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2025北京一七一中高二3月月考
数 学
一、单选题（每题4分，共40分）
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．3
2．函数的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　 　)．

A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
4．已知四棱锥有5个顶点，则以其中任意3个顶点组成的三角形的个数是（ ）
A．6 B．10 C．14 D．18
5．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．曲线在点处切线为，则 等于（ ）
A． B． C．4 D．2
7．某航天科研所安排甲，乙，丙，丁4位科学家应邀到创A，B，C三所学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少安排1名科学家，且丙必须去A学校，则不同的安排方式共有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
8．函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1
二、填空题（每题5分，共25分）
11．已知函数f(x)=(x-3)(x-4)，则的图象在x=4处的切线方程为 ．
12．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、艺术5门课各一节的课程表，英语课不排在第5节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）
13．已知函数，则 .
14．用数字0，1，2，3，4，5可组成 个没有重复数字的四位数，在这些四位数中，按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为 ．
15．已知函数，若没有零点则的取值范围为 ．
三、解答题（共6题，合计85分）
16．（本题13分）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本题13分）已知函数，且当时，有极值．
(1)求，的值；
(2)求在上的最大值和最小值．
18．（本题14分）某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）：
高一年级
高二年级
高三年级
（1）试估计该校高三年级的教师人数 ；
（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ；
（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是（单位： 小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为 ，试判断与的大小. （结论不要求证明）
19．（本题15分）已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上.
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共线，求证：直线经过定点.
20．（本题15分）已知函数.
(1)若，
①求曲线在点处的切线方程；
②求证：函数恰有一个零点；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
21．（本题15分）设为正整数，若无穷数列满足，则称为数列.
(1)数列是否为数列？说明理由；
(2)已知其中为常数.若数列为数列，求；
(3)已知数列满足，，，求
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B D C B A A C
11．x-y-4=0．
12．96.
13．24
14． 300 2301
15．
16．
（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（II）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
17．（1）由，得，
又当时，有极值，
所以，解得
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．所以当时，有极小值．
所以，满足题意．
（2）由（1）知，．
令，得，，
，的值随的变化情况如下表：
3 4
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可知在上的最大值为，最小值为．
18．（1）直接根据分层抽样方法，可得高三年级的教师共有（人）；（2）根据互斥事件、独立事件的概率公式求解；（3）分别求出三组总平均值，以及新加入的三个数的平均数为9，比较大小即可.
试题解析：（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，
根据分层抽样方法，高三年级的教师共有（人）
（2）设事件为 “甲是现有样本中高一年级中的第个教师”， ，
事件“乙是现有样本中高二年级中的第个教师”， ，
由题意知：，，
设事件为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”，由题意知，
所以
故；
（3），，
三组总平均值，
新加入的三个数的平均数为9，比小，
故拉低了平均值，∴．
19．（1）因为下顶点和右顶点都在直线上，
故，故椭圆方程为：.
其离心率为
（2）设，则.
则，故，
因为三点共线，故，整理得到：
，
即.
由可得，
故且，
故，
整理得到：，
若，则，故过，与题设矛盾；
若，则，故过定点.
20．
（1）当时，.
①.
所以.
所以曲线在点处的切线方程为.
②由①知，且.
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为.
所以函数恰有一个零点.
（2）由得.
设，则.
所以是上的减函数.
因为，
所以存在唯一.
所以与的情况如下：
+ 0 -
极大
所以在区间上的最大值是
.
当时，因为，所以.
所以.
所以，符合题意.
当时，因为，所以.
所以，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
21．（1）∵，∴，
符合的定义，故数列是数列；
（2）依题意，，，
因为是数列， ，
①，②,
由①②两式解得.
（3）∵ 是 数列， ， ，
①，
， ②，，
由①②得又因为，，所以.同理解得.
∴猜想是等差数列，则，公差，所以数列通项公式为.下面再证明数列为满足条件的唯一数列.
因为，则，假设存在使得不成立，且此时最小的为，则，，，因为，所以，与假设想矛盾，
所以，恒成立，所以.
下面证明数列为数列；
检验： ，∴是数列；
，∴是 数列；
，∴是 数列，
并且 ，（），
∴ ， 符合题意，
故.

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