资源简介

长阳二中2023级高二下3月考试
数学试卷
考试内容：高二所学内容 分值：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分，请将正确答案序号填涂在答题卡相应位置）
1．甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，
则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（ ）
A．0.38 B．0.24 C．0.14 D．0.5
2．圆上动点到直线距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．五一小长假期间，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过
景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．64种 B．48种 C．36种 D．24种
4．函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
5．为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的
鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的
摆放方案共有（ ）
A．48种
B．36种
C．24种
D．12种．
6．已知函数 有三个不同的零点，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．函数的大致图象是（ ）
8．已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分对得部分分，选错不得分）
9．已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法
正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则的周长为7
D．若，则的离心率为
10．若函数在区间上单调，则实数m的值可能是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，
则下列说法正确的是（ ）
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，共15分，请将最终结果填写在答题卡对应处）
12．已知数列的前项和满足，则 ．
13．为了开展法制教育宣讲活动，某单位从甲 乙 丙 丁四名宣讲员中随机安排两名到A、B两个社区
进行宣讲，则恰好安排甲和丙进行宣讲的概率是 .
14．设a，b为实数，函数，直线是曲线的切线，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题请将必要解答过程填写在答题卡对应位置）
15．(本题满分13分) 已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字．
(1)可以组成多少个允许数字重复的三位数？
(2)可以组成多少个不允许数字重复的三位偶数？
16．(本题满分15分) 已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
17．(本题满分15分)已知等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式及前n项和Sn；
(2)设，求证：数列的前项和．
18．(本题满分17分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
(1)求直线平面夹角的正弦值；
(2)求点到平面的距离．
19．(本题满分17分)已知函数（为常数）.
(1)求证：当时，；
(2)讨论函数的单调性；
(3)不等式在上恒成立，求实数的最小整数值.
长阳二中2023级高二下3月考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B B A C D D ABD AC AD
12． 13． 14．
15．(1) 180 (2) 52
【详解】（1）解：完成任务分3步：
①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；
②十位数字有6种选法；
③个位数字有6种选法．
所以，由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）解：先分3类：个位数分别为0,2,4.
①第一类个位数排0时，有个；
②第二类个位数排2时，百位不能排0，所以有44=16个；
③第三类个位数排4时，百位不能排0，所以有44=16个；
所以，由分类计数原理知所求三位数共有20+16+16＝52个．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
(缺少文字论述适当扣分)
16．(1)，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最大值为2，最小值为.
【详解】（1），。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
由题意得，即，解得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
故解析式为，定义域为R，
令，令得或，
令得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
故在上单调递增，在上单调递减，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
（列表也可以）
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
列表如下：
-1 1 2
+ 0 - 0 +
f(-1) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 f(2)=2
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分
又 。
故的最大值为2，最小值为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
17．(1) (2) （2）求得，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）由题意可知，
等差数列的公差为，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
所以，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
又所以为所求 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
（2）因为，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
因此。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
<,所以. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
18．(1) (2)
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
，
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
设平面的法向量为，
则，
令，则，则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
又,则直线平面夹角的正弦值为
为所求；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
（2）由（1）知，平面的法向量为，, 。。。。。。。。。。。。。。。12分
点到平面的距离为．为所求。。。。。。。。。。17分
（斟 酌 给 分）
19．(1)证明见解析；(2)答案见解析； (3) 2.
【详解】（1）当时，，(,
求导得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
当时，，函数在上单调递减；
当时， ，函数在上单调递增，
所以，所以.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）函数的定义域为，
求导得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
当时，，函数在上单调递增；
当时， 时，由，函数在上单调递减；
时， 由，函数在上单调递增；。。。。。。。。10分
综上：当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
（3）不等式，
依题意，，恒成立，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
令，
求导得，
当时，，函数在上单调递增
当时，，函数在上单调递减，
，则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分
所以实数的最小整数值是.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17分
（以上列表也可以；（3）也可以利用（2）的单调性）

展开更多......

收起↑