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山东省临沂市郯城县高考补习学校2024 2025学年高三下学期三月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．2
6．已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，（ ）
A．
B．1
C．4
D．16
7．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列5个结论：
①函数的定义域为；
②；
③函数的图像关于直线对称；
④当时，函数的最大值为；
⑤方程有四个不同的实根；
其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则 D．若，则
10．已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．的最小正周期为 B．
C．是函数的一个对称中心 D．在区间的最小值为
11．如图，四棱锥中，底面是正方形， 平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则( )
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点的距离之积为定值.当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则 .
13．在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为 .
14．项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点．
(1)求证：平面平面；
(2)已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积．
16．2025年1月1日，某地举行马拉松比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表：
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意 r s 50
非常满意 t 40 70
合计 60 l 120
(1)求的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？
(3)用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望.
附：，.
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)求证：；
(2)若.
（i）求；
（ii）若，且的面积为，求的周长.
18．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点．
（i）若，求的方程；
（ii）已知分别是的左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值．
19．已知函数的图象与x轴的三个交点为A，O，B（O为坐标原点）.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有三个零点，求a的取值范围；
(3)若，点P在的图象上，且异于A，O，B，点Q满足，，求的最小值.
参考答案
1．A
2．A
3．C
4．B
5．A
6．D
7．C
8．B
9．ACD
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14．/
15．（1）由，得，
又平面，则平面，
而平面，于是，由为中点，，得，
又平面，因此面，又平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知，二面角的平面角为，则，
由平面，得为与平面所成的角，
在中，，则，，
而，则，此时，
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，于是，
在中，，则，
所以四面体的体积.
16．（1）完善二联表为：
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意 30 20 50
非常满意 30 40 70
合计 60 60 120
故，故；
（2）零假设依据小概率值的独立性检验，认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，
，
故依据小概率值的独立性检验，能认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异.
（3）由于女性对服务满意的概率为，男性对服务满意的概率为，
故，
，
，
故的分布列为
0 1 2
故.
17．（1）因为，所以.
又因为，所以原式左边右边，得证.
（2）（i）由（1）可得.
又由正弦定理得，即.
由余弦定理得.
因为，得.
（ii）由题知，由，得.
又由余弦定理，可得，
即，所以.
所以，故的周长为16.
18．（1）椭圆过点，故，
且离心率，解方程组，得：，
故椭圆方程为: .
（2）（i）过点的直线（与轴不重合）,故设直线，
设，联立 ，整理得：，
故，
故，
即，解得，
故的方程为：.
（ii）分别是的左、右顶点，故
故直线的方程为：，
当时，，故，
同理可得：直线的方程为：，，
且，故,
故，
因为，故，
所以，
故与的面积之比为定值7.
19．（1）由已知得，有三个根，令，得或，
所以有两个不同的解，所以，又，
令，得或，令，得，
所以当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
（2）令，得，令，
因为，所以为奇函数.
因为，所以0是的一个零点，
要使有三个零点，只需要在有且仅有一个零点.
在上单调递增，.
当，即时，，所以在上单调递增，
由，得在上无零点，不合题意，舍去.
当，即时，，
所以存在，使得.
当时，，所以在上递减；
当时，，所以在上递增.
当时，，且.
当时，，
令，解得，所以，
所以在上存在唯一的零点.
综上，.
（3）设，且，
因为点异于，所以.
由，得，
即，解得，则，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.

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