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模型70 圆幂定理之切割线定理
跟踪练习
1. 如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点, PA切⊙O于点 A, 若PC=2,BC=6, 则 P4 的长为 ( )
A.无限长
C.4
2. 如图,PB为⊙O的切线, B为切点,连 接 PO 交⊙O 于点 A, PA=2,PO=5, 则PB的长为 .
3.阅读下面材料，并完成相应的任务.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.下面是不完整的证明过程，请补充完整.
已知： 如图1， P 为⊙O外一点，PA 与⊙O交于A, B 两点, PM与⊙O 相切于点 M.
求证：
证明: 如图2, 连接AM, BM, 连接MO并延长交⊙O于点 C， 连接BC.
∵PM为⊙O的切线,∴ =90°,
∴∠CMB+∠BMP=90°.
∵CM为⊙O 的直径,∴ =90°,
∴ ∠CMB+∠MCB=90°,
∴ ∠MCB= .
∵∠MAB=∠MCB,∴∠BMP=∠MAB.
∵ ∠P=∠P,
∴△PBM∽ ,
【学习任务】
如图3，若线段AB与⊙O相交于C，D两点, 且AC=BD, 射线AE, BF为⊙O的两条切线，切点分别为E，F, 连接CF. 求证: AE=BF.
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模型进阶
跟踪练习
1. 如图, 在△ABC 中,∠BAC=90°, 点E为AC边上一点,过C作CD∥AB交射线 BE 于点 D,△ABC的外接圆⊙O 与BD 交于点 F, 连接AF,AD,若∠BDC=∠FAD.
(1)求证: AD为⊙O的切线;
(2)若BC=6,∠ACB=30°,求CE的长.
2.如图， 已知半径为R的⊙O 的直径AB 和弦CD交于点 M,点A为 的中点.半径为r的⊙O 是过点A, C, M的圆, 设点A到 CD的距离为d.
(1)求证:
(2) 连接BD, 若 求BD的长；
(3) 过点 O 作 EF∥AC, 交 CD于点 E，交⊙O 过点 B的切线于点F,连接AF,交CD于点G,求证:MG=CG.
3. 如图, 在等腰三角形ABC 中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D， 垂足为E ,E D的延长线与AB 的延长线交于点 F
(1)求证: EF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为 求CE 的长.
4.如图,线段AB经过⊙O的圆心O， 交⊙O于A,C两点,AD为⊙O的弦,连接BD, ∠BAD=∠ABD=30°, 连接DO并延长，交⊙O于点 E，连接BE交⊙O于点 F.
(1)求证: BD是⊙O的切线;
(2)求证:
(3)若BC=1, 求BF的长.
直击中考
5. (2022·山东枣庄模拟)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,点 D 在⊙O上,AC平分∠BAD, 过点C的切线交直径AB的延长线于点E,连接AD,BC.
(1)求证:∠BCE=∠CAD;
(2)若AB=10, AD=6, ∠E=36°,求 CE的长和 的长.
6. 如图, 以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上, 过点C作CD∥AB, 且CD=OB. 连接AD, 分别交OC,BC于点E,F,与半圆O交于点G,若∠ABC=45°.
(1) 求证: ①△ABF∽△DCF;
②CD是半圆O的切线.
(2)求 的值.
跟踪练习
1. C 解析: 方法一: 连接OA(图略),易 知 OA⊥AP, 由 BC=6, PC=2, 得OP=5, OA=3, 所以
方法二: 如图, 连接AC, AB, OA, ∵ PA为⊙O 的切线, ∴∠OAP= 90°, ∴∠OAC+∠CAP=90°. ∵ BC是 ⊙O 的 直 径,∴ ∠CAB=90°, ∴ ∠BAO+∠OAC=90°,∴ ∠BAO=∠CAP. ∵OB=OA, ∴∠ABO=∠BAO=∠CAP. ∵∠P=∠P, ∴△ACP∽△BAP, ∴PCA=PA=B, ∴PA =PC·PB.∵ PC=2,BC=6, ∴ PB=8, ∴ PA =PC·PB=16, ∴ PA=4.
2. 4 解析: 如图, 延长PO 交⊙O于C,连接AB,OB, BC, ∵PB为⊙O的切线,∴ ∠OBP= 90°, ∴ ∠OBA+∠ABP=90°.
∵ AC是⊙O的直径, ∴ ∠ABC=90°,
∴ ∠OBA+∠CBO=90°, ∴∠ABP=∠OBC.
∵ OB=OC, ∴∠BCP=∠OBC=∠ABP.
∵∠P=∠P, ∴△BCP ∽△ABP, ∴ OA=3, ∴ PB =PA·PC=2×8=16, 则PB=4(负值已舍去).
3. 解析: ∠CMP ∠CBM ∠BMP △PMA
【学习任务】证明: ∵ AE, BF为⊙O的两条切线，
由题干中的切割线定理得
∵AC=BD,
∴ AC+CD=BD+CD, 即AD=BC,
∴ AE=BF.
模型进阶
跟踪练习
1. 解析： (1)证明： 连接AO并延长交⊙O于点 G,连接FG,如图所示,
∵ AG是⊙O的直径, ∴∠AFG=90°,
∴∠FAG+∠G=90°.
∵AB∥CD, ∴∠ABD=∠BDC,
∵ ∠ABD=∠G, ∠BDC=∠FAD,
∴ ∠G=∠FAD, ∴∠FAG+∠FAD=90°,
∴∠OAD=90°,
又∵OA是⊙O的半径,
∴ AD为⊙O的切线.
∵∠BAC=90°,∴BC是⊙O的直径.
∵ BC=6, ∠ACB=30°,
∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=30°,
∵ ∠OAD=90°,
∴ ∠CAD=∠OAD-∠OAC=60°,
∵AB∥CD, ∴∠ACD=∠BAC=90°,
∵ ∠BAE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,
∴△AEB∽△CED,
即CE的长为
2. 解析: (1) 证明: ∵⊙O 的直径AB和弦CD交于点M，点A为( 的中点，∴AB⊥CD,
即
在Rt△ACM中,
∴d(2R-d)=(2r) -d ,
整理得，
整理得，
解得 (舍去),
在Rt△ACM中,(
∵∠ABD=∠ACD,∠AMC=∠DMB=90°,
∴△ACM∽△DBM,
即
解得
(3)证明: ∵ BF是⊙O 的切线,∴ BF⊥AB,
又∵AB⊥CD, ∴BF∥CD,
∴∠BFE=∠CEF.
∵EF∥AC, ∴∠CEF=∠C,
∴ ∠C=∠BFE,
又∵∠AMC=∠ABF=90°,
∴△ACM∽△O FB,
即
∵ BF∥CD, ∴△AGM∽△AFB,
即
∴CM=2MG=MG+CG,
∴MG=CG.
3. 解析: (1)证明: 连接OD,如图1所示,
∵ AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB,
∵OB=OD, ∴∠ABC=∠ODB,
∴∠ACB=∠ODB, ∴OD∥AC,
∵ DE⊥AC, ∴ DE⊥OD, 即EF⊥OD,
又∵OD是⊙O的半径,
∴EF是⊙O的切线.
(2)连接AD, 如图2所示,
∵ AB是⊙O的直径, ∴ AD⊥BC,
∵ DE⊥AC, ∴∠ADC=∠DEC,
∵∠C=∠C, ∴△CDE ∽△CAD,
4. 解析: (1) 证明: ∵ ∠BAD=30°,OA=OD, ∴∠DOB=2∠BAD=60°, 即OD⊥BD,
又∵OD是⊙O的半径,
∴ BD是⊙O的切线.
(2) 证明: ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ADO,
又∵ ∠BAD=∠ABD, ∴∠ADO=∠ABD,
∵∠A=∠A, ∴△ADO∽△ABD,
∵ DE是⊙O的直径, ∴ DE=2OA,
(3)设OD=OC=r,
在Rt△BDO中, 解得r=1,
即OD=1, OB=OC+BC=1+1=2,
由勾股定理得，
如图，连接DF，
∵ DE是⊙O的直径, ∴ ∠DFE=90°,
∴ ∠DFB=∠BDE=90°,
∵ ∠DBF=∠DBE, ∴△BFD∽△BDE, 解得
直击中考
5. 解析: (1)证明: 连接OC, 如图所示,
∵ CE是⊙O的切线, ∴ OC⊥CE,
∴ ∠OCB+∠BCE=90°,
∵ AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90°, ∴ ∠CAB+∠OBC=90°.
∵ OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC,
∴ ∠CAB=∠BCE,
∵AC平分∠BAD,
∴∠CAD=∠CAB, ∴∠BCE=∠CAD.
(2)连接BD,OD,设BD与OC交于点H,如图所示，
∵ AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°,
∵AB=10, AD=6, ∴ BD=8,
∵AC平分.∠BAD, ∴CD=CB,
∴ OC⊥BD, DH=BH=4, ∴OH=3,
∵ CE是⊙O的切线,
∴ OC⊥CE, ∴BD∥CE,
∴△OHB∽△OCE,
∵ ∠E=36°, ∠OCE=90°,
∴∠COE=54°,
∵OD=OB, DH=BH,
∴ ∠DOC=∠BOC, ∴ ∠DOC=54°,
的长为
6. 解析: (1)证明: ①∵CD∥AB,
∴∠FAB=∠D,
∵∠AFB=∠DFC, ∴△ABF∽△DCF.
②∵∠ABC=45°, OC=OB,
∴∠AOC=2∠ABC=90°,
∵ CD∥AB, ∴∠DCO=∠AOC=90°,
∵ OC是半圆O的半径，
∴CD是半圆O的切线.
(2)过点F作FH∥AB, 交OC于点H,如图，
设半圆O的半径为2a，
∵CD=OB=OA, CD∥AB,
∴ CE=OE=a, AE=DE,由勾股定理得
∵ FH∥AB,
∴△CHF ∽△COB, △HEF ∽△OEA,
∵ CD是半圆O的切线，
即 解得

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