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模型76 几何最值之将军饮马求和模型
跟踪练习
1. 如图，在 中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,( P是AD上一个动点， 则. 的最小值是 ( )
A.7 B.3.5 C.5 D.2.5
2. 如图, ∠AOB=60°, 点 P 是∠AOB内的定点且OP=4，若点 M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN 周长的最小值是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.3
3. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=50°,∠ACD=20°, CM=6, CN=2.点 P,Q分别是 CA，CB上的动点， 则MQ+PQ+NP的最小值是 .
4. 如图, 所在圆的圆心是点O， 点P, E, F分别是 线段AB和AC上的动点，求 的周长的最小值.
5.将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形(也称为直线的坐标三角形). 如图， 一次函数y= kx-7的图象与x, y轴分别交于点 A, B, 那么△ABO为此一次函数的坐标三角形(也称为直线AB的坐标三角形).
(1)如果点C在x轴上, 将△ABC沿着直线 AB 翻折，使点 C 落在点D(0,18)上, 求直线 BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y= kx-7的坐标三角形的周长是21，求k的值；
(3) 在(1) (2) 条件下, 如果点 E的坐标是(0, 8), 直线AB 上有一点 P，使得△PDE的周长最小，求此时△PBC的面积.
6. 已知反比例函数 和一次函数y=x-1，其中一次函数图象过(3a，b)，(3a+1, 两点.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图， 函数 的图象分别与函数 的图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点 P，使得△ABP 的周长最小 若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.
1. C 解析: ∵AB=AC, BD=CD,∴AD⊥BC,∴AD为线段BC的垂直平分线,
∴B, C关于AD 对称, ∴EC与 AD的交点即为使BP+EP 取得最小值时的点 P ，∴BP+EP的最小值为EC=5,故选C.
2. B 解析: 作点 P分别关于OA, OB的对称点C, D, 连接CD分别交OA,OB于M , N, 连接OC, OD, 如图,
则MP=MC, NP=ND, OP=OD=OC=4,∠BOP=∠BOD , ∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MC+MN≥DC,当D, N, M, C四点共线时, △PMN的 周 长 最 小, ∠COD=∠BOP+∠BOD+∠A OP+∠AOC = 2∠AOB=120°,过点O作OH⊥CD于H , 则CH=DH ,
∴∠COH=60°, ∴∠OCH=30°,
∴△PMN周长的最小值是 故选B.
解析：如图，作点N关于CA的对称点 N', 点M 关于CB的对称点M', 连接CN',PN',NN',CM',QM',MM',由 对 称 性 可 知 ∠ACN'=∠ACN=20°,PN=PN', ∠BCM'=∠BCM=50°, QM=QM',连接M'N'交AC于点 P', 交 BC于点Q',∴MQ+PQ+NP=M'Q+PQ+N'P≥P'Q'+M'Q'+P'N'=N'M', 当N', P, Q, M'四点共线时,即点 P, Q分别位于 P',Q'的位置时,MQ+PQ+NP最小, 最小值为 N'M'的长,作N'E⊥CM'交 M'C的延长线于点 E,∵∠N'CM'=∠N'CP+∠ACB+∠BCM'=20°+
∴∠ECN'=60°, 在 Rt△N'CE 中, ∠EN'C=30°, CN'=CN=2, ∴ CE=1, 则 ∵CM'=CM=6, ∴ EM'=CE+CM'=1+6=7,则 , 即MQ+PQ+NP的最小值为
4. 解析: 如图, 连接BC, AO, 作点 P关于AB的对称点 M，作点 P 关于AC的对称点N, 连接ME, NF, MN, 此时△PEF的周长为PE+PF+EF=EM+FN+EF≥MN,当点 M, E, F, N四点共线时, △PEF的周长取得最小值，即为MN的长，∴当MN的值最小时，△PEF的周长最小，连 接AP, AM, AN, 则 AP=AM=AN,∠BAM=∠BAP,∠CAP=∠CAN,∵∠BAC=60°, ∴∠MAN=120°, ∴ MN= AM= AP, ∴当 PA的值最小时, MN的值最小.
取AB的中点J, 连接CJ,
∵ AB=8, AC=4, ∴AJ=JB=AC=4,∵ ∠JAC=60°, ∴△JAC是等边三角形,∴ JC=JA=JB, ∴∠ACB=90°, ∴ BC= OB=OC, ∴△BOC为等边三角形, 过点A作AH⊥OC交 OC的延长线 于 点 H,∴ ∠ACH=30°, ∵AH⊥OH, ∴AH= ∵当点 P 在直线OA 上时，AP的值最小，
最小值为 ∴MN的最小值为 即△PEF的周长的最小值为
5. 解析: (1) 将x=0代入y= kx-7, 得 y=-7 ,
∴点B(0, - 7) , ∴OB=7,又∵点D(0, 18) , 即OD=18,∴ BD=OB+OD=7+18=25.
由翻折的性质可得BC=BD=25,在Rt△BOC中，由勾股定理可得 ∴直线 BC的坐标三角形的面积为
(2) 设OA=x, 则AB=21-x-7=14-x,在Rt△AOB中,
解得
∴点
将 代入y= kx-7,
得
(3)如图, 连接CE交AB于点 P ,
∵点C与点D关于直线AB 对称，
∴PC=PD, ∴PC+PE=PD+PE,当点 P, C, E在一条直线上时, PC+PE有最小值，
又∵ DE的长度不变，
∴当点 P, C, E 在一条直线上时, △PDE的周长最小，
由(1)知OC=24, ∴C(-24,0),设直线CE的解析式为y=k'x+b，将点C(-24,0), E(0,8)代入得 解得
∴直线CE 的解析式为
由(2)知直线AB的解析式为 由 解得
∴点P(-9,5),
6. 解析: (1) 把(3a, b), 代入y=x-1中可得
解得k=3,
∴反比例函数的关系式为
(2)存在.△ABP周长的最小值为 如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交 y轴于点P, 连接BP, 此时AP+BP最小, 即△ABP的周长最小.
由题意得 解得 或 ∴ B(1, 3).
由题意得 罕得 或
∴A(3,1),
∵点B与点B'关于y轴对称，
∴ B'(-1, 3), BP=B'P,
∴AP+BP的最小值为
∴△ABP 周长的最小值为

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