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模型77 几何最值之将军饮马求差模型
跟踪练习
1. 如图，点A，B在直线MN的同侧，点A 到 MN的距离AC=8, 点B到MN的距离BD=5, 已知 CD=4,P是直线MN上的一个动点， 记PA+PB的最小值为a, |PA-PB|的最大值为b.
(1)a= ;
2. 如图, 在△ABC 中, AB=AC, AC的垂直平分线交AC于点 F，交AB于点 E, 连接EC, AB=10, △BEC的周长是18，若点 P在直线EF上，连接PA, PB, 则 PA-PB的最大值为 .
3.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1 的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”， 如图中四边形ABCD 就是一个“格点四边形” .
(1)求图中四边形ABCD的面积；
(2)在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形ABCD关于直线l成轴对称；
(3)P为直线l上一点， 连接BP, AP, 使得 BP+AP最小, 画出点 P 的位置；
(4)Q为直线l上一点， 连接BQ, CQ, 使得|BQ-CQ|最大, 画出点Q的位置.
4.如图, 在矩形 ABCD 中, AB=4, AD=6, O为对角线AC的中点，点 P在AD边上, 且AP=2, 点Q在BC边上,连接PQ, OQ, 则PQ-OQ的最大值为 .
1. (1) (2)160
解析： (1)如图1，作点B 关于直线MN的对称点 B',连接AB'交 MN于点 P, 连接BP, 过点 B'作B'Q⊥AC交AC的延长线于点Q，
由对称性可知, BP=B'P, ∴ AP+BP=AP+B'P=AB', 此时PA+PB的值最小, 最小值为AB'的长,∵CD=4, ∴B'Q=4,∵AC=8, BD=5, ∴AQ=13, ∴AB'=
(2)如图2, 连接AB交MN于点 P, 过点B 作BH⊥AC交于H,
∴ |PA-PB|=AB, 此时|PA-PB|的值最大,
∵AC=8, BD=5, ∴AH=3, ∵CD=4,
∴ HB=4, ∴ AB=5, ∴b=5, .
25=160.
2. 8 解析: ∵ EF垂直平分AC, ∴EA=EC,又∵C△BEC=BE+EC+BC=18, BE+EA=AB=10, ∴BC=18-10=8, 设FE与CB的延长线交于点 P'，连接PC， ∵EF 垂直平分AC, ∴ PA=PC, ∴ PA-PB=PC-PB ≤ P'C-P'B=BC, 当点P, B, C三点共线时,PC-PB有最大值, 此时P'C-P'B=BC=8,∴ PA-PB的最大值为8.
3. 解析: (1) 四边形ABCD的面积为
(2)如图, 四边形A'B'C'D'即为所求.
(3)如图， 点P即为所求.
(4)如图，点Q即为所求.
4. 解析：如图，连接PO并延长交BC于点Q，则此时点 Q 满足使 PQ-OQ的值最大,则 PQ-OQ的最大值为 OP的长.
∵四边形ABCD为矩形, ∴AD∥BC,∠A=∠B=90°, ∴∠PAO=∠QCO, 而O为对角线AC的中点, ∴ OA=OC, 又∠AOP=∠COQ, ∴△AOP≌△COQ(ASA),∴ OP=OQ, AP=CQ, 而AP=2, ∴ CQ=2,过点P作PH⊥BC于H,
∴ ∠PHB=90°, ∴四边形APHB 为矩形,
∴ AP=BH=2, PH=AB=4, ∴ HQ=BC-

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