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江西省南昌市江西师范大学附属中学2024 2025学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共9小题）
1．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
2．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）
A．公差 B．在所有中，最大
C．满足的n的个数有11个 D．
5．一组数据如下表所示：
1 2 3 4
已知变量关于的回归方程为，若，则预测的值可能为
A． B． C． D．
6．已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列满足，.若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（ ）
①数列具有单调性； ②数列有最小值为；
③前n项和Sn有最小值 ④前n项和Sn有最大值
A．0 B．1 C．2 D．3
9．设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则既是等差数列又是等比数列
B．“，，成等差数列”是“”的充分不必要条件
C．若，则是等比数列
D．若是等比数列，则，，也成等比数列
二、多选题（本大题共2小题）
10．已知数列满足，，，则（ ）
A． B．是递减数列
C． D．
11．已知数列满足，，定义其“双阶变换”数列为.以下命题正确的是（ ）
A．的通项公式为
B．存在周期性
C．当为偶数时，
D．的奇数项之和为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设正项数列满足，，则数列的通项公式是 ．
13．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 .
（参考数据：）
14．在陈塘关，哪吒发现高中学生的仙术成绩（类似数学成绩设为）、法定操控成绩（类似物理成绩设为）、灵符绘制成绩（类似化学成绩设为）两两成正相关关系.哪吒随机抽取了55名仙童，仙术成绩和法定操控成绩的样本线性相关系数为，法定操控成绩和灵符绘制成绩的样本线性相关系数为，求仙术成绩和灵符绘制成绩的样本线性相关系数的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2025项和.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过作直线交于，两点，的最小值为4.
(1)求的方程；
(2)若，过作与关于轴对称的直线交于C，D两点，求四边形的面积.
17．设公比为正的等比数列前项和为，且成等差数列．
(1)求的通项；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
18．近期，流感在某小学肆意传播.流感病毒主要在学生之间传染，低年龄段（一、二年级）的学生感染情况相对较多.病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，传染给其他同学的可能性越高.学校对300个感染流感病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计得出潜伏期的平均数为2，方差，若把超过3天的潜伏期视为长潜伏期，按照年级统计样本，得到如下列联表：
年龄/人数 长潜伏期 非长潜伏期
低年龄段（一、二年级） 40 100
高年龄段（三~六年级） 30 130
(1)是否有95%的把握认为“长潜伏期”与年级有关？
(2)假设潜伏期服从正态分布，其中近似样本平均数，近似为样本方差
（i）学校现在对有流感症状学生的密切接触者一律要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性.
（ii）以题目中的样本估计概率，设800个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，当为何值时，取最大值.
（附：，）
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
若，则，，.
参考数据：，，.
19．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)保持数列中的各项顺序不变，在每项与之间插入一项，组成新的数列，记数列前项和为，若，求的最小值；
(3)已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
故选C.
2．【答案】B
【详解】当时，所假设的不等式为，
当时，要证明的不等式为，
故需添加的项为：，
故选B.
3．【答案】C
【详解】已知，那么.
所以.
化简后得到.
因为是递增数列，所以对恒成立，
即对恒成立.这意味着对恒成立.
对于函数，，越大，的值越小.
当时，取得最大值，所以.
故选C.
4．【答案】C
【详解】等差数列中，最大，且，，A正确；
，，，D正确；,
，，；
的值当递增，当递减，前12项和为正，当时为负．
故B正确；满足的n的个数有12个，故C错误.
故选C．
5．【答案】C
【详解】将式子两边取对数，得到，令，得到，
根据已知表格数据，得到的取值对照表如下：
由上述表格可知：
，，
利用回归直线过样本中心点，即可得，
求得，则，
进而得到，将代入，
解得.
故选C.
6．【答案】A
【详解】由可得,
即数列是以为首项，公比的等比数列，
可得，即；
所以，
因此
，且当x趋近于+∞时，趋近于，
所以实数k的取值范围为.
故选A.
7．【答案】D
【详解】由已知，数列是公比为2的等比数列，
所以，时，.
两式相减得，
所以，
故选D．
8．【答案】A
【详解】由，有.
当时，有，解得，
此时数列是每一项都是正数的单调递增数列，所以其前n项和Sn没有最大值，故④不正确；
当时，有，解得或.
当时，数列是摆动数列，不具有单调性，故可知①、②不正确.
当，时，，故前n项和Sn无最小值，故可知③不正确.
故选A.
9．【答案】C
【详解】对于A，若，则不是等比数列，A错；
对于B，，，成等差数列，例如，但是，B错；
对于C ,若，则时，，也适合上式，所以，是等比数列，C正确；
对于D，等比数列，若，则，此时不可能是等比数列，D错，
故选C．
10．【答案】AC
【详解】对于B，显然，否则与矛盾，由已知得，即，是递增数列，B错；
对于A，由上分析知，所以，
而，
所以，A正确；
对于C，由得，
所以，
所以
，C正确；
对于D，，，
所以，
所以，D错；
故选AC．
11．【答案】AC
【详解】由题意，，当时，，
所以
当时，适合上式，所以.
故A正确.
由题意，，
当为偶数时，，
此时，则有即，
所以
当为奇数时，则为偶数，则有，
所以
故B错误，C正确.
对于D，为了方便计算，采用，
当为奇数时，其前项中，奇数项有项，
则
当为偶数时，其前项中，奇数项有项，
此时为奇数，根据上述结论，则有
则
故D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】原式两边同时取对数，得，
即．设，则，
又，
所以是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，所以，所以．
13．【答案】5
【详解】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为，
第次操作，去掉的线段长度为，
，则，
由的最大值为5.
14．【答案】
【详解】设，，，
记，，，
由相关系数公式知，
设与夹角为，与夹角为，
因为仙术成绩和法定操控成绩的样本线性相关系数为，法定操控成绩和灵符绘制成绩的样本线性相关系数为，
所以，，由这两个夹角都是锐角，所以，
所以与夹角为或，
则与夹角余弦的最大值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列公差为，
由题意可知，即，
∴，则，解得，
∴.
（2），
当为偶数时，为奇数，则，即，
当时，，
当为偶数时，，当为奇数时，，
设数列的前项和为，
则，
.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设半焦距为，由，得，
当轴时，的值最小，将代入，
得，所以，解得，，
故的方程为：.
（2）由题意得，直线的斜率不为0，设，联立，
整理得.
易知，设，，则，
由得，
代入（*），得，，解得.
由对称性可知，四边形为等腰梯形，其面积为：
，
所以四边形的面积为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为等比数列公比,，
所以，即，
是等差数列，所以，
所以.
（2）因为，所以
所以，故，
累加法得出，
，
.
18．【答案】(1)有95%的把握认为“长潜伏期”与年级有关；
(2)（i）见解析；（ii）186.
【详解】（1）由题意，
所以有95%的把握认为“长潜伏期”与年级有关；
（2）（i）由题意，潜伏期，
，
所以，
即潜伏期5天或以上的概率约为，非常的小，
所以隔离5天后，一般不会再传染，即隔离5天是合理的；
（ii）由题意，1个人属于长潜伏期的概率为，
所以，
设时最大，
则，
解得，又，所以，
所以时取得最大值．
19．【答案】(1)
(2)
(3)不存在，说明理由见解析.
【详解】（1）
当时，，
两式作差得，即，
令，则，得，满足上式，
则数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，，
则
，
则，
则，
因，故数列为递增数列，
则时的最小值为.
（3）不存在正整数，，使成立，理由如下：
，则，
令，
则
若，则，得，
则，
，
欲使，只需，即，
又，且数列是递增数列，故，
故只需即可，
而，
则数列是递减数列，
因，故不存在使成立，
即不存在正整数，，使成立.

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