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山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2024 2025学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（ ）
A．36种 B．72种 C．144种 D．720种
2．已知函数的导函数为，若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．将甲 乙 丙 丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲 乙二人分别去了不同岗位的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数，则函数从到的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
7．在二项式的展开式中各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在上单调递增，则的范围为
D．函数有两个极值点
11．某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是（ ）
A．如果甲工序不能放在第一，共有96种加工顺序
B．如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C．如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D．如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序
三、填空题（本大题共3小题）
12．展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为 ，若函数存在极值，则的取值范围为 .
14．已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数
(1)求函数的导数；
(2)求函数的单调区间和极值点．
16．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课.
(1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？
(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
(3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
17．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
18．已知函数，其中为常数.
（1）若曲线在处的切线在轴上的截距为2，求的值；
（2）若有两个极值点，（），求的取值范围，并比较与的大小.
19．已知函数是定义在上的函数，若满足对任意的，有，则称具有性质.
(1)判断函数和是否具有性质，并说明理由；
(2)函数具有性质，命题恒成立；命题是严格增函数；试判断命题是命题的什么条件？并说明理由；
(3)若函数具有性质，求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】甲、乙、丙三人在一起，有种不同的排法，
把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的3个人混排，共有种不同的排法，
故共有种，
故选C.
2．【答案】A
【详解】解:,
,
，
即.
故选A.
3．【答案】C
【详解】二项式展开式的第项为.
又展开式中的系数是84，即.
.
故选C.
4．【答案】D
【详解】由，则，故．
故选D.
5．【答案】D
【详解】甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人，
则必有2人分配到同一个工作岗位，先从4人中选出2人，有种选择，
再进行全排列，有种选择，故总的方法有种，
其中甲、乙两人被分到同一个工作岗位的情况：从3个岗位中选出一个分配给甲乙，
再将剩余的丙丁和剩余的两个岗位进行全排列，有种选择，
所以甲 乙二人分配到同一个工作岗位的概率为，
故甲 乙二人分别去了不同工作岗位的概率为.
故选：D
6．【答案】B
【详解】因为，所以，，
故函数从到的平均变化率为，
故选B.
7．【答案】A
【详解】令，则，即，
而，
由，则，令，则，解得，即，故，
则的二项式的展开式的通项公式为，
令，则展开式中含项的系数为，
故选A.
8．【答案】D
【详解】因为，所以，
又函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
因为，
当时，，所以，
所以.
故选D.
9．【答案】AD
【详解】A：，故正确；
B：，故错误；
C：，故错误；
D：，故正确.
故选AD.
10．【答案】ABD
【详解】由，则，
A选项：由，解得，
，，A选项正确；
B选项：，解得，B选项正确；
C选项，D选项：，
由，
所以令，解得或，
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为，
则函数函数有两个极值点，D选项正确；
又函数在上单调递增，则，解得，
或，无解，综上，C选项错误.
故选ABD.
11．【答案】AC
【详解】对于A，假设甲工序不能放在第一，，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理，
所有的安排顺序有：种，故A正确；
对于B，甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，
则共有种加工顺序，故B错误；
对于C，假设甲丙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，
安排甲丙，故共有：种加工顺序，故C正确；
对于D，现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的顺序，
故共有，故D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】展开式的通项公式为：
，
令，解得，
所以展开式中的系数为.
13．【答案】 2（满足均可）
【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在上单调递增，
则，解得，例如；
可知为连续不断函数，若函数存在极值，则在上不单调，
所以的取值范围为.
14．【答案】
【详解】若从只会韩语中选3人，则种，
若从只会韩语中选2人，则种，
故不同的选人方案共有种．
15．【答案】(1)
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为.极大点为，极小值点为
【详解】（1）由题得.
（2）的定义域为，
，
令，或.
当变化时，的变化情况如下表，
正 0 负 0 正
单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
函数的极大值点为，极小值点为.
16．【答案】(1)480
(2)504
(3)504
【详解】（1）先排其它四科，共有种方法，再把数学和物理插入空中，有种方法，共有种.
（2）第一节安排数学，则其余科目没有要求，共有种方法；
第一节不安排数学，先排第一节有种方法，再排第四节有种方法，最后安排其它节有种方法，
所以共有种方法.
（3）九科随机排列共有种排法，六科在其中的排法有种，所以共有种.
17．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为函数的图象过点,所以,
又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直,
所以,
由解得,所以.
（2）由(1)知，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以在单调递增，单调递减，
单调递增，
根据函数在区间上单调递增，
则有或，解得或.
18．【答案】（1）3；（2），.
【详解】（1），定义域是，
，故，又，
故切线方程为： ，即，
由已知得：，解得：；
（2）（），
设函数（），
由题意得：，是在区间内的两个变号零点，
于是，解得：，
故所求a的取值范围是.
由，且在区间内递减，故，
由得，于是，
又，
故，
设函数（），则，
故在递增，故，故，
结合，得，
故.
19．【答案】(1)不具有，具有，理由见解析
(2)充分非必要条件，理由见解析
(3)
【详解】（1）由可知不具有性质；
由可知具有性质.
（2）若恒成立，则对有，所以是严格增函数.
对，有，所以，故具有性质.
同时，是严格增函数，但.
所以命题是命题的充分非必要条件.
（3）若具有性质，则，即.
所以对任意的，取，即得.
此即，所以对任意的，都有.
假设，考虑函数，则对有，所以在上递增.
故，即，此即，从而对任意，有.
但对，有，矛盾，所以.
当时，，而对有
.
故，所以，这表明具有性质.
综上，的最大值是.

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