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第四章概率与统计
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是( )
A. 变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B. 变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
C. 变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
D. 变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
2.某校为了解学生对餐厅食品质量的态度满意或不满意，对在餐厅就餐的学生随机做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，有的男生态度是“不满意”，有的女生态度是“不满意”，若有的把握认为男生和女生对餐厅食品质量的态度有差异，则调查的总人数可能为( )
A. B. C. D.
3.已知，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题为
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5.某疾病全球发病率为，该疾病检测的漏诊率患病者判定为阴性的概率为，检测的误诊率未患病者判定为阳性的概率为，则某人检测成阳性的概率约为( )
A. B. C. D.
6.某工厂为研究某种产品的产量单位：吨与所需某种原料单位：吨的相关性，在生产过程中收集了组对应数据如下表：
吨
吨
根据表格中的数据，得出关于的经验回归方程为．据此计算出样本点处的残差为，则表格中的值为( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量的分布列为
当在上变化时，的数学期望的变化情况为( )
A. 单调递增 B. 先减后增 C. 单调递减 D. 先增后减
8.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打局，当两人获胜局数不少于局时，则认为这轮训练过关；否则不过关若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的的有( )
A. 已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差也为
B. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量服从二项分布，若，则
11.某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则( )
A. 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人
B. 随机变量
C. 随机变量的数学期望为
D. 若事件“抽取的人都感兴趣”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量的分布列如表所示，若，则 ．
13.为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量单位：近似服从正态分布，已知，若从该苹果园中随机采摘个苹果，则该苹果的重量在内的概率为 ．
14.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男
女
合计
根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取人，收集对该产品的改进建议若从这人中随机抽取人，求所抽取的人中女性人数大于男性人数的概率．
附：．
16.本小题分
近年来骑行成为热门的户外运动方式之一某同学近来次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离单位：公里的数据统计如下表：
身体运动参数评分
骑行距离公里
根据上表的样本数据，计算样本相关系数结果保留两位小数，并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度；
根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程并估计当身体运动参数评分为分时，该同学的骑行距离．
参考数据和参考公式：
；
对于一组数据，样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
17.本小题分
幸福农场生产的某批次件产品中含有件次品，从中一次任取件，其中次品恰有件．
若，求取出的产品中次品不超过件的概率；
记，则当为何值时，取得最大值．
18.本小题分
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为．
混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少
从混合放在一起的零件中随机抽取个，用频率估计概率，记这个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望．
19.本小题分
为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为，某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据单位：人：
接受挑战 不接受挑战 合计
男性
女性
合计
根据表中数据，判断是否有的把握认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关；
现从这人中任选人，表示“受邀者接受挑战”，表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值；
用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层抽样，随机抽取名受邀选手若再从这名选手中随机抽取人进行访谈，求这名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了判断两个变量线性相关性的判断问题，是基础题．
根据线性相关系数的正负判断两变量正负相关性，根据线性相关系数的绝对值大小判断两变量相关性的强弱．
【解答】
解：由线性相关系数知与正相关，
由线性相关系数知与负相关，
又，
变量与的线性相关性比与的线性相关性强．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查独立性检验的应用，属于基础题．
先根据数据列出列联表，然后根据公式计算即可．
【解答】
解：设被调查的男生和女生各有人，依题意可得列联表如下：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
有的把握认为男生和女生对餐厅食品质量的态度有差异，则
，得，又因为是的倍数，所以调查的总人可能为．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，求出，再结合为正整数，即可求解．
【解答】
解：，
，整理得，即，
又，且，
，
的最大值为．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概率，属于基础题．
【解答】
解：乙、丙一定都正确，则，，
甲正确，丁错，选 D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全概率公式，属于基础题．
根据题意，某人检测成阳性包含两种情况：非患病者检测为阳性和患病者检测为阳性，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解答】
解：由题意，未患病者判定为阳性的概率为，患病者判定为阳性的概率为，
所以某人检测成阳性包含两种情况：
非患病者检测为阳性的概率为；
患病者检测为阳性的概率为，
所以某人检测成阳性的概率为．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查回归直线方程，残差的应用，属于基础题．
根据样本处的残差为，求解，回归方程必过样本中心点，可得的值．
【解答】
解：由样本处的残差为，
即，
可得；
所以回归方程为：，
样本平均数， ，
即，
解得：．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的期望，属于基础题．
根据期望公式求出期望以后根据二次函数知识分析即可．
【解答】
解：．
当时，单调递增当时，单调递减．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项分布的均值，次独立重复试验及其概率计算，由基本不等式求最值或取值范围，一元二次函数的图象与性质，属于中档题．
由题意，设每一轮训练通过的概率为，求出的表达式，结合二项分布的期望、基本不等式以及二次函数的性质进行求解即可．
【解答】
解：不妨设每一轮训练通过的概率为，
则
，
此时，当且仅当时，等号成立，
易知函数开口向下，对称轴，
所以，
又每局之间相互独立，记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，
所以，
所以，
解得，
则甲、乙两人训练的轮数至少为轮．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全概率公式、条件概率公式的应用，属中档题．
利用公式分别计算对应概率即可判断．
【解答】
解：由题意得，，
，，故C正确；
，
故，故A错误；
，故B正确；
，故D正确．
故本题选BCD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查方差的定义，正态分布，二项分布的均值等，属于中档题．
根据方差的定义可判断；根据样本点在回归直线上求得的值可判断；根据可得，由对称性求出对称轴可得的值可判断；根据二项分布均值的公式以及均值的性质可判断，进而可得正确选项．
【解答】
解：对于：设的平均数为，方差为，
则，，
所以，，，的平均数为，
所以方差为
，故选项A不正确；
对于：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故选项B正确；
对于：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，
又，
而，所以，
则，故选项C正确；
对于：因为服从二项分布，所以，
所以，则，故选项D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分层抽样，二项分布、离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
结合分层抽样性质求出各社团所需抽取人数判断；求随机变量的分布列，判断；由期望公式求的期望，判断．
【解答】
解：设甲、乙、丙三个社团分别需抽取人，则
，
所以，，，
所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人， A正确；
随机变量的取值有，，，
，，，
所以随机变量的分布列为
显然不服从二项分布，所以B错误；
由期望公式可得随机变量的数学期望， C正确；
因为，所以 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列，期望和方差，属于中档题．
根据分布列的性质以及，可得，，利用方差公式可得的值，结合方差的性质即可求解．
【解答】
解：因为，
所以由随机变量的分布列得解得
所以，
所以．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正态分布，属于基础题．
由正态分布曲线的对称性即可求解．
【解答】
解：因为，
所以
，
又，
所以若从该苹果园中随机采摘个苹果，
则该苹果的重量在内的概率为：
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的均值，属于中档题．
先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望．
【解答】
解：对于维坐标，其中即有两种选择，
故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点；
当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，
则满足的个数为．
所以．
故分布列为：
则．
故答案为：．
15.【答案】解：零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关．
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关．
由题意得抽取的人中，男性人数为，
女性人数为．
当人中有名女性和名男性时，，
当人全部为女性时，，
则所抽取的人中女性人数大于男性人数的概率．

【解析】本题考查独立性检验、超几何分布等知识，属于中档题．
利用独立性检验，代入公式求解即可，
结合超几何分布求解即可．
16.【答案】解：由表中的数据可得，，
所以
，
，
，
所以，
所以与负相关，
又因为接近于，所以身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强；
设关于的经验回归方程为 ，
由可知，
所以，
所以，
当时，，
所以当身体运动参数评分为时，该同学的骑行距离约为公里．

【解析】本题考查样本相关系数，回归直线方程，属于中档题．
根据表中的数据先求出，然后分别求出，和，再代入公式可求出相关系数，再根据其值进行判断；
利用公式求出，从而可求出骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程，将代入，可估计出该同学的骑行距离．
17.【答案】解：记“取出的产品中次品不超过件”为事件，
则．
因为，，
所以．
答：取出的产品中次品不超过件的概率是
因为，所以
若，
则，解得．
故当时，；当时，；
所以当时，取得最大值．
答：当时，取得最大值．

【解析】本题主要考查超几何分布的计算，属于中档题．
运用公式即可求出．
求出和，将其化为不等式，即可求出的最大值。
18.【答案】解：设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则，，
，
计算得．
由知的可能取值为，，，，，
∽，，，
，，
，．
所以，的分布列为：

【解析】本题主要考查频率与概率综合等，属于中档题．
设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，然后利用全概率公式即可；
由知的可能取值为，，，，，∽，然后分别求概率即可．
19.【答案】解：假设：是否接受挑战与受邀者的性别无关，
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，且当成立时，，
所以有的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有关．
，
同理，所以．
由分层抽样知，随机抽取的名受邀选手中，男性有人，女性有人，
根据频率估计概率知，男性选手接受挑战的概率为，不接受挑战的概率为．
可能得取值为，
名被抽取的男性选手中，恰抽到人被访谈记为事件，
则，
被访谈的名选手中接受挑战的男性人数恰好为人记为事件，
则，
，
所以
，
，
．
故的分布列如下：
．

【解析】本题考查了独立性检验，条件概率的概念与计算，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的均值，分层随机抽样，全概率公式，属于较难题．
根据列联表中的数据计算，与比较大小，得出结论．
先根据条件概率公式求，，再根据定义，求的值．
列出的可能值，结合条件概率，求出对应的每一个值的概率，可得的分布列，再求期望．

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