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江苏省泰州市部分校 2025 届高三第二次适应性调研测试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |0 ≤ ≤ 5， ∈ }，集合 = {1,2,3}，集合 = {1,5}，则 ∩ =
A. {2,3} B. {2,4} C. {0,4} D. {3,5}
2.已知复数 = 2 13 3， 为 的共轭复数，则 的虚部为
A. 13 B.
1
3 C.
1
3 D.
1
3
3.抛物线 = 3 2的准线方程为
A. = 112 B. =
1 3 3
12 C. = 4 D. = 4
4.在三棱锥 中，底面△ 为斜边 = 2 2的等腰直角三角形，顶点 在底面 上的射影为
的中点．若 = 2， 为线段 上的一个动点，则 + 的最小值为( )
A. 6 + 2 B. 2 3 C. 2( 3 + 1) D. 2( 3 1)
5.2025 年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有 11 个志愿者名额分配给这四个分
会场，其中一个分会场分 5 个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同
种数为( )
A. 210 B. 35 C. 40 D. 120
6.在等边△ 中， = 2， 为△ 所在平面内的一个动点，若 = 1，则 的最大值为
A. 4 B. 3 + 2 3 C. 2 + 3 2 D. 6
7 3 △ = 3 cos∠ = 13.某同学用 个全等的小三角形拼成如图所示的等边 ，已知 ， 14，则△ 的面
积为
A. 441 B. 441 3 441 441 316 16 C. 8 D. 8
8.在平面直角坐标系 中，已知点 (2,0)，点 ( , )是平面内的一个动点，若以 为直径的圆与圆 ： 2 +
2 = 1 相切，记点 的轨迹为曲线 ，过曲线 上一点 作直线 分别与直线 = 3 ， = 3 相交，交点
为 、 ，且交点分别在第一象限和第四象限．若 = ， ∈ 13 , 4 ，则△ 面积的取值范围为
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A. [ 3, 2 3] B. 25 316 , 2 3 C. [2,2 3] D. 3,
25 3
16
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 4 3 6 2 + (2 ) + 2 ，则下列结论正确的是
A.当 = 2 时，若 ( )有三个零点，则 的取值范围是(0,1)
B.当 = 2 且 ∈ (0,1)时， (cos ) < (cos2 )
C. ∈ ， ( ) + (1 ) = 2 2
D.若 ( ) 3存在极值点 0，且 ( 0) = ( 1)，其中 0 ≠ 1，则 2 0 + 1 = 2
10.对一列整数进行如下操作：输入第一个整数 1，只显示不计算，接着输入第二个整数 2，只显示| 1 2|
的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后
结果为 .若数列{ }满足 = ， ∈ ，现把数列{ }的前 2025 项随机地输入，则
A. 的最小值为 0 B. 的最小值为 1
C. 的最大值为 2025 D. 的最大值为 2024
11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都
接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲).利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以
正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体(如图乙).若正四
面体 的棱长为 3，则下列说法正确的是( )
A.勒洛四面体 表面上任意两点间距离的最大值大于 3
B. 9 3勒洛四面体 被平面 截得的截面面积是 4
C.勒洛四面体 四个曲面交线长的和为 6
D. 3 6勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 3 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ∈ (0, )，且 cos + sin = 713，则 cos =________．
13.已知函数 ( ) = log ( 22 2 + 3)的值域为 ，则实数 的取值范围为________．
14.甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为 3 分．在一轮比赛中，获胜的一方
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加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分 6 分，获得 6 分的人获胜，比赛结束．已
1 1
知在每一局中，甲胜的概率为3，乙胜的概率为2，各局的输赢互不影响．若 ( = 0,1,2, …, 6)表示在甲所得
分数为 时，最终甲获胜的概率，若 0 = 0， 6 = 1，则 1 =________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在正三棱台 1 1 1中， = 2， > 1 1，侧棱 1与底面 所成角的正切值为 2.若存在球
与正三棱台 1 1 1的 5 个面同时相切，求：
(1)正三棱台 1 1 1的体积；
(2)正三棱台 1 1 1的表面积．
16.(本小题 15 分)
在△ 1中，角 、 、 的对边分别是 、 、 .已知 = 2 ， 为常数．
(1)若 = 0， = 2，求△ 面积的最大值；
(2) 3若 = 1，cos cos = 4，求 cos 的值．
17.(本小题 15 分)
在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，点 ( , 0)，过 的直线交 于 、 两点．当
直线 的斜率为 1 时，| | = 8．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 、 与抛物线 的另一个交点分别为 、 ， ⊥ ，求 的值；
(3)在条件(2)下，当点 为(2,0)时，记直线 、 的倾斜角分别为 、 ，求 tan( )的最大值．
18.(本小题 17 分)
某科技公司食堂每天中午提供 、 两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果第一天选择
2 3
套餐，那么第二天选择 套餐的概率为5；如果第一天选择 套餐，那么第二天选择 套餐的概率为5．
(1)食堂对 套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于 套餐的满意程度进行了调查，统计了
120 名员工的数据，如下表(单位：人)
套餐 满意度 套餐改善前 套餐改善后 合计
满意 20 40 60
不满意 30 30 60
合计 50 70 120
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( )2
参考数据： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，能否认为员工对于 套餐的满意程度与套餐的改善有关？
(2)若 套餐拟提供 2 种品类的素菜， ( ≥ 3, ∈ +)种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择 3 种菜品，
记选择素菜的种数为 ，求 ( = 1)的最大值，并求此时 的值；
(3)设员工小李第 天选择 套餐的概率为 ，求 ．
19.(本小题 17 分)
设数列{ }和{ }都有无穷项，已知存在非零常数 ，使得 = + + … + 1 1 1( ∈ +)，此时称
数列{ }是由{ }“ 生成”的．
(1)如果{ } { } = 1, = 1 或 2, 是等比数列， 满足 若数列{ }是由{ }“ 生成”的，求 1 + 2, ≥ 3,
的值；
(2)已知数列{ }是由{ }“ 生成”的，如果存在非零常数 ，使得{ }是由{ }“ 生成”的，求数列{ }
的通项；
(3)设 = { }，且数列{ }，{ }，{ }分别是由数列{ }，{ }，{ }“ 生成”的， 表示数列{ }的前
{ }项和．已知 ≤ 1 ∈ + ，求 1 + 2 + 3的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 513
13.( ∞, 3] ∪ [ 3, + ∞)
14. 32665
15.(1)解：如图，取 ， 1 1的中点分别为 、 ，上、下底面的中心分别为 1、 2，
连接 1 ， ， ， 1 2，
过 1作 1 ⊥ 于 ，
设 1 1 = (0 < < 2)，球 的半径为 ，
因为 tan∠ 1 2 = 2，棱台的高为 2 ，所以 = 2 ，
所以 1 = 1 = 1 = (2 )2 + ( 2 )2 = 6 ，
2 =
1 1 3 3，
3 = 3 × 2 = 3
同理 31 = ，6
因为球 与平面 1 1相切，切点在 上，
所以 = + = 32 1 6 ( + 2) ①，
在等腰梯形 2 2 2 21 1 中， = ( 6 ) ( 2 ) ②，
2
由① 得( 6 )2 ( 2 ② )2 = ( +2) ，2 12 ③
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在梯形 3 31 中， 2 = (2 )2 + ( 23 6 ) ④.
由 ② ④得 2 = 6 ，
代入 ③得 = 1 或 = 4(舍)，则棱台的高 = 2 = 6，3
= 1 ( + + ) = 1 3 3所以棱台的体积为 3 上 下 上 下 3 ( 4 + 3 + 2 ) ×
6
3 =
7
12 2．
(2)因为正三棱台的侧面积为 3 = 3 × 1 × 3 × (1 + 2) = 9 3 ，1 1 2 2 4
+ = 3 × 12 + 3 5 3正三棱台的底面积为 2 ，上 下 4 4 × 2 = 4
7
所以正三棱台的表面积为2 3．
16. 1解：(1)解法一：当 = 0 时， = 2 ，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos 得 5 2 4 2cos = 4，
2 = 4所以 5 4cos ，
= 1所以 △ 2 sin =
2sin = 4sin
5 4cos
8sin cos 8sin 2 2 2cos

2 8tan

= = = 2 ，
5(cos2 2 2 2 2 2 22+sin 2) 4(cos 2 sin 2) cos 2+9sin 2 1+9tan

2

设 tan 2 = ( > 0)，
= 8 = 8 8 4 1则 △ 1+9 2 1 = ，当且仅当 = 9 ，即 =
1
时取等号，
+9 2 1 ·9
3 3
所以△ 4面积的最大值为3．
1
解法二： = 0 时， = 2 ，即| | = 2| |，
以 边所在的直线为 轴， 的中点 为原点，建立平面直角坐标系 ，
则 ( 1,0)、 (1,0)，设 ( , )，
由| | = 2| |得 ( + 1)2 + 2 = 2 ( 1)2 + 2 5 16，化简得( )23 +
2 = 9，
5 16
即点 的轨迹方程为( 2 23 ) + = 9 ( ≠ 0)，
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= 1 × 2 × 4 4所以 面积的最大值为 △ 2 3 = 3．
1
解法三：当 = 0 时， = 2 .
2
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos cos = 5 4得 4 2 ，
1 2
所以 △ = 2 sin =
2 1 ( 5 4 )24 2
= 14 16
4 (5 2 4)2．
1
= 24 (4 5
2 + 4)(4 2 + 5 2 4)
1
= 2 24 4 9 4
1 2 2= 12 (36 9
2) 9 2 4 112 ×
36 9 +9 4 4
2 = 3．
当且仅当 36 9 2 = 9 2 4 即 = 2 53 时取等号．
所以△ 4面积的最大值为3．
(2) 1 1解法一：当 = 1 时，由 = 2 及正弦定理可知 sin sin = 2 sin ，
由 cos cos = 34及 + + = ，
3
得 4 = cos ( + ) + cos ( + ) = sin sin cos cos + cos cos sin sin
= sin (sin sin ) + cos (cos cos )
1 3
= 2
2 4 cos
= 1 (1 2 ) 32 4 cos ，
整理可得 2 2 3cos + 1 = 0，解得 cos = 12或 cos = 1(舍)，
1
故 cos = 2．
= 1 = 1解法二：当 时， 2 ，
3 2+ 2 2 2+ 2 2
由 cos cos = 4可得 2 2 =
3
4，
所以 4( )2 ( + )2 + 3 = 0，
即 = 3( )2，
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所以 = 34
2， 2 + 2 = 7 24 ．
2+ 2 2 1
所以 cos = 2 = 2 ．
17.解：(1)抛物线的准线方程为 = 2，
当直线 的斜率为 1 时，直线 为 = 2，
2
代入 2 = 2 得 2 3 + 4 = 0，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
所以 1 + 2 = 3 ，所以| | = 1 + 2 + = 4 = 8，
所以 = 2，
所以抛物线 的方程为 2 = 4 ;
2 2 2 2(2)设 ( 14 ,
2
1)， ( 4 , 2)

， ( 34 , 3)， (
4
4 , 4)，
直线 : = + 1，
= + 1
由 2 = 4 可得
2 4 4 = 0，
所以△> 0， 1 2 = 4，

由斜率公式可得 = 1 2 4 2 2 = + ， =
3 4 4
1 2 1 2 32 2
= ，
4
4 3+ 4
4 4 4
因为直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为 = + ， ( 3, 3)， ( 4, 4)，
2 = 4 2
= + 4 4 = 0,
所以 3 + 4 = 4 ， 3 4 = 4 ，
2 2 2
所以 = 3 4 = 16 23 4 4． 4 16 = ，
因为 ⊥ ，所以 = 0，
所以 3 4 + 3 4 = 0，即 2 4 = 0，
解得 = 0 或 = 4，
若 = 0，则直线 过点 ，不符合题意，
则 = 4，此时直线 的方程为 = + 4，
所以直线 过定点(4,0)，
所以 3 + 4 = 4 ， 3 4 = 16，
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= 4 ， =
4
，
3+ 4 1+ 2
直线 : = 1 + ，1
代入抛物线方程 2 = 4 得
2 4( 1 ) 4 = 0，1
所以△> 0， 1 3 = 4 ，
同理可得 2 4 = 4 ， 1 2 = 4， 3 4 = 16，
所以 3 = 2 ，同理可得 3 =
4
2，
所以 = 2 或 = 2．
(3)由(2)得 3 = 2 2， 2 4 = 8，所以 4 = 2 1，
4 4 所以 = + = 2( + ) = ，3 4 1 2 2
因为直线 、 的倾斜角分别为 ， ，
所以 = tan =
tan
2 = 2 ，
设 = 2 = 2 > 0，
则 tan = tan tan 1 1 21+tan tan = 1+2 2 = 1 = 4 ，
+2 2 1 ·2
1 2
当且仅当 = 2 即 = 2 时等号成立．
所以 tan( ) 2的最大值为 4 ．
18.解：(1)零假设 0: 套餐的满意程度与套餐的改善无关联：
2 = 120(20×30 30×40)
2
易知 60×60×50×70 ≈ 3.429 < 7.879 = 0.005，
所以依据小概率值 = 0.005 的独立性检验，我们推断假设成立，
即 套餐的满意程度与套餐的改善无关联．
(2) 可能的取值为 0，1，2，
1 2
因为 ( = 1) = 2 = 6( 1)
3 +2 ( +2)( +1)
， ≥ 3，
= 6( 1)令 ( +2)( +1)， ≥ 3，设 最大，则 +1， 1，
6( 1) 6
+2 +1 +3 +2
即 6( 1) ,
+2 +1
6 2
+1
所以 3 ≤ ≤ 4，
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= 3 = 3 = 4 = 3因为 为正整数，所以当 ， 5； ， 5，
故 ( = 1) 3的最大值为5，此时 = 3 或 4.
(3)设事件 表示第 天小李选择 套餐，事件 表示第 天小李选择 套餐，
因为 = 1 + 1 ( ≥ 2)
所以 ( ) = ( 1 ) + ( 1 ) = ( 1) ( | 1) + ( 1) ( | 1).
即 = (1 ) ×
3 + × 2 1 5 1 5 =
3 15 5 1．
所以 1 1 1 2 = 5 ( 1 2 )( ≥ 2)．
1
因为 1 2 = 0，所以 =
1
2．
19.解：(1)设 = 1 1，
= = 1
则由 1 1 2 = 2 + 1 = ( + ) = 1
,解得 1 = 1， = 1 ．
1
因为 3 = 3 + 2 + 2 1 = (1 )2 + (1 ) + 2 = 2 + 1，
又因为 3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2．
所以 2 + 1 = 2，解得 = 1± 5，2
当 = 1+ 5时， = 1 1 5 12 1(1 ) = ( ) ，2
当 = 1 5时，2 = 1(1 )
1 = ( 1+ 5 1．2 )
当 ≥ 3 时， 1 = = (1 ) 1 = (1 )( 1 2)，
即 = 2 1 + ( ) 2 = 1 + 2，满足条件．
故 = 1± 5．2
(2)因为{ }是由{ }“ 生成”的，{ }是由{ }生成”的．
=
+
所以 2 2 11 = 1， 2 = 2 +
,
1
所以 1 + 1 = ( + ) 1 = 0，
所以 1 = 1 = 0 或 + = 0．
+1 = +1 + 因为 , ∈ +, +1 = +1 +
所以 + = 0．
如果 + = 0，则 = ， ∈ +,
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= +1 +1 = 0,
所以
=
+1 +1
= 0,
如果 1 = 1 = 0，且 + ≠ 0.
假设 ( ≥ 2)是第一个使 不同时为 0 的整数，则 1 = + 0 + + 0 = ．
此时 + = ( + ) = 0．
因为 + ≠ 0，所以 = = 0，矛盾!故不存在使 ， 不同时为 0 的整数．
综上： = = 0， ∈ +．
(3)设 ,

,

分别表示{ }，{ }，{ }的前 项和，
即 , , ,

分别是由{ }，{ }，{ }，{ }生成 的．
由 = = = 得 = = 1 1 1 1 1 1 1 =

1 ;
1
当 ≥ 2 时， = 1 + =2 = 1 + =2 (

1) = =1 =



1．
=1
所以 = + ， = 2 2 1 3 3 +
2
2 + 1 ，
同理 = 1; = 1( ≥ 2)，
因为 = ，且| { } | 1( ∈ +)
所以| 1 | = |

1 | ≤ 1，|

2 | = | 2 1 | ≤ | 2 | + | 1 | ≤ 1 + ，
| 3 | = |

3

2 | ≤ |

3 | + |

2 |) ≤ 1 + ，
| | = | 1 1 | 1，|
| = | 2 2 1 | ≤ | 2 | + | 1 | ≤ 1 + 2 ，
| 3 | = |

3

2 | ≤ |
2
3 | + | 2 | ≤ (1 + ) ．
所以，| 1 + 2 + 3| = |

3 | = |

3

2 | ≤ |

3 | + |

2 | ≤ 3
2 + 3 + 1．
令 ( ) = ( 1) ( ∈ +)，则
{ }
{ }
1 = 1, = 1 = { { } { } 1 = ( 1)
( + 1), 2
1 = 1, = 1
= 2

1 = 2 + 1, = 2


1 = ( 1)
( + 1)2, 3
{ }1 = 1, = 1
{ } { }
{ } 2 1 = 3 + 1, = 2 = { { } { } , = 3 23 2 3 1, = 3
{ } { } 3 1 = ( 1) ( + 1) , 4
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{ }1 = 1, = 1
{ }2
{ }
1 = 3 + 2, = 2
即 = { { } { } 2 3 2 = 3 6 2, = 3
{ }4
{ }
3 =
3 + 6 2 + 6 + 2, = 4
{ } { } 3 1 = 2( 1) ( + 1) , 5
所以 1 + 2 + 3取到最小值 3 2 3 1．
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