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3.3二项式定理与杨辉三角
1．在的展开式中，的系数为( )
A.3 B.6 C.60 D.30
2．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为( )
A.31 B.30 C.29 D.28
3．的展开式中x的系数为( )
A. B. C. D.
4．的展开式中的常数项为( )
A. B.20 C. D.30
5．若对,恒成立,其中a,,则( )
A. B.0 C.1 D.2
6．的展开式中x的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
7．的展开式中的系数为________.
8．二项式的展开式中的常数项为________.
9．的展开式中的系数为________.（用数字作答）
10．若展开式中的常数项为,则实数________.
11．若的展开式中的常数项为，则________.
12．的展开式中的系数为______________.（用数字作答）
13．若,且,则________.
14．在二项式的展开式中,系数为有理数的项的个数是________.
15．二项式的展开式中，项的系数是________.（用数字填写答案）
16．在的展开式中，的系数为80，则实数k的值为________.
17．的二项展开式中的系数为__________.
18．在的展开式中，的系数为________.（用数字作答）
19．二项式的展开式的常数项是________.
20．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到一个如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可看出，存在x使得，求x的值.
参考答案
1．答案：C
解析：在展开式中，要求项，说明y的指数为1，即.
此时剩余次数为。
每个项贡献x的指数为2，每个x项贡献指数为1.
总x指数为7，因此：
结合，解得：,
根据多项式定理，系数为：
2．答案：C
解析：令得，解得，
二项式的展开式的通项公式为
，且，
所以当时，；
当时，，
所以二项式展开式中含的项为，
所以二项式展开式中的系数为29.
故选：C.
3．答案：D
解析：对于,由二项展开式的通项得,
令解得,
则所求系数为,
故选：D.
4．答案：A
解析：二项式展开式的通项为,
令,解得,所以
故选:A
5．答案：D
解析：
,
,即.
故选:D
6．答案：D
解析：对于，由二项展开式的通项得，
令解得，
则所求系数为，
故选：D
7．答案：220
解析：的展开式中项为，
所以所求系数为.
故答案为：220
8．答案：60
解析：展开式的通项为.
令,得,则的常数项为.
故答案为：60.
9．答案：120
解析：的展开式通项为，
因为，
在的展开式通项中，令，
在的展开式通项，
令，可得，
因此，展开式中的的系数为.
故答案为：120.
10．答案：1
解析：由二项式展开式的通项为,
令,可得,
代入通项公式可得,解得.
故答案为:1.
11．答案：1
解析：法1：因为的展开式的通项
，
令，解得，所以常数项为，解得.
法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取，
其余3个取，即常数项为，由，解得.
故答案为：1.
12．答案：-30
解析：的展开式的通项公式为,
故的展开式中的系数为,
故答案为：-30.
13．答案：7
解析：由二项式展开式的通项可得,
又,即,解得,
又,所以,
所以.
故答案为:7
14．答案：6
解析：二项展开式的通项公式为,
第项的系数为,
当,2,4,6,8,10即,3,5,7,9,11时,系数为有理数,
这样的项的个数为6,
故答案为:6
15．答案：
解析：二项展开式的通项公式为，
令，得，，所以项的系数是.
故答案为：
16．答案：2
解析：由二项式的展开式的通项为，
其中，因为展开式中的系数为80，
令，可得，解得.
故答案为：2.
17．答案：24
解析：由题意知的展开式的通项为，
令，
所以，
故的系数为24，
故答案为：24
18．答案：280
解析：因为的通项为，
令，得，所以的系数为.
故答案为：280.
19．答案：
解析：的展开式的通项为
令，解得，所以展开式的常数项.
故答案为：.
20．答案：
解析：观察题图中给出的“莱布尼茨三角形”，
及给定的关系式：，
我们可以知道，下一行两分数之和等于肩上的上一行的分数，故.

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