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六安二中2025届高三第八次月考
数学
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，则＝（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应点的坐标所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知是递增的等比数列，且，则（ ）
A. 公比为－2 B.
C. 的前n项和为 D. 是等比数列
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，AB，CD分别是圆柱上 下底面圆的直径，且，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得8分，部分选对的得部分分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知由一组样本数据，得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有（10,60）
B. 若随机变量，则
C. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的第75百分位数可能等于原样本数据的第75百分位数
D. 若随机变量，且，则
10. 已知函数的定义域为，，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在上单调递增
C. 数列是等比数列
D. 当时，
11. 如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存点，使得
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数在点的切线方程为______．
13. 随机事件A，B满足，，则＝______．
14. 若函数的两个零点分别为和，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角的对边分别是，已知.
（1）求；
（2）若，且的周长为，求.
16. 为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的列联表.
性别 愿意 不愿意
男生 6 10
女生 18 6
（1）根据该列联表，并依据显著水平的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；
（2）在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量，求的分布及期望.
附：.
17. 如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角正弦值为，求．
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的长轴长；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值．
19. 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
（1）求出的值；
（2）估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
（3）求证：，其中．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. B.
2. C
3. B.
4. A
5. A
6. B.
7. C.
8. C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得8分，部分选对的得部分分．
9. BD.
10.BCD.
11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
13. 0.04.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）在中，由及正弦定理得，而，
则，又，
所以或.
（2）由的周长为，，得，
在中，由余弦定理得，即，
则，当时，，于是，，此方程无解；
当时，，于是，解得或，
所以当时，无解；当时，或.
16. （1）
列联表如下：
性别 愿意 不愿意 合计
男生 6 10 16
女生 18 6 24
合计 24 16 40
零假设为：是否愿意参加健美操与学生性别无关.
根据列联表中的数据，可得,
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立,
既认为是否愿意参加健美操与学生性别有关联，此判断犯错误的概率不大于0.005.
（2）根据列联表可得愿意参加健美操的学生中女生占全部的，
∴选取的8人中，女生有人，男生有人，
∴随机变量的可取值：0,1,2.
∴，，.
∴随机变量的分布列：
0 1 2
数学期望.
17.
（1）
法一：（几何法）如图，取中点，由，得，
作，，则四边形为菱形，且，
连接，， ，则，.
∵异面直线与所成角的余弦值为，∴，
当时，，
此时，不能构成，舍去，
故，，
∵，，∴为直角三角形，故，
∴，即，
∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
法二：（基底法）如图，取中点，由，得，，故二面角的平面角为，
由题意，得，，
设，，，．
则，，，，，
，
∵，∴，
∴或（舍去），
∴，此时，平面平面．
（2）
如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，
∴，，，
设，，则，
∴，得，故.
设平面的法向量，则
令，得，，即，
设平面的法向量为，则
令，则，即，
设二面角的平面角为，
则，
得或（舍），故，
∴，故.
18. （1）
由椭圆，得长半轴长，短半轴长，半焦距，
所以右焦点坐标，长轴长为.
（2）当直线斜率均存在时，设，直线AB方程为，
由消去，得，
则有，点，而直线：，同理，
当时，直线MN斜率，
直线：，整理得，直线恒过定点，
当，即时，直线：过点，
当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设斜率不存在，斜率为0，，直线：过点，
所以动直线过定点.
（3）由（2）知直线过定点，
，
令，当且仅当取等号，，
函数在上单调递增，，
所以，即时，取得最大值.
19.（1）
因为，
所以，
，
，
所以．
（2）由麦克劳林公式，令，有
再取，可得，
所以估算值为．
在中，取，可得.
（3）证明：由麦克劳林公式，当时，令，有，猜想：
令，有，猜想：
令，由，所以，即．
令，由，
再令，则恒成立，
所以在上为增函数，且，
所以在上为增函数，
所以，即．
又时，，，所以.
令， 当，有，
则，命题得证．

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