 2，OG 是△ACE的中
1 1
位线，OG = AE =1，由题意知，E 在以A 为圆心，以 2 为半径的 的圆上运动，则G4 在以O为圆心，以2
1
1 为半径的 3 D、O、G DG DG = DO + OG4 的圆上运动，如图 ，当 三点共线时， 最大， 根据 ，计算求解即
可．
【详解】（1）解：补全图形如图 1，
∵线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称，
∴ DAF = EAF = 1+ 2， AB = AE ，
AEB ABE 180° - 1 1∴ = = = 90° - ，
2 2
∵ DAF + 2 = 2 2 + 1 = 90°，
∴ AFE =180° - EAF - AEB = 90
1
° - 2 2 + 1 = 45°，
2
∴ AFE 为 45°；
（2）解：BE = 2CF ，证明如下：
如图 2，连接DF ，DB，连接DE 交 AF 于 H ，
由对称的性质可得，DF = FE ， AFD = AFE = 45°，DE ^ AF ，
∴ DFE = 90° ， FHD = 90° ，
∴ VDEF 是等腰直角三角形，
∴ FDE = 45°，
∵ CDB = 45°，
∴ CDB - FDB = FDE - FDB，即 CDF = BDE ，
CD
又∵ = cos 45
DF
° = ，
BD BE
∴VCDF∽VBDE ，
∴ CF CD 2= = ，解得BE = 2CF ，
BE BD 2
∴ BE = 2CF ；
（3）解：如图 3，连接 AC ，BD，交点为O，
由正方形的性质可得 AD = AB = 2， ADB = 45°，O为 AC 的中点，
∴ DO = AD ×cos ADB = 2 ， AE = AD = 2，
又∵ G 是CE的中点，
∴ OG 是△ACE的中位线，
∴ OG
1
= AE =1，
2
1
由题意知，E 在以A 为圆心，以 2 为半径的 4 的圆上运动，
∴ G 1在以O为圆心，以 1 为半径的 4 的圆上运动，如图 3，
∴当D、O、G 三点共线时，DG 最大，
∴ DG = DO + OG = 2 +1，
∴ DG 最大值为 2 +1．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似
三角形的判定与性质，中位线，圆，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
30．VABC 为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC 于点 D，E 为线段 AD 上一点， AE = 2 3 ．以 AE 为边在直线
AD 右侧构造等边三角形 AEF，连接 CE，N 为 CE 的中点．
(1)如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG，BE，直接写出 NG 与 BE 的数量关系；
(2)如图 2，将△AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为a ，M 为线段 EF 的中点，连接 DN，MN．当30° < a <120°
时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM 的度数并证明，如果不是，请说明理由；
(3)连接 BN，在△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，请直接写出线段 BN 的最大值．
【答案】(1) BE = 2NG
(2)∠DNM 的大小是定值，为 120°
(3) 5 3
【分析】（1）连接 CF．由等边三角形的性质易证△BAE≌△CAF(SAS)，即得出CF = BE ．再根据三角形中位
线定理即可求出BE = 2NG；
（2）连接 BE，CF．利用全等三角形的性质证明∠EBC+∠BCF=120°，再利用三角形的中位线定理，三角形
的外角的性质证明∠DNM=∠EBC+∠BCF 即可；
（3）取 AC 的中点 J，连接 BJ，结合三角形的中位线定理可求出 BJ，JN．最后根据三角形三边关系即可得
出结论．
【详解】（1）解：如图，连接 CF．
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB=BC=AC，∠BAD=∠CAD=30°．
∵△AEF 是等边三角形，
∴∠EAF=60°，G 为 EF 中点，
∴∠EAG=∠GAF=30°．
即在△BAE 和△CAF 中，
ì AB = AC

í BAE = CAF=30°，

AE=AF
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴ CF = BE ，
∵N 为 CE 的中点，G 为 EF 中点，
GN 1∴ = CF ，
2
∴ BE = 2NG；
（2）∠DNM=120°是定值，证明如下，
如图，连接 BE，CF．
同（1）可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠ACF．
∵∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，
∴∠EBC+∠BCF=∠ABC-∠ABE+∠ACB+∠ACF=120°．
∵EN=NC，EM=MF，
∴MN∥CF，
∴∠ENM=∠ECF，
∵BD=DC，EN=NC，
∴DN∥BE，
∴∠CDN=∠EBC，
∵∠END=∠NDC+∠NCD，
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF=∠EBC+∠ACB+∠ACF=∠EBC+∠BCF=120°．
综上可知∠DNM 的大小是定值，为 120°；
（3）如图，取 AC 的中点 J，连接 BJ，BN．
∵AJ=CJ，EN=NC，
∴JN= 12 AE= 3．
∵BJ=AD= 4 3 ，
∴BN≤BJ+JN，即 BN≤ 5 3 ，
故线段 BN 的最大值为5 3 ．
【题型 5 几何证明与三角函数综合】
31．综合探究
在VABC 和VADE 中，BA = BC ，DA = DE ，且 ABC = ADE ，点 E 在VABC 的内部，连接 EC ，EB和
ED，设EC = k × BD k 0 ．
(1)当 ABC = ADE = 60° 时，如图 1，请求出 k 值，并给予证明；
(2)当 ABC = ADE = 90°时：
①如图 2，（1）中的 k 值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出 k 值并说明理由；
②如图 3，当 D，E，C 三点共线，且 E 为DC 中点时，请求出 tan EAC 的值．
【答案】(1) k =1，理由见解析；
1
(2)①k 值发生变化， k = 2 ，理由见解析；② tan EAC = ．3
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，三角函数，
勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据题意得到VABC 和VADE 都是等边三角形，证明VDAB≌VEAC SAS ，根据全等三角形的性质解
答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作 EF ^ AC 于 F，设 AD = DE = a，则 AE = 2a，证明VCFE∽VCAD ，根据相似三角形的性质求出 EF ，
根据勾股定理求出 AF ，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）解： k =1，
理由如下：如图 1，∵ ABC = ADE = 60° ，BA = BC ，DA = DE ，
∴VABC 和VADE 都是等边三角形，
∴ AD = AE ， AB = AC ， BAC = DAE = 60°，
∴ DAB = EAC ，
在VDAB和VEAC 中，
ìAD = AE

í DAB = EAC ，

AB = AC
∴VDAB≌VEAC SAS
∴ EC = DB ，即 k =1；
（2）解：①k 值发生变化， k = 2 ，
∵ ABC = ADE = 90°，BA = BC ，DA = DE ，
∴VABC 和VADE 都是等腰直角三角形，
AE
∴ = 2
AC
， = 2 ， DAE = BAC = 45°，
AD AB
∴ AE AC= ， DAB = EAC ，
AD AB
∴VEAC∽VDAB ，
EC AE
∴ = = 2 ，即 ，
BD AD EC = 2BD
∴ k = 2 ；
②作EF ^ AC 于 F，
设 AD = DE = a，则 AE = 2a，
∵点 E 为DC 中点，
∴ CD = 2a ，
由勾股定理得， AC = AD2 + CD2 = 5a ，
∵ CFE = CDA = 90°， FCE = DCA，
∴VCFE∽VCAD ，
EF CE EF a
∴ = ，即 =
AD CA a
，
5a
EF 5解得， = a ，
5
∴ AF = AE2 - EF 2 3 5= a ，
5
则 tan EAC
EF 1
= =
AF 3 ．
32．在VABC 中， ABC = 90°， AB = BC ，点 D 为平面内一点．
(1)如图 1，若点 D 在线段BC 上，且 BAD = CAD ，求 tan BAD；
(2)如图 2，若点 D 为VABC 内部一点，且 BDC =135°，连接 AD ，点 E 为 AD 的中点，连接 BE ，用等式
表示线段BD， BE ，CD的数量关系，并证明：
(3)若点 D 满足 BDC =135°，当 AB = 2 时，请直接写出 AD 的最值．
【答案】(1) 2 -1
(2) 2BE = CD + 2BD，证明见详解
(3) 5 -1
【分析】（1）过点 B 作 BE ∥ AD 交CA的延长线于点E ，证明 AB = AE ，根据平行线分线段成比例得出
AC CD CD
= ，进而根据勾股定理可得 = 2 ，进而根据正切的定义，即可求解；
AE BD BD
（2）过点 B 作 BF ^ BD，交CD的延长线于点F ，延长 BE 至G ，使得 BE = EG ，连接 AG ，证明
VAEG≌VDEB SAS ，VFBC≌VGAB SAS ，根据勾股定理以及全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）以 BC 为斜边向下作等腰直角三角形，RtVBOC ，以O为圆心，OB 为半径作圆， H 是优弧上的一点，
根据题意得出D在eO 上，当D在 AO 上时 AD 取得最小值，最小值为 AO - OD ，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 B 作 BE ∥ AD 交CA的延长线于点E ，
∵ BE∥ AD，
∴ CAD = E, DAB = ABE ，
∵ BAD = CAD ，
∴ E = ABE，
∴ AB = AE ，
∵ BE∥ AD，
AC CD
∴ = ，
AE BD
又 AB = AE ，
AC CD
∴ = ，
AB BD
∵在VABC 中， ABC = 90°, AB = BC ，
∴ AC = 2AB，
CD
∴ = 2 ，设BD =1，则
BD CD = 2
，
∴ B C = 2 + 1 ，
tan BAD BD BD 1∴ = = = = 2 -1AB BC 2 +1
（2） 2BE = CD + 2BD，理由如下：
如图所示，过点 B 作 BF ^ BD，交CD的延长线于点F ，延长 BE 至G ，使得 BE = EG ，连接 AG ，
∵ BDC =135°，
∴ BDF = 45°，
QBF ^BD，
\VDBF 是等腰三角形，
\ BD = BF ，DF = 2BD，
Q点E 为 AD 中点，
\ AE = ED，
在△AEG 和VDEB中，
ìAE = DE
Q í AEG = DEB，

EG = EB
\VAEG≌VDEB SAS ，
\ AG = DB， AGE = DBE ，
\ AG∥BD，
设 DBC = a，则 FBC = 90 ° + a， ABD = 90 ° - a，
Q GAB + ABD =180°，
\ BAG = 90° + a，
\ FBC = GAB ，
在VFBC 和△GAB 中，
ìFB = GA

í FBC = GAB，

BC = AB
\VFBC≌VGAB SAS ，
∴ CF = BG = 2BE ，
∵ CF = CD + DF = CD + 2BD，
∴ 2BE = CD + 2BD．
（3）解：如图所示，以BC 为斜边向下作等腰RtVBOC ， BOC = 90°，
以O为圆心，OB 为半径作圆， H 是优弧上的一点，
1
∴∠H = ∠BOC = 45°，
2
∵ BDC =135°，
∴ D在eO 上，
∵ RtVBOC 等腰直角三角形， AB = BC = 2 ，
∴OB OC 2= = BC = 1，
2
∵ AB = BC ， ABC = 90°，
∴ ACB = 45°，
∴ ACO = ACB + BCO = 90° ，
∵ AB = BC = 2 ，
∴ AC = 2 2 = 2，
∴ AO = AC 2 + OC 2 = 5 ，
∴当D在 AO 上时 AD 取得最小值，最小值为 AO - OD = 5 -1．
【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定
与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键．
33．已知：在矩形 ABCD中， AB = 6， AD = 2 3，P 是BC 边上的一个动点，将矩形 ABCD折叠，使点 A 与
点 P 重合，点 D 落在点 G 处，折痕为EF ．
(1)如图 1，当点 P 与点 C 重合时，则线段EB =　　　　，EF =　　　　；
(2)如图 2，当点 P 与点 B，C 均不重合时，取 EF 的中点 O，连接并延长PO与GF 的延长线交于点 M，连
接PF，ME，MA．
①求证：四边形MEPF 是平行四边形；
②当 tan
1
MAD = 时，求四边形MEPF 的面积．
3
【答案】(1)2；4
(2)① 20 3见详解；②
3
【分析】（1）过点F 作FH ^ AB ，由翻折的性质可知： AE = CE, FEA = FEC ，根据平行线的性质和等
量代换可得 CFE = FEC ，由等角对等边可得：CF = CE = AE ，设 AE = CE = CF = x, BE = 6 - x ，在RtVBCE
中，由勾股定理可得关于 x 的方程，解方程求得 x 的值，进而可得 BE 、DF 的长，由矩形的判定可得四边
形DAHF 是矩形，进而可求FH 、EH 的长，最后由勾股定理可得EF 的长；
（2）①根据折叠的性质可得MG∥PE ，进而可得 MFO = PEO ，根据已知条件可得OE = OF ，从而证
△FOM≌△EOP ，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；
②连接PA与EF 交于点 H ，则EF ^ AP且PH = AH ，又由①知：PO = OM ，可得MA∥EF ，则
MA ^ AP，继而证 MAD = PAB，根据三角函数求得 PB，若设PE = x ，则BE = 6 - x ，根据勾股定理可
得关于 x 的方程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解．
【详解】（1）解：过点F 作FH ^ AB ，
∵折叠后点A 、 P 、C 重合，
∴ AE = CE, FEA = FEC ，
∵在矩形 ABCD中，CD = AB = 6, AD = BC = 2 3, A = D = B = 90°，CD P AB ，
\ CFE = FEA，
\ CFE = FEC ，
\CF = CE = AE ，
设 AE = CE = CF = x, BE = AB - AE = 6 - x ，
在RtVBCE 中，由勾股定理可得：BC 2 + BE2 = CE2 ，
即 (2 3)2 + (6 - x)2 = x2 ，
解得： x = 4，
即 AE = CE = CF = 4，
\BE = 2，DF = 2，
Q D = A = FHA = 90°，
∴四边形DAHF 是矩形，
\FH = AD = 2 3, EH = AB - BE - AH = 6 - 2 - 2 = 2，
在RtVEFH 中，由勾股定理可得：EF = FH 2 + EH 2 = (2 3)2 + 22 = 4；
故答案为：2；4；
（2）解：①证明：如图 2，
∵在矩形 ABCD中，CD∥ AB ，
由折叠(轴对称)性质，得：MG∥PE ，
\ MFO = PEO，
∵点O是EF 的中点，
\OE = OF ，
又 FOM = EOP，
在△FOM 和△EOP中，
ì FOM = EOP

íOF = OE ，

MFO = PEO
\VFOM≌VEOP(ASA) ，
\MF = PE ，
∴四边形MEPF 是平行四边形；
②如图 2，连接PA与EF 交于点 H ，则EF ^ AP且PH = AH ，
又由①知：PO = OM ，
∴ MA∥EF ，则MA ^ AP，
又DA ^ AB，
\ MAD = PAB ，
\ tan MAD = tan PAB 1= ，
3
在RtVPAB, tan PAB
PB 1
= = ，
AB 3
而 AB = 6，
\PB = 2 ，
又在RtVPEB 中，设PE = x ，则BE = 6 - x ，
由勾股定理得： x2 - (6 - x)2 = 22，
解得： x
10
= ，
3
PE x 10则 = = ，
3
而PG ^ MG且PG = AD = 2 3，
又四边形MEPF 是平行四边形，
∴ 10 20 3四边形MEPF 的面积为：PE × PG = 2 3 = ．
3 3
【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判
定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．
34．在VABC 中， ABC = 90°, AB = BC ，点D为平面内一点．
(1)如图 1，若点D在线段BC 上，且 BAD = CAD ，求 tan BAD；
(2)如图 2，若点D为VABC 内部一点，且 BDC =135°，连接 AD ，点E 为 AD 的中点，连接BE，用等式
表示线段BD，BE，CD的数量关系，并证明；
(3)若点 D 满足 BDC =135°，当 AB = 2 时，请直接写出 AD 的最值．
【答案】(1) 2 -1
(2) 2BE = CD + 2BD，证明见解析
(3) AD 最小值为 10 - 2
【分析】（1）过点 B 作 BE ∥ AD 交CA的延长线于点E ，证明 AB = AE ，根据平行线分线段成比例得出
AC CD CD
= ，进而根据勾股定理可得 = 2 ，进而根据正切的定义，即可求解；
AE BD BD
（2）过点 B 作 BF ^ BD，交CD的延长线于点F ，延长 BE 至G ，使得 BE = EG ，连接 AG ，证明
VAEG≌VDEB SAS ，VFBC≌VGAB SAS ，根据勾股定理以及全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）以 BC 为斜边向下作等腰直角三角形，RtVBOC ，以O为圆心，OB 为半径作圆， H 是优弧上的一点，
根据题意得出D在eO 上，当D在 AO 上时 AD 取得最小值，最小值为 AO - OD ，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 B 作 BE ∥ AD 交CA的延长线于点E ，
∵ BE∥ AD，
∴ CAD = E, DAB = ABE
∵ BAD = CAD
∴ E = ABE
∴ AB = AE
∵ BE∥ AD，
AC CD
∴ =
AE BD
又 AB = AE
AC CD
∴ =
AB BD
∵在VABC 中， ABC = 90°, AB = BC ，
∴ AC = 2AB
CD
∴ = 2 ，设BD =1，则CD = 2 ，BD
∴ B C = 2 + 1 ，
∴ tan BAD
BD BD 1
= = = = 2 -1
AB BC 2 +1
（2）如图所示，过点 B 作 BF ^ BD，交CD的延长线于点F ，延长 BE 至G ，使得 BE = EG ，连接 AG ，
∵ BDC =135°
∴ BDF = 45°
QBF ^ BD ，
\VDBF 是等腰三角形，
\ BD = BF ，DF = 2BD，
Q点E 为 AD 中点，
\ AE = ED，
在VAEG 和VDEB中，
ìAE = DE
Q í AEG = DEB

EG = EB
\VAEG≌VDEB SAS ，
\ AG = DB， AGE = DBE ，
\ AG∥BD，
设 DBC = a，则 FBC = 90 ° + a， ABD = 90 ° - a，
Q GAB + ABD =180°，
\ BAG = 90° + a，
\ FBC = GAB ，
在VFBC 和VGAB中，
ìFB = GA

í FBC = GAB

BC = AB
\VFBC≌VGAB SAS ，
∴ CF = BG = 2BE ，
∵ CF = CD + DF = CD + 2BD
∴ 2BE = CD + 2BD．
（3）解：如图所示，以BC 为斜边向下作等腰直角三角形，RtVBOC ，
以O为圆心，OB 为半径作圆， H 是优弧上的一点，
∴ H
1
= BOC = 45°
2
∵ BDC =135°
∴ D在eO 上，
∵ RtVBOC 等腰直角三角形，BC = 2，
∴ OB OC 2= = BC = 2 ，
2
∵ AB = BC ， ABC = 90°
∴ ACB = 45°
∴ ACO = ACB + BCO = 90°
∵ AB = BC = 2
∴ AC = 2 2
∴ AO = AC 2 + OC 2 = 10 ,
∴当D在 AO 上时 AD 取得最小值，最小值为 AO - OD = 10 - 2 ．
35．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3，M 是 CD 边上一动点（不与 D 点重合），点 D 与点 E 关于 AM 所在
的直线对称，连接 AE，ME，延长 CB 到点 F，使得 BF＝DM，连接 EF，AF．
（1）依题意补全图 1；
（2）若 DM＝1，求线段 EF 的长；
（3）当点 M 在 CD 边上运动时，能使△AEF 为等腰三角形，直接写出此时 tan∠DAM 的值．
1
【答案】（1）详见解析；（2） 13 ；（3）1 或 2 ．
【分析】（1）根据题意作出图形便可，
（2）连接 BM，先证明△ADM≌△ABF，再证明△FAE≌△MAB，求得 BM，便可得 EF；
（3）设 DM＝x（x＞0），求出 AE、AF、EF，当△AEF 为等腰三角形，分两种情况：AE＝EF 或 AF＝EF，
列出方程求出 x 的值，进而求得最后结果．
【详解】解：（1）根据题意作图如下：
（2）连接 BM，如图 2，
∵点 D 与点 E 关于 AM 所在直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°，
∵BM＝BF，
∴△ADM≌△ABF（SAS），
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，
∴∠FAB＝∠NAE，
∴∠FAE＝∠MAB，
∴△FAE≌△MAB（SAS），
∴EF＝BM，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝3，
∵DM＝1，
∴CM＝2，
∴BM＝ BC 2 + CM 2 = 13，
∴EF＝ 13 ；
（3）设 DM＝x（x＞0），则 CM＝3﹣x，
∴EF＝BM＝ CM 2 + BC 2 = x2 - 6x +18 ，
∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝ DM 2 + AD2 = x2 + 9 ，
∴AF＞AE，
∴当△AEF 为等腰三角形时，只能有两种情况：AE＝EF，或 AF＝EF，
①当 AE＝EF 时，有 x2 - 6x +18 ＝3，解得 x＝3
DM 3
∴tan∠DAM＝ = =1；
DA 3
3
②当 AF＝EF 时， x2 - 6x +18 ＝ x2 + 9 ，解得，x＝ ，2
3
∴tan∠DAM＝ DM = 2 1= ，
DA 3 2
综上，tan∠DAM 1的值为 1 或 2 ．
1
故答案为：tan∠DAM 的值为 1 或 2 ．
【点睛】本题是正方形的综合题，涉及正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三
角形的性质，勾股定理，解三角形等知识，以及分类思想和方程思想，关键是证明三角形全等．
【题型 6 几何证明与相似三角形综合】
36．已知正方形 ABCD，将边 AB 绕点A 顺时针旋转a 至线段 AE ， DAE 的角平分线所在直线与直线 BE
相交于点F ．过点C 作直线 BE 的垂线CH ，垂足为点 H ．
(1)当a 为锐角时，依题意补全图形，并直接写出 DEB的度数；
(2)在（1）的条件下，写出线段 BE 和FH 之间的数量关系，并证明；
(3)设直线CH 与直线DE 相交于点 P ，若 AB = 2 ，直接写出线段 AP 长的最大值和最小值．
【答案】(1)补全图形如图所示， DEB = 45°
(2) BE = 2FH ，证明见解析
(3)线段 AP 长的最大值为 10 + 2 ，最小值为 10 - 2
【分析】（1）依题意补全图形，连接DE ，以 AE 为半径A 为圆心作eA，根据圆周角定理即可求解；
（2）过点A 作 AM ^ EF 于点M ，连接 AC, FC, DF ，设ED, AF 交于点G ，证明VAMB≌VBHC ，得出
BM = CH ，VMAB∽VFAC ，得出 AFC = AMF = 90°，进而得出FH = HC ，即可得证；
1
（3）以CD为斜边在右侧作等腰直角三角形ODC ，以O为圆心， DC 为半径作eO ，连接 AO ，根据（1）
2
的结论得出 P 在eO 上运动，过点O作OQ ^ AD 交延长线于点Q，则OQ = DQ =1，进而勾股定理求得OA，
根据点到圆上的距离，进而即可求解．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示，
连接DE ，以 AE 为半径A 为圆心作eA，如图所示，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ BAD = 90°，
∵ B D = B D，
∴ DEB
1
= BAD = 45°
2
（2）BE = 2FH ，
证明：如图所示，过点A 作 AM ^ EF 于点M ，连接 AC, FC, DF ，设ED, AF 交于点G ，
∵ AB = AE ， AM ^ EF
∴ EM = MB， 1 = 2，
∵ CH ^ BH ，
∴ H = AMB = 90°，
∵ ABC = 90°，
∴ CBH = 90° - ABM = 1，
在VAMB,VBHC 中，
ì H = AMB = 90°

í 2 = CBH

AB = BC
∴V专题 13 几何证明压轴题（6 种类型 45 道）
目录
【题型 1 探究两条线段数量关系】 ..........................................................................................................................1
【题型 2 探究三条线段数量关系】 ..........................................................................................................................4
【题型 3 最值问题（最小值）】 ...............................................................................................................................8
【题型 4 最值问题（最大值）】 .............................................................................................................................10
【题型 5 几何证明与三角函数综合】 ...................................................................................................................12
【题型 6 几何证明与相似三角形综合】 ...............................................................................................................14
【题型 1 探究两条线段数量关系】
1．如图，在菱形 ABCD中， BAD = 60°，E 是 AB 边上一点（不与 A，B 重合），点 F 与点 A 关于直线DE
对称，连接DF ．作射线CF ，交直线DE 于点 P，设 ADP = a ．
(1)用含a 的代数式表示 DCP；
(2)连接 AP，AF ．求证：VAPF 是等边三角形；
(3)过点 B 作BG ^ DP 于点 G，过点 G 作CD的平行线，交CP于点 H．补全图形，猜想线段 CH 与 PH 之间
的数量关系，并加以证明．
2．如图，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ，P，D 为射线 AB 上两点（点 D 在点 P 的左侧），且
PD = BC ，连接 CP．以 P 为中心，将线段 PD 逆时针旋转n° 0 < n < 180 得线段 PE．
(1)如图 1，当四边形 ACPE 是平行四边形时，画出图形，并直接写出 n 的值；
(2)当n = 135°时，M 为线段 AE 的中点，连接 PM．
①在图 2 中依题意补全图形；
②用等式表示线段 CP 与 PM 之间的数量关系，并证明．
3．在RtVABC 中， ABC = 90°， BAC = 30°．D 为边 BC 上一动点，点 E 在边 AC 上，CE = CD．点 D
关于点 B 的对称点为点 F，连接 AD，P 为 AD 的中点，连接 PE，PF，EF．
(1)如图 1，当点 D 与点 B 重合时，写出线段 PE 与 PF 之间的位置关系与数量关系；
(2)如图 2，当点 D 与点 B，C 不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若
不成立，请举出反例．
4．如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上一点（ AE > CE ），连接 BE，DE．
(1)求证：BE = DE ；
(2)过点 E 作EF ^ AC 交 BC 于点 F，延长 BC 至点 G，使得CG = BF ，连接 DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示 BE 与 DG 的数量关系，并证明．
5．已知点 P 为线段 AB 上一点，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°，得到线段 AC；再将线段 BP 绕点 B 逆
时针旋转 120°，得到线段 BD；连接 AD，取 AD 中点 M，连接 BM，CM．
(1)如图 1，当点 P 在线段 CM 上时，求证：PM//BD；
(2)如图 2，当点 P 不在线段 CM 上，写出线段 BM 与 CM 的数量关系与位置关系，并证明．
6．如图，在VABC 中， ABC = 90°，BA = BC ，点 D 为线段 AC 上一点，将线段 BD 绕点 B 逆时针旋转
90°，得到线段 BE，连接 AE．
(1)①依题意补全图形；
②求 EAC 的度数；
(2)取 AD 中点 F，连接 BF，CE，猜想 CE 与 BF 之间的位置关系与数量关系，并证明．
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线 CM，∠ACM＝80°．D 在射线 CM 上，连接 AD，E
是 AD 的中点，C 关于点 E 的对称点为 F，连接 DF．
(1)依题意补全图形；
(2)判断 AB 与 DF 的数量关系并证明；
(3)平面内一点 G，使得 DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG 的值．
8．已知：在正方形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在直线 CD 的右侧，且满足∠PCE＝90°，
CP＝CE，连接 DE．
(1)依据题意，补全图形；
(2)计算∠CDE 的度数；
(3)连接 EP 并延长，分别与 AB 边和 CD 边相交于点 M 和点 N，试判断线段 PM 与 NE 之间的数量关系，并
说明理由．
9．如图 1，在Rt△ABC 中， ACB = 90°, ABC = 60°, D为 AB 边上一点，DE ^ AB于D，连接BE, P 为 BE
中点．
(1)连接PD、PC ，判断PD与PC 的数量关系，并直接写出 DPC 的度数；
(2)如图 2，将VADE 绕点A 顺时针旋转a 度 0° < a <180° ．
①请你依据题意补全图形；
②在旋转过程中， DPC 的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由．
10．如图，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 2a ，N 是BC 中点，P 为 NC 上一点，连接 AP ，D 为△BAP
内一点，且 DAP = a ，点 D 关于直线 AP 的对称点为点 E，DE 与 AP 交于点 M，连接BD，CE ．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：BD = EC ；
(3)连接 MN，若 DBC + ECB = 90° ，用等式表示线段BD与MN 的数量关系，并证明．
【题型 2 探究三条线段数量关系】
11．在正方形 ABCD中，E 为BC 上一点，点 M 在 AB 上，点 N 在DC 上，且MN ^ DE ，垂足为点 F．
(1)如图 1，当点 N 与点 C 重合时，求证：MN = DE ；
(2)将图 1 中的MN 向上平移，使得 F 为DE 的中点，此时MN 与 AC 相交于点 H．
①依题意补全图 2；
②用等式表示线段MH，HF，FN 之间的数量关系，并证明．
12．如图，在VABC 中， BAC = 90°， AB = AC ，点 D 为BC 边中点，DE ^ AB于 E，作 EDC 的平分线
交 AC 于点 F，过点 E 作DF 的垂线交DF 于点 G，交BC 于点 H．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：DH = BE ；
(3)判断线段FD 、HC 与 BE 之间的数量关系，并证明．
13．如图，在正方形 ABCD中，点 E 是BC 边上的点，延长CD到点 F，使DF = BE ，连接 AF、EF ，作 EFC
的平分线FM 交 AC 于点 M．
(1)补全图形， EAF = _______ °；
(2)求证： AM = AF ；
(3)过点 M 作MN ^ EF 于点 N，写出线段 AB, MN 与EF 之间的数量关系．
14．在正方形 ABCD中，E 是边 AD 上的一动点（不与点 A，D 重合），连接 BE ，点 C 关于直线 BE 的对称
点为 F，连接FA，FB．
(1)如图 1，若△ABF 是等边三角形，则 ABE = __________ °；
(2)如图 2，延长 BE 交FA的延长线于点 M，连接CF 交 BE 于点 H，连接DM ．
①求 MFH 的大小；
②用等式表示线段MB，MD ， AB 之间的数量关系，并证明．
15．如图， AB = AC ， BAC = 90°，过点 C 作直线 l ^ AC ，点 D，E 是直线 l上的动点（D 在 E 的右侧）
且满足DE = AB ，连接BD， ABD 的平分线与射线 AE 交于点 F，与射线 AC 交于点 G．
(1)如图 1，当点 C 在线段DE 上，且 CAE = 30°时，若 AB = 6，求线段EF 的长；
(2)如图 2，当点 D 在点 C 左侧时，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 AG ，CD，EF 的数量关系，并证明．
16．如图，在正方形 ABCD中，E 是边 AD 上的一点（不与 A，D 重合），连接CE，点 B 关于直线CE的对
称点是点 F，连接CF ，DF ，直线CE与直线DF 交于点 P ，连接 BF 与直线CE交于点 Q．
(1)依题意补全图形；
(2)求 CPF 的度数；
(3)用等式表示线段PC ，PD，PF 之间的数量关系，并证明．
17．如图，在正方形 ABCD中，将边 AD 所在直线绕点D逆时针旋转a 度得到直线DM ，作点A 关于直线DM
的对称点 P ，连接CP、DP．
(1)依题意补全图形；
(2)求 DPC 的度数；
(3)延长DP、CP 分别交直线 AB、AD 于点E、F ，试探究：线段DE、BE 和 AF 之间的数量关系，并证明．
18．【探索发现】如图①，四边形 ABCD是正方形，M，N 分别在边CD、BC 上，且 MAN＝45°，我们把
这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将VADM 绕点A
顺时针旋转90°，点D与点 B 重合，得到VABE ，连接 AM、AN、MN．
(1)试判断DM，BN，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．
(2)如图②，点M、N 分别在正方形 ABCD的边BC、CD 的延长线上， MAN = 45°，连接MN ，请写出
MN、DM、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．
19．如图，已知正方形 ABCD，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点 B 作BF ^ DE于点F ，连接
CF ．
(1)求证： FDC = CBF ；
(2)作点C 关于直线DE 的对称点M ，连接CM , FM ．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段BF , DF ,CM 之间的数量关系，并证明．
20．探究题:
(1)如图 1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE，则 AEB的度数为
______；线段 AD，BE 之间的数量关系为______；
(2)如图 2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ACB = DCE = 90°，点 A，D，E 在同一直线上，CM 为△DCE
中 DE 边上的高，连接 BE，请猜测 AEB的度数及线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图 3，在正方形 ABCD 中，CD = 2 ，若点 P 满足PD =1，且 BPD = 90°，请直接写出点 A 到 BP 的距
离．
【题型 3 最值问题（最小值）】
21．如图，点 P 是正方形 ABCD内一动点，满足 APB = 90°且 BAP < 45°，过点 D 作DE ^ BP交BP的延
长线于点 E．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段EP, DE, BP之间的数量关系，并证明；
(3)连接CP，若 AB = 4，请直接写出线段CP长度的最小值．
22．如图所示，四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点 E 为边 BC 上动点（不含端点），点 B 关于
直线 AE 的对称点为点 F，点 G 为 DF 中点，连接 AG．
（1）依题意，补全图形；
（2）点 E 运动过程中，是否可能 EF∥AG？若可能，求 BE 长；若不可能，请说明理由；
（3）连接 CG，点 E 运动过程中，直接写出 CG 的最小值．
23．如图，点 E 是正方形 ABCD 内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点 D 作 DF⊥BE 交 BE 的延长
线于点 F．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段 EF，DF，BE 之间的数量关系，并证明；
（3）连接 CE，若 AB＝2 5 ，请直接写出线段 CE 长度的最小值．
24．如图 1，在△ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AD，E 是边 BC 上
的一动点，连结 DE 交 AC 于点 F，连结 BF.
(1)求证：FB=FD；
(2)如图 2，连结 CD，点 H 在线段 BE 上（不含端点），且 BH=CE，连结 AH 交 BF 于点 N.
①判断 AH 与 BF 的位置关系，并证明你的结论；
②连接 CN．若 AB=2，请直接写出线段 CN 长度的最小值.
25．如图 1，在等腰直角△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=3，在边 AB 上取一点 D（点 D 不与点 A，B 重
合），在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE. 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转 α（0°＜α＜360°），如
图 2．
（1）请你在图 2 中，连接 CE 和 BD，判断线段 CE 和 BD 的数量关系，并说明理由；
（2）请你在图 3 中，画出当 α =45°时的图形，连接 CE 和 BE，求出此时△CBE 的面积；
（3）若 AD=1，点 M 是 CD 的中点，在△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，线段 AM 的最小值是 ．
【题型 4 最值问题（最大值）】
26．如图 1，在等腰Rt△ABC 中， A = 90°，点 D、E 分别在边 AB 、 AC 上， AD = AE ，连接DC ，点 M、
P、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．
(1)观察猜想：
图 1 中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：
把VADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接MN ，BD，判断VPMN 的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
把VADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD = 4， AB =10，求VPMN 面积的最大值．
27．问题探究：
(1)如图 1，在等边VABC 中， AB = 3，点 P 是它的外心，则 PB＝ ；
(2)如图 2，在矩形 ABCD中， AB = 3，边BC 上存在点 P，使 APD = 90°，求矩形 ABCD面积的最小值；
问题解决：
(3)如图 3，在四边形 ABCD中， AB = 3， A = B = 90°， C = 45°，边CD上存在点 P，使 APB = 60° ，
在此条件下，四边形 ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
28．如图，在正方形 ABCD中，E 是边BC 上一动点（不与点 B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的
对称点为C ，连接 AC 并延长交直线DE 于点 P ，F 是 AC 中点，连接DF ．
(1)求 FDP 的度数；
(2)连接BP，请用等式表示 AP ，BP，DP三条线段之间的数量关系，并证明；
(3)若正方形的边长为 2 ，请直接写出△ACC 的面积最大值．
29．如图 1，P 是正方形 ABCD边BC 上一点，线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称，连接EB并延长交直线 AP
于点 F，连接CF ．
(1)补全图形，求 AFE 的大小；
(2)用等式表示线段CF，BE 之间的数量关系，并证明；
(3)连接CE，G 是CE的中点， AB = 2 ，若点 P 从点 B 运动到点 C，直接写出DG 的最大值．
30．VABC 为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC 于点 D，E 为线段 AD 上一点， AE = 2 3 ．以 AE 为边在直线
AD 右侧构造等边三角形 AEF，连接 CE，N 为 CE 的中点．
(1)如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG，BE，直接写出 NG 与 BE 的数量关系；
(2)如图 2，将△AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为a ，M 为线段 EF 的中点，连接 DN，MN．当30° < a <120°
时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM 的度数并证明，如果不是，请说明理由；
(3)连接 BN，在△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，请直接写出线段 BN 的最大值．
【题型 5 几何证明与三角函数综合】
31．综合探究
在VABC 和VADE 中，BA = BC ，DA = DE ，且 ABC = ADE ，点 E 在VABC 的内部，连接 EC ，EB和
ED，设EC = k × BD k 0 ．
(1)当 ABC = ADE = 60° 时，如图 1，请求出 k 值，并给予证明；
(2)当 ABC = ADE = 90°时：
①如图 2，（1）中的 k 值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出 k 值并说明理由；
②如图 3，当 D，E，C 三点共线，且 E 为DC 中点时，请求出 tan EAC 的值．
32．在VABC 中， ABC = 90°， AB = BC ，点 D 为平面内一点．
(1)如图 1，若点 D 在线段BC 上，且 BAD = CAD ，求 tan BAD；
(2)如图 2，若点 D 为VABC 内部一点，且 BDC =135°，连接 AD ，点 E 为 AD 的中点，连接 BE ，用等式
表示线段BD， BE ，CD的数量关系，并证明：
(3)若点 D 满足 BDC =135°，当 AB = 2 时，请直接写出 AD 的最值．
33．已知：在矩形 ABCD中， AB = 6， AD = 2 3，P 是BC 边上的一个动点，将矩形 ABCD折叠，使点 A 与
点 P 重合，点 D 落在点 G 处，折痕为EF ．
(1)如图 1，当点 P 与点 C 重合时，则线段EB =　　　　，EF =　　　　；
(2)如图 2，当点 P 与点 B，C 均不重合时，取 EF 的中点 O，连接并延长PO与GF 的延长线交于点 M，连
接PF，ME，MA．
①求证：四边形MEPF 是平行四边形；
②当 tan MAD
1
= 时，求四边形MEPF 的面积．
3
34．在VABC 中， ABC = 90°, AB = BC ，点D为平面内一点．
(1)如图 1，若点D在线段BC 上，且 BAD = CAD ，求 tan BAD；
(2)如图 2，若点D为VABC 内部一点，且 BDC =135°，连接 AD ，点E 为 AD 的中点，连接BE，用等式
表示线段BD，BE，CD的数量关系，并证明；
(3)若点 D 满足 BDC =135°，当 AB = 2 时，请直接写出 AD 的最值．
35．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3，M 是 CD 边上一动点（不与 D 点重合），点 D 与点 E 关于 AM 所在
的直线对称，连接 AE，ME，延长 CB 到点 F，使得 BF＝DM，连接 EF，AF．
（1）依题意补全图 1；
（2）若 DM＝1，求线段 EF 的长；
（3）当点 M 在 CD 边上运动时，能使△AEF 为等腰三角形，直接写出此时 tan∠DAM 的值．
【题型 6 几何证明与相似三角形综合】
36．已知正方形 ABCD，将边 AB 绕点A 顺时针旋转a 至线段 AE ， DAE 的角平分线所在直线与直线 BE
相交于点F ．过点C 作直线 BE 的垂线CH ，垂足为点 H ．
(1)当a 为锐角时，依题意补全图形，并直接写出 DEB的度数；
(2)在（1）的条件下，写出线段 BE 和FH 之间的数量关系，并证明；
(3)设直线CH 与直线DE 相交于点 P ，若 AB = 2 ，直接写出线段 AP 长的最大值和最小值．
37．如图 1，在VABC 中， BAC = 90°, AB = AC, BD ^ CD 于点 D，连接 AD ，在CD上截取CE，使CE = BD，
连接 AE ．
(1)直接判断 AE 与 AD 的位置关系
(2)如图 2，延长 AD ，CB 交于点 F，过点 E 作 EG∥ AF 交 BC 于点 G，试判断 FG 与 AB 之间的数量关系，
并证明；
(3)在（2）的条件下，若 AE = 2，CE = 2 ，求EG 的长．
38．如图，VABC 中， AB = AC ， BAC = a ，D 为 AC 上一点（不与点 A、C 重合），将线段DA绕点 D 顺
时针旋转a ，得到线段DE ，连接BD．并延长到点 F，使DF = BD，作射线FE，交射线BA于点 G．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：BG = 2DE ；
(3)在射线BA上取点 H（不与点 G 重合），使 AH = AG ．连接CH、CF ，用等式表示线段CH 与CF 的数量
关系，并证明．
39．已知，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，点D为 AC 边上一动点，连接BD，过点C 作BD的垂线
交BD的延长线于点 H ．
(1)如图 1，过点A 作 AN∥BC 交CH 的延长线于点 N ，连接DN ．
①依题意补全图形；
②用等式表示 NDH 与 HDC 之间的数量关系，并证明．
(2)如图 2，当点D恰为 AC 的中点时，E 为BD上一动点，连接 AE ，将射线 AE 绕点A 逆时针旋转90°交射
线CH 于点F ．若 AB = 2 ，且点E 在运动的过程中始终满足HE - HF = 2CH ．请直接写出 BE 的取值范围
______．
40．四边形 ABCD和四边形 BEFG都是正方形．
(1) CG 2如图 1，当点 F 在BD上时，点 E，G 分别在 AB，BC 上．求证： = ；
DF 2
(2)如图 2，将图 1 中的正方形 BEFG绕点 B 顺时针旋转（旋转角小于180°），连接DF，CG ，判断DF 与CG
的数量关系，并写出证明过程；
(3)如图 3，当（2）中的正方形 BEFG旋转到点 F 落在线段CG 上时，连接DE ．若点 F 是CG 的中点，
BE =1，求DE 的长．
41．在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC = 4，将线段CA绕点C 逆时针旋转a 角得到线段CD，连接 AD ，
过点C 作CE ^ AD于点E ，连接BD交CA，CE于点F ，G ．
(1)当a = 60°时，如图 1，依题意补全图形，直接写出 BGC 的大小；
(2)当a 60°时，如图 2，试判断线段BG 与CE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若F 为 AC 的中点，直接写出 AD 的长．
42．如图，在等边DABC中，点D是边BC 的中点，点E 是直线BC 上一动点，将线段 AE 绕点E 逆时针旋
转60°，得到线段EG ，连接 AG ，BG ．
(1)如图 1，当点E 与点D重合时．
①依题意补全图形；
②判断 AB 与EG 的位置关系；
(2)如图 2，取EG 的中点F ，写出直线DF 与 AB 夹角的度数以及FD 与 EC 的数量关系，并证明．
43．在RtDABC 中， ACB = 90o，CD是 AB 边的中线，DE ^ BC 于E ，连结CD，点 P 在射线CB 上（与
B ，C 不重合）
（1）如果 A = 30o
①如图 1， DCB =　 　 o
②如图 2，点 P 在线段CB 上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60o，得到线段DF ，连结 BF ，补全
图 2 猜想CP、 BF 之间的数量关系，并证明你的结论；
o o
（2）如图 3，若点 P 在线段CB 的延长线上，且 A = a 0 < a < 90 ，连结DP，将线段DP绕点逆时针旋
转 2a 得到线段DF ，连结 BF ，请直接写出DE 、 BF 、BP三者的数量关系（不需证明）
44．在VABC 中， ABC = 90°， AB = BC = 4，点M 是线段BC 的中点，点 N 在射线MB上，连接 AN ，平
移VABN ，使点 N 移动到点M ，得到DEM （点D与点A 对应，点E 与点 B 对应），DM 交 AC 于点 P ．
（1）若点 N 是线段MB的中点，如图 1．
①依题意补全图 1；
②求DP的长；
（2）若点 N 在线段MB的延长线上，射线DM 与射线 AB 交于点Q，若MQ = DP ，求CE的长．
45．如图①，RtV ABC 和 RtV BDE 重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且 AB＝2BC，BD＝2BE．
(1)观察猜想：图①中线段 AD 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：把V BDE 绕点 B 顺时针旋转到图②的位置，连接 AD，CE，判断线段 AD 与 CE 的数量关系
和位置关系如何，并说明理由；
(3)拓展延伸：若 BC＝ 5 ，BE＝1，当旋转角 α＝∠ACB 时，请直接写出线段 AD 的长度．

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