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2025年3月深圳市盐田高级中学高二数学月考卷
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、单选题（每题5分，共40分）
1．乘积的展开式中项数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
2．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每人只报一项，每项最多有1人，则这 3名学生的参赛的不同方法有（ ）
A．24种 B．48种 C．64种 D．81种
3．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是（ ）
A．5 B．6 C．11 D．30
4．由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有（ ）
A．－个 B．个
C．个 D．个
5．某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲不能去公司，则不同的安排方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．的展开式中常数项为（ ）
A． B． C．5 D．10
7．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项.
A． B． C． D．
8．将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每空6分，共18分）
9．2023年3月30日，西南农业科技博览会暨云南一东南亚五金机电博览会在昆明滇池国际会展中心开幕．展览面积6万平米，参展企业1500余家，采购商8万人次．假设该博览会供应的五金机电中，各品牌的市场占有率和优质品率的信息如下表所示．在该会场中任意购买一品类五金机电，用，，分别表示买到的五金机电为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（ ）
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质品率 80% 90% 70%
A． B．
C． D．
10．某校11月份举行校运动会，甲 乙 丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为，且每人选择相互独立，则（ ）
A．三人都选择长跑的概率为
B．三人不都选择长跑的概率为
C．至少有两人选择跳绳的概率为
D．在三人选择互不相同的前提下，丙同学选择跳远的概率为
11．若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（ ）
A．若是有放回的抽取，则
B．若是无放回的抽取，则
C．若是有放回的抽取，，的数学期望
D．若是无放回的抽取，的数学期望
三、填空题（每空5分，共15分）
12．某次演出已排好5个节目，后增加甲、乙、丙3个节目，要求在不改变原来节目的顺序前提下，且增加的节目不能排在第一个和最后一个，则演出顺序不同的排法有 种．
13．有编号为1，2，3，4，5的五个球，放入编号为1，2，3，4，5的五个空盒中，每盒放一球，恰好有三个球的编号与盒的编号不同，共有_________种放入方法。
14．在杨辉三角中，三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第3个数是 ；若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为，则 ．
四、解答题(共77分)
15．从等8人中选出5人排成一排．
(1) 必须在内，有多少种排法
(2) 必须在内，且排在前面，有多少种排法
(3) 必须都在内，则必须相邻，与都不相邻，都多少种排法
(4) 排头和排尾不允许站，中间（第三位）不允许站，有多少种排法
16．为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时.
(1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差.
17．人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束.
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
18．设.
(1)求；
(2)若是，，，，中唯一的最大值，求的值；
(3)若，求.
19．为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
(3)若志愿活动共有卫生清洁员 交通文明监督员 科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
《2025年3月深圳市盐田高级中学高二数学月考卷》参考答案
1．【详解】从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，根据分步乘法计数原理可知共有项.
故选：C.
2．【详解】由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有种不同的参赛方法；
故选：A
3．【详解】根据分步乘法计数原理不同的取法种数为种；
故选：D
4．【详解】能被5整除，则个位须为5或0，有个，
但其中个位是5的含有0在首位的排法有个，故共有－个．
故选：A
5．【详解】五人的分组有：种不同的方式；
由于甲不能去公司，此时优先有甲的那一组有种不同的安排方式；
剩下的两组有种不同的安排方式.
由分步计数原理可知，不同的安排方式种数为种.
故选：D.
6．【详解】展开式的通项，
显然，则当，即时，，
所以的展开式中常数项为.
故选：A
7．【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则，
的展开式的通项公式，
设展开式中系数最大项是，则，即，
解得，而，因此或，，，
所以展开式中系数最大的项是第3或4项.
故选：D.
8． 【详解】依题意可得， ，
所以.
故选：C
9．【详解】A选项，，所以A选项正确.
B选项，，所以B选项错误.
C选项，，所以C选项正确.
D选项，，所以D选项错误.
故选：AC
10．【详解】由已知
三人都选择长跑的概率为，故A正确.
三人不都选择长跑的概率为，故B错误.
至少有两人选择跳绳的概率为，故C正确.
所以在三人选择互不相同的前提下，丙同学选择跳远的概率为 ，故D错误.
故选：AC
11．【详解】若是有放回的抽取，则，
则，
，故A错误；
若是无放回的抽取，则可能取，，，，
其对应的概率为，，
，，
，
故A、C、D正确，B错误；
故选：ACD
12．【详解】解：根据题意，用逐个插空法，则不同的排法有种；
故答案为：120
13．【详解】答案为：20
14． 【详解】由杨辉三角的性质知，第n（）行的数对应的是展开式的二项式系数，
所以第9行从左到右的第3个数是的展开式的第三项的二项式系数，
所以．
因为第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为，
所以展开式的第12项与第13项的二项式系数的比值为，
即，解得．
故答案为：；.
15．【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，
再将这4人与进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法.
（2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果，
再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法，
又、之间的排列有，
所以排在前面，有种不同排法.
（3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，
，必须相邻，有种不同排法，
由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，
再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，
由乘法原理可得共有种不同排法.
（4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法；
第二类：所选的5人有、无，共有种排法；
第三类：所选的5人无、有，共有种排法；
第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法，
若不排中间时，有种排法，
共有种排法；
综上，共有种不同排法.
16．【详解】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，
则，，，，
由全概率公式可得，
由条件概率公式可得.
因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为.
（2）从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为，
由题意可知，所以，，.
17．【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件.
，
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）（i）因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
（ii）由（i）得，
所以方案①中取到红球的概率为：.
方案②中取到红球的概率为：.
因为，所以方案②中取到红球的概率更大.
18．【详解】（1）由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，
解得，又因为，所以的取值为17,18,19.
（3）由题意可得：，
所以，，
则.
19．【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.
则，
所以.
（2）依题意知服从超几何分布，且，
，
所以的分布列为：
0 1 2
.
（3）方法一：设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.
，
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
方法二：第一类：选到两位男生获得工时为，则
第二类：选到两位女生获得工时为，则
第三类：选到一位女生，一位男生获得工时为，则
所以两人工时之和的分布列为：
6 9 12 15 18
所以.

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