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河北承德市双滦区实验中学
2024--2025学年第二学期高二数学3月份月考试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知函数，则（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3
2.已知函数在处的切线方程为，则（ ）
A. 0 B. C. D. -8
3.下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知f(x)＝ln (2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝(　　)
A. B. C. － D. －
5.函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
6.若函数不存在极值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D.
8.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润P(x)最大时，每年生产产品的单位数是()A. 150 B. 200 C. 250 D. 300
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列求导运算不正确的是()
A. ′＝1＋ B. ′＝ C. (5x)′＝5xlog5x D. (x2cosx)′＝－2xsinx
10.设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　)
A. x＝3是f(x)的极小值点 B. 当0C. 当1f(x)
11.已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)，则下列说法正确的是()
A. 若a≤0，则函数f(x)没有极值
B. 若a>0，则函数f(x)有极值
C. 若函数f(x)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是
D. 若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(－∞，0]∪
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.若曲线在点处的切线方程是，则________．
13.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
14.已知函数f(x)＝令g(x)＝f(x)－kx＋1，若函数g(x)有四个零点，则实数k的取值范围为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题13分）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
16.(本小题15分）某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润(单位：万元)与投资成本(单位：万元)满足：，为常数，，)；乙产品的平均成本利润(单位：万元)与投资成本(单位：万元)满足：.已知投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元.
(1)求，的值；
(2)若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？
(参考数据：，)
17.(本小题15分）函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x+y-11=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)的图象与y=f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围.
18.(本小题17分）设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分）已知函数.
（1）若的极小值为-4，求的值；
（2）若有两个不同的极值点，证明：.
参考答案：
1.【答案】C
【解析】因为函数，由定义可知表示函数在处的导数，，代入可得结果
2.【答案】B
【解析】 因为直线方程斜率为 所以函数在处的导数.
3.【答案】C
【解析】对于A，因为是常数，又(为常数),故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
4.【答案】A
【解析】f′(x)＝－a，所以f′(2)＝－a＝－1，解得a＝.
5.【答案】B
【解析】对函数求导得，
令，解得，则函数的单调递增区间为.
6.【答案】A
【解析】对函数求导得，
由函数不存在极值，则，即，解得.
7.【答案】B
【解析】法一：由题意，，对于，
当，即时，，在上单调递增，
所以，即，因此；
当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，
不妨设，则上，上，上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由此，，.
由，则，同理可得，
所以，，则，解得，与矛盾.
综上，.
法二：由题意得：，.
当时，，即，所以；
，又，，即，
所以.
综上，，即，得.
8.【答案】D
【解析】由题意得，总利润
P(x)＝
当0≤x≤390时，令P′(x)＝0，得x＝300，
可知当0≤x<300时，P(x)单调递增，当300且P(390)＝31090.
又当x>390时，P(x)＝70090－100x单调递减，且P(x)<70090－100×390＝31090，
所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大．
9.【答案】ACD
【解析】′＝1－，故A错误；′＝，故B正确；
(5x)′＝5xln5，故C错误；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错误．
10.【答案】ACD
【解析】对于A，因为函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，
易知当x∈(1,3)时，f′(x)<0；
当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，
在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
故x＝3是f(x)的极小值点，故A正确；
对于B，当0x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0，
由A选项分析可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，
所以f(x)>f(x2)，故B错误；
对于C，当1由A选项分析可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减，
所以f(1)>f(2x－1)>f(3)，
即－4对于D，当－1f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)>0，
所以f(2－x)>f(x)，故D正确．
11.【答案】ABD
【解析】由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞ )，且f′(x)＝a－＝，
若a≤0，则f′(x)<0恒成立，此时f(x)单调递减，没有极值，
又当x趋近于0时，f(x)趋近于＋∞，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于－∞，
∴f(x)有且只有一个零点．
若a>0，在上f′(x)<0，f(x)单调递减，在上f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x＝时，f(x)取得极小值，同时也是最小值，
∴f(x)min＝f ＝1＋lna，
当x趋近于0时，lnx趋近于－∞，f(x)趋近于＋∞，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于＋∞，
当1＋lna＝0，即a＝时，f(x)有且只有一个零点；当1＋lna<0，即0f(x)有且仅有两个零点．
综上可知A，B，D正确，C错误．故选ABD.
12.【答案】2
【解析】因为函数，所以函数的定义域为，
由曲线在点处的切线方程是得切线斜率为2，当时，，
由得，所以，解得，
所以，解得，所以.
13.【答案】c【解析】由f(x)＝f(π－x)知，f(x)的图象关于x＝对称．
因为f′(x)＝1＋cosx≥0，
故f(x)在上是增函数，
f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，
∵>π－2>1>π－3>0，
∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c14.【答案】
【解析】当g(x)＝0时，f(x)＝kx－1，故原问题可转化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝kx－1的交点个数问题，画出图象如图．
令h(x)＝(x－1)3(x<2)，则h′(x)＝3(x－1)2，
设切点P的坐标为(x0，y0)，
则过点P的切线方程为y－(x0－1)3＝3(x0－1)2(x－x0)，
将点(0，－1)的坐标代入，可得－1－(x0－1)3＝－3x0(x0－1)2，整理得2x－3x＝0，
所以x0＝0(舍去)或x0＝；
故h′＝，又(0，－1)，(2,1)两点连线的斜率为＝1，故15.【答案】解：（1），则在点处的切线的斜率
，在点处的切线与直线垂直
所以，解得；
（2）由，故，
则，，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增
故的单调递增区间为,，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
16.【答案】解：(1)由题意知，，
整理得，解得，；
(2)设甲产品投资万元，乙产品投资万元，且，
则该公司获得的利润，；
则在上单调递减，
令，解得或(舍去)，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴，
∴当甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元.
17.【答案】解　(1)f'(x)=3ax2-12ax+3b.
由题意得f'(2)=-3,且f(2)=5,
即解得a=1,b=3.
所以f(x)=x3-6x2+9x+3.
(2)由(1)知f(x)=x3-6x2+9x+3,f'(x)=3x2-12x+9,
从而y=f'(x)+5x+m=(3x2-12x+9)+5x+m=x2+x+3+m.
由题意得方程x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,
即函数g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点.
g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),
令g'(x)=0,解得x=或x=4.
当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
故函数g(x)的极大值为g-m,极小值为g(4)=-16-m.
由y=f(x)的图象与y=f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,即函数g(x)的图象与x轴有三个不同的交点,
得解得-16故实数m的取值范围为.
18.【答案】解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取得最小值，
即f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
∴g(t)在(0,2)内有极大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0，
∴m的取值范围为(1，＋∞)．
19.【答案】解：（1）由函数得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得极小值，
由，解得或（舍去）.
故值为.
（2）由题意可知，，
所以，因为函数有两个不同的极值点，
所以方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根.
令，则，
令，解得，令，解得
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
验证可知，，
由得，所以.
当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根.
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
不妨设，则.
令，
则，
所以在上单调递增，则当时，，
所以
又，函数在上单调递减，
所以，则，
因为，故.

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