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4.3统计模型
1．下表反映了12月份（共21个工作日）中,李华同学在每天的数学课上携带教材的情况,以及数学课上坐在李华同桌位置的同学,只有梓晴、陈伟和刘瑞可以作为李华的同桌.
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
教材 无 有 有 无 有 有 无 有 有 无 无
同桌 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 梓晴 梓晴 陈伟
日期（续） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
教材（续） 有 有 有 无 无 有 有 无 无 有
同桌（续） 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞
从表格信息,我们可以推断( ):（附:）
A.有不小于95%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材
B.有不小于99%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材
C.有不小于95%的把握认为李华与刘瑞、陈伟同桌时上数学课有相等的概率携带教材
D.若强制刘瑞或陈伟与李华同桌,可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率
2．某大型企业开发了一款新产品,投放市场后供不应求,为了达到产量最大化,决定增加生产线．经过一段时间的生产,统计得该款新产品的生产线条数x与月产量y（件）之间的统计数据如下表：
x 4 6 8 10
y 30 40 60 70
由数据可知x,y线性相关,且满足回归直线方程,则当该款新产品的生产线为12条时,预计月产量为( )
A.73件 B.79件 C.85件 D.90件
3．为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,运用列联表进行检验,经计算,参考下表,则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过( )
k
A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%
4．对变量x，y有观测数据，得散点图；对变量u，v有观测数据，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关
5．植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度x（单位：）与氮元素吸收量y（单位：/天）的相关数据，如下表所示：
x 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1
y 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86
根据表中数据可得，及线性回归方程为，则( )
A.
B.变量y与x的相关系数
C.在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加
D.若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变
6．已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系,且y关于x的经验回归方程为,由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值）,则( )
A.0.28 B.0.56 C.0.34 D.0.48
7．下列散点图中，线性相关系数最小的是( )
A.B.
C.D.
8．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中,获得了如下数据,以下结论正确的是( )
男生 女生
篮球迷 30 15
非篮球迷 45 10
附:,
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
A.没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B.有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C.在犯错误的概率不超过的前提下,可以认为是否是篮球迷与性别有关
D.在犯错误的概率不超过的前提下,可以认为是否是篮球迷与性别有关
9．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )
A.正方形的边长a与对角线长l B.球的体积v与表面积s
C.一个人的身高h与学习成绩f D.平均学习时间t与学习成绩f
10．针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为( )
附：，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.54 B.48 C.42 D.36
11．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则( )
附：
0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
A.若，则认为“毛色”和“角”无关
B.若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%
C.若，则认为“毛色”和“角”无关
D.若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%
12．已知x,y的取值如表:
x 0 1 3 5 6
y 1 m 3m 5.6 7.4
画散点图分析,知y与x线性相关,且求得线性回归方程为,则________.
13．近年来,解放军强军兴军的深刻变化,感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防,投身军营.2024年高考,很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生,其中男生500人,女生400人,通过调查,有报考军事类院校意向的男生、女生各100名.
(1)完成给出的列联表;
有报考意向 无报考意向 合计
男学生
女学生
合计
(2)根据独立性检验,判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
参考公式及数据：.
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.706 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
14．随着科技的进步,近年来,我国新能源汽车产业迅速发展,2006年,在国家节能减排的宏观政策指导下,科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起,国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展,也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力,在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计,具体数据见下表：
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8
年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12
广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）;
(2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车,如果在甲汽车店购买,那么购买新能源汽车的概率为0.6;如果在乙汽车店购买,那么购买新能源汽车的概率为0.8,求这个人购买的是新能源汽车的概率.
参考数据：,.
附：回归直线中,,.
15．在检验A与B是否有关的过程中，算得，又，那么是否有的把握认为A与B有关？
16．为了探究成年人晕车与性别是否有关，调查了320名成年人，其中男士152人，而且男士与女士中，晕车的分别有28人与32人.用列联表表示这些数据.
17．某企业为了了解员工是否支持企业改革，抽查了190名员工进行调查，其中支持企业改革的有80人.已知该企业共有员工950人，试估计该企业员工中支持企业改革的人数.
18．某企业有甲、乙两个分厂生产同一种产品，在检查产品的优质品率时，从甲、乙两厂各抽取了500件产品，其中甲厂有优质品360件，乙厂有优质品320件.
（1）分别估计甲、乙两厂的优质品率；
（2）是否有的把握认为两厂的优质品率有差异？
参考答案
1．答案：D
解析：与梓晴同桌8天,2天带教材,6天没带;
与陈伟同桌7天,5天带教材,2天没带;
与刘瑞同桌6天,5天带教材,1天没带;
带教材 没带教材 合计
梓晴 2 6 8
其他同桌 10 3 13
合计 12 9 21
,
所以认为有95%的把握认为李华是否带教材与谁是同桌有关;
,
所以认为没有99%的把握认为李华是否带教材与谁是同桌有关;故AB错误;
带教材 没带教材 合计
刘瑞 5 1 6
陈伟 5 2 7
合计 10 3 13
,所以没有95%的把握认为李华是否带教材与谁是同桌有关,C错误;
从数据:与梓晴同桌8天,2天带教材,6天没带;
与陈伟同桌7天,5天带教材,2天没带;
与刘瑞同桌6天,5天带教材,1天没带;
可以认为强制刘瑞或陈伟与李华同桌,可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率,D正确,
故选:D
2．答案：C
解析：依题意可得,,
因为回归直线方程必过样本中心点,即,解得,所以,
当时,
故当该款新产品的生产线为12条时,预计月产量为85件.
故选：C.
3．答案：B
解析：因为,结合表格可知,
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过,
故选：B.
4．答案：B
解析：由变量x，y的散点图，知随x增大，y也增大，变量x与y正相关，
由变量u，v的散点图，知随u增大，v减小，u与v负相关.
故选：B
5．答案：C
解析：由线性回归方程过样本中心点知，，故A错误；
小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系，故相关系数，故B错误；
由线性回归方程可得，在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加，故C正确；
若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，回归方程可能发生改变，故D错误.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为y关于x的经验回归方程为,
所以预测值为,又因为残差=观测值-预测值,
所以,
所以.
故选：B.
7．答案：A
解析：观察选项A的散点图，
这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于-1；
选项B的散点图中，线性负相关程度不及A，
比较分散，即线性相关系数要比选项A的大.
选项C的散点图中，散点呈现出一定的上升趋势，
变量x和y之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数.
选项D的散点图中，散点比较分散，
线性相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大.
综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.
故选：A.
8．答案：A
解析：依题意可得列联表如下：
男生 女生 合计
篮球迷 30 15 45
非篮球迷 45 10 55
合计 75 25 100
所以,
所以在犯错误的概率不超过的前提下,可以认为是否是篮球迷与性别有关,
又,所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关.
故选：A.
9．答案：D
解析：选项AB中两个变量间是一种函数关系,选项C中两个变量之间没有什么关系,
选项D中,学习成绩与平均学习时间有关,但不仅与时间有关,
还与其他变量有关如学习时专注性,个人的学习习惯等有关,因此D是相关关系.
故选：D.
10．答案：D
解析：设男生人数为，
因为被调查的男、女生人数相同，
所以女生人数也为，根据题意列出列联表：
男生 女生 合计
喜欢冰雪运动
不喜欢冰雪运动 n
合计
则，
因为有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，
所以，即，解得，
又，所以A，B，C项正确，D项错误.
故选：D
11．答案：BC
解析：对AB，若，因为，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A错，B对；
对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误.
故选：BC.
12．答案：
解析：,,
又y与x的线性回归方程过点,,解得.故填.
13．答案：(1)列联表见解析
(2)有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关
解析：(1)根据已知条件,填写列联表如下：
有报考意向 无报考意向 合计
男学生 100 400 500
女学生 100 300 400
合计 200 700 900
(2),
所以有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
14．答案：(1)
(2)
解析：(1),,
由参考数据
所以
故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为.
(2)设“在甲汽车店购买汽车”,“在乙汽车店购买汽车”,
“购买的是新能源汽车”,
,,,
由全概率公式得,.
15．答案：是
解析：因为，所以有的把握认为A与B有关.
16．答案：见解析
解析：
男 女 合计
晕车 28 32 60
不晕车 124 136 260
合计 152 168 320
17．答案：400
解析：，该企业员工中支持企业改革的人数约为.
18．答案：（1）甲厂优质品率为，乙厂优质品率为
（2）有
解析：（1）由题知列联表如下.
甲 乙 合计
优质品 360 320 680
非优质品 140 180 320
合计 500 500 1000
甲厂优质品率为，乙厂优质品率为.
（2），
有的把握认为两个分厂生产的零件优质品率有差异.

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