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模型82 几何最值之圆与三点共线
跟踪练习
1. 如图, 在矩形ABCD中, 已知AB=3, BC=4,点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点 M，则线段 MC的最小值为 ( )
A.2 B.
C.3
2.如图, 点A,B的坐标分别为(2, 0), (0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1， 点M为线段AC的中点，连接OM，则 OM 的最大值为 ( )
3.如图1, 在矩形 ABCD 中, AB=4, BC=6. 点 E是线段AD上的动点(点E不与点A, D 重合) , 连接CE, 过点 E作EF⊥CE, 交AB于点 F.
(1)求证: △AEF∽△DCE;
(2)如图2, 连接CF, 过点 B作BG⊥CF, 垂足为G, 连接AG. 点M是线段BC的中点，连接 GM.
①求 AG+GM的最小值;
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长.
1. A 解析: 如图, 连接AM, ∵点B和点M关于直线AP对称, ∴AB=AM=3,∴点M在以A为圆心，3为半径的圆上运动, ∴当A, M, C三点共线时, CM最短. ∴ CM=5-3=2.
2. B 解析： ∵点C为坐标平面内一点，BC=1, ∴点C在以B为圆心, 1为半径的圆上. 在x轴上取OD=OA=2, 连接CD, 如图, ∵AM=CM, OD=OA, ∴OM是△ACD的中位线， 即当OM的值取最大时，CD的值也最大，此时D，B，C三点共线，且点C在DB的延长线上. ∵OB=OD=2, ∠BOD=90°, 即OM 的最大值为
3.解析:(1)证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=∠D=90°, ∴∠CED+∠DCE=90°.
∵ EF⊥CE, ∴ ∠CED+∠AEF=90°,
∴ ∠DCE=∠AEF, 又∵ ∠A=∠D,
∴△AEF ∽△DCE.
(2)①如图1, 连接AM.
∵ BG⊥CF, M是线段BC的中点,
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上.
∴当A, G, M三点共线时, AG+GM取得最小值，最小值为AM的长.
在Rt△ABM中, ∴ AG+GM的最小值为5.
②方法一: 如图2, 过点M作 MN∥AB交FC于点N,
则△CMN∽△CBF,
设AF=x, 0由 ①知AG+GM的最小值为 5, 即AM=5,
又∵GM=3, ∴AG=2,
解得x=1,满足0由(1)的结论可得 设DE=y, 0或
方法二： 如图3，过点G作GH∥AB交BC于点H,
则△MHG∽△MBA,
由 ①知AG+GM的 最 小值为 5, 即AM=5,
又
由GH∥AB得△CHG∽△CBF, 即 解得FB=3,∴AF=AB-FB=1.
由(1)的结论可得 设DE=y, 0或

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