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陕西省汉中市西乡县第一中学2024 2025学年高三下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．函数的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
6．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（ ）（单位：米，）
A．42.42 B．45.42 C．50.42 D．60.42
7．如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（ ）
A．2两4铢 B．2两14铢 C．3两2铢 D．3两12铢
8．已知函数的定义域为，，都有：，且，则（ ）
A．1600 B．1601 C．820 D．821
二、多选题（本大题共3小题）
9．某手机商城统计的2024年5个月智能手机的销量（万部）如下表所示：根据表中数据用最小二乘法得到的关于月份编号的回归直线方程为，则（ ）
月份 7月 8月 9月 10月 11月
x 1 2 3 4 5
y 2 2 3 m 4
A．
B．与正相关
C．当月份编号增加1时，销量增加0.5万部
D．预测2025年6月份该手机商城的销量约为6万部
10．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为 B．
C． D．
11．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（ ）
A． B．Sigmoid函数是减函数
C．函数的最大值是 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知角的终边过点，则 .
13．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么 .
14．已知曲线，则下列说法正确的有 .
①不是封闭图形 ②有4条对称轴
③与坐标轴有4个交点 ④与直线有4个交点
四、解答题（本大题共5小题）
15．数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：.
16．在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
17．已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数.
(1)当时，令，求在处的切线方程.
(2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围.
(3)若方程有两个不等实根，求的取值范围.
18．某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
参考数据：；若随机变量，则，
，.
(1)试估计这批零件直径在的概率；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望；
(3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.
19．已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：线段垂直于轴；
（ii）记的面积为的面积为，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由集合，
又因为，可得.
故选B.
2．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，所以.
故选C.
3．【答案】C.
【详解】由，可得.
故选C.
4．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，所以向量在向量上的投影向量为.
故选D.
5．【答案】B
【详解】设第一次取得白球为事件，第二次取得红球为事件，
所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：
.
故选B.
6．【答案】A
【详解】由题意，在中，，
由正弦定理可知.
在中，易知，
于是.
故选A.
7．【答案】B
【详解】设九枚铜环权按从小到大的顺序排列后的质量为，
由题意知，，，得，
则，，，铢两14铢．
故选B.
8．【答案】D
【详解】依题意，由，得，两式相加得，
而，因此，
取，则，
所以
.
故选D.
9．【答案】AB
【详解】对于A，由表中数据，计算得，
故得到，
则，解得，故A正确，
对于B，由回归直线方程中的系数为正可知，
与正相关，且其相关系数，故B正确；
对于C，线性回归方程只是一种统计预测方法，当月份编号增加1时，销量不一定增加0.5万部，故C错误，
对于D，2025年6月份对应的月份编号，
而，故D错误.
故选AB.
10．【答案】BD
【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上，
则焦点，所以A错误；
由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确；
由，可得，所以，则，所以C不正确；
由，所以D正确．
故选BD．
11．【答案】ACD
【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称，进而可以求D.
【详解】由函数得.
对于A，，故A正确；
对于B， ，，则Sigmoid函数是增函数，故B错误；
对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D，因为＋＋1，
所以，故D正确．
故选ACD.
【思路导引】求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解.
12．【答案】10
【详解】由角的终边过点，得，
所以.
13．【答案】3：4
【解析】设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，计算体积得到答案.
【详解】设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，
，.
14．【答案】①③④
【详解】对于①，因为，
所以或，
所以E是由单位圆M和实轴长为2，焦点为的等轴双曲线构成，故①正确；
对于②，由①项分析知，E只关于轴，轴对称，所以E只有两条对称轴，故②错误；
对于③，由①项分析可知，曲线E与坐标轴的交点为，故③正确；
对于④，因为C的一条渐近线方程为且，
根据双曲线的性质可知，直线与双曲线有2个交点，
又直线与圆M有2个交点，故直线与有4个交点，故④正确.
15．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题可得：，
即：，
解得，
所以.
（2）证明：设，
则，
所以，
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点为，连接，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
在直角三角形中，，为中点，所以，
又，所以，
所以°，即，
又∵，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）
由（1）知两两垂直，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系
则，所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
设平面的法向量为，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，所以，，，所以，所以在处的切线方程为；
（2）由，得，
记，所以，
当时，恒成立，为增函数，不符合题意，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
因为在区间上不是单调函数，所以，解得，
即的取值范围为.
（3）方程，
当时，显然方程不成立，所以，则.
方程有两个不等实根，即与的图象有个交点，
且，其中，
当或时，，在区间和上单调递减，
当时，，在区间上单调递增.
当时，，当时，，
则当时，且当时，取得极小值，
作出函数的图象，如图所示：
因此与有个交点时，，即，
故的取值范围为.
18．【答案】(1)0.47725；
(2)分布列见详解，1；
(3).
【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得
，
，
故，，
设表示零件直径，则，即，
则，
，即；
（2）由题意知，这批零件直径在的概率为，
Z的取值范围为，
则，
，
，
，
，
因此可得Z的分布列为
Z 0 1 2 3 4
P
因为Z服从二项分布，则Z的数学期望；
（3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件B，
则，，，，
则，
，
所以这个零件是甲机器生产的概率为.
19．【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.
设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是.
（2）（i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为，
联立可得：，，
则，
.
故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴.
（ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以，
，
则，
令，则，
令，则，解得；
令，解得.
则在上单调递增，在上单调递减，
，所以的取值范围为.

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