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湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024 2025学年高三下学期月考（七）数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足：，且的实部为2，则（ ）
A．2 B． C． D．5
3．（ ）
A． B． C． D．
4．某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（ ）
A．15 B．18 C．30 D．36
5．已知，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
6．在矩形中，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点，使得，，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．3
8．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是（ ）
A．直线过点
B．直线的斜率即为和的相关系数
C．和的相关系数在到1之间
D．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数相等
10．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A．f(x)是偶函数` B．f(x)在区间单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点 D．f(x)的最大值为2
11．已知，且，函数，则（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，有两个零点
C．当时，有且仅有1个零点
D．存在，使得存在三个极值点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知椭圆的焦点为，且离心率，若点在椭圆上，，则 .
13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
14．如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若的面积为3，求的值.
16．如图，三棱锥中，平面，是空间中一点，且平面.

(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
17．年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.608 19.5 8.04
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（精确到小数点后两位）
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费 研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润毛利润×年销售量年广告费年研发经费随机变量）.
附：①相关系数，
回归直线中；
②参考数据：
18．已知抛物线.过点的动直线与交于两点（在第一象限），且（为坐标原点）.
(1)求的值；
(2)设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值；
(3)面积最小时，过作直线交抛物线于两点.轴且的中点在直线上，证明：直线过定点.
19．已知函数.
(1)当时，若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，设为的从小到大的第个极值点.证明：数列是等比数列；
(3)设函数在区间内的零点依次为，.求证：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，，
因为，
所以，
因为，
所以．
故选D．
2．【答案】B
【详解】设，则，而，
∴，解得，
∴，故.
故选B.
3．【答案】D
【详解】由题意，
.
故选D.
4．【答案】C
【详解】可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为.
故选C.
5．【答案】A
【详解】，
则
两式相加得
所以，
所以.
故选A.
6．【答案】D
【详解】如图所示，在矩形中，过作交于点，将沿直线折成，则点在面内的射影在线段上（不包含两点），
设到平面上的距离为，则，
由二面角，线面角的定义得：，
显然，所以最大，所以最大，
当与重合时，，
因为，所以，则，所以，
所以，
故选D.
7．【答案】B
【解析】根据双曲线的定义可得,则.由已知可得.两式作差得又,所以,即,得，两边平方得,即,即,则,所以双曲线的离心率,故选B.
8．【答案】A
【详解】令，则，
由，
得，
则，
则，均为方程的根，
则，即，
所以.
故选A.
9．【答案】AC
【详解】回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A项正确；
两个变量的相关系数不是回归直线的斜率，两者公式不同，故B项不正确；
两个变量的相关系数在到1之间，故C项正确；
所有样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D项不正确.
故选AC.
10．【答案】AD
【详解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；
B.当时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误；
C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，
∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；
D.∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当或时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故D正确．
故选AD．
11．【答案】ABC
【详解】对于A，当时，
要证明，即证明，
即证明，即证明，
设，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，故A正确；
对于B，当时，由得，
当时，由A的分析可知，，因此有两个零点，故B正确；
对于C，当时，单调递减，
存在唯一零点，故C正确；
对于D，，令得，
两边同时取对数得，
设，
，令得，
则在上单调递减，
在上单调递增，最多有两个零点，
最多有两个极值点，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】2
【详解】椭圆，椭圆的焦点在轴上，，
则离心率，即，由解得，
椭圆的长轴长为，
由椭圆的定义可知，.
13．【答案】
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
14．【答案】
【详解】因为直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60 ，边长为1，
∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，
∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，
∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，
∴当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥的体积有最小值．
将平面BB1D1D单独画图可得，
当B点到O1H的距离最小时，△O1MH的面积有最小值．
过点B做BF//O1H，可得直线BF上方的点到O1H的距离比直线BF上的点到O1H的距离小，而线段BD上除B点外的所有点都在直线BF下方，到O1H的距离比B点到O1H的距离大．
即当M点在B点时，△O1MH的面积取得最小值，且三棱锥的体积有最小值．
连接O1B, 则O1B=OB1==，
∴B1到O1B的距离d===，
∵OH=3HB1，
∴H到直线O1B的距离为d=．
∴===，
∴===．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由余弦定理可得：，
，
又，
，即，
又，，可得，
，即，
.
（2）由（1）知，，
又，故，，
，
解得.
.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过点作，垂足为，

因为平面平面，所以，
因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面平面，所以平面.
（2）设，且，
以为坐标原点，BD为y轴，BA为z轴，过B垂直BD（与CD平行）的线为x轴，
如图建立空间直角坐标系，

则，
又，
由（1）设，
设平面的一个法向量，
则，令，则，所以，
设平面的一个法向量，
则，令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
所平面与平面的夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
(2)， 13（百万辆）
(3)0.3
【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为.
由题意可得：，
.
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）因为，
又由，得，
所以，即回归方程为.
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，
令，
所以.可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，
由题意得：，即，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.
18．【答案】(1)
(2)32.
(3)证明见解析
【详解】（1）设，
联立方程①，
②，
.
（2）由（1）知，故处切线方程为：，即.
同理，点处切线方程为：.联立解得.
由②及可得.
方程①中，.
点到直线的距离.
故，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为32.
（3）由（2）知，此时，设，
联立方程，
，
，令，得，
，
又
，即，
所以三点共线，故直线过定点.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，恒成立，
当时，，故恒成立，
令，则，
所以当时，单调递减，则，故.
（2），
令，由得，即，
对，若，则；若，则，
因此，在区间与上符号总是相反，
于是，当时，取得极值，所以，
此时，，易知，
而是常数，
故数列是首项为，公比为的等比数列.
（3）由，则，
因为，所以，
所以在区间上单调递减，
又，
，
当时，存在唯一，使得，
记，则，由（1）知，时，在上恒成立，故，
即，整理得，
要证，等价于证，
只需证，
设，则，
所以单调递增，则，原命题得证.

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