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模型 80 几何最值之梯子模型
跟踪练习
1.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫在一张桌子上紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时进行捕捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点, 模型如图, ∠ABC=90°, 猫在点D处,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变，MN=6，E 为 MN 的 中 点, 点 D 到 BA,BC的距离分别为6和4，在 MN滑动的过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为 ( )
2. 如图, ∠MON=90°, 长方形ABCD的顶点B, C分别在边 OM, ON上， 当B在边 OM上运动时， C随之在边 ON上运动,若CD=5,BC=24, 运动过程中, 点 D 到点O的最大距离为 .
3. 在Rt△ABC中, ∠ABC=90°, AB=8,BC=4.如图， 将直角顶点 B 放在原点， 点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为 .
4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°, AB=4, 点 M, N分别为边AB,BC上的点,且MN=2.点D,E分别是BC,MN的中点,点 P为斜边 AC上任意一点, 求 PE+PD的最小值.
跟踪练习
1. A 解析: 如图所示, 连接BE, BD,∵点D到BA, BC的距离分别为6和4,
∵∠ABC=90°, MN=6, 点 E 为 MN的中点，
∵ BE+DE≥BD, 当且仅当B, E, D三点共线时，等号成立，
将BE=3, BD=2 代入BE+DE≥BD得，
∴ DE的最小值为 故选A.
2. 25 解析: 如图, 取 BC的中点E, 连接OE,DE,OD,∵OD≤OE+DE,∴当O,E，D三点共线时，点D到点O的距离最大∴CD=5, BC=24, ∴OE= EC= BC=l ∴OD的最大值为12+13=25.
解析：如图所示， 当点A运动到点A 处， 点B运动到点B 处时， 取A B 的中点E, 连接OE, C E, OC , 易知当O，E，C 在一条直线上时， 点C到原点的距离最大, 在 Rt△A OB 中, ,OE为斜边A B 上的中线, 又∵ ∴,点C到原点的最大距离为(
4.解析：在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°, AB=4,
∴BC=AB=4, ∠ACB=45°,
∵ D是BC的中点,
连接BE， 如图所示，
∵ ∠B=90°, 点M, N分别为边AB, BC上的点, 且MN=2, E 是 MN的中点,
∴点E在以B为圆心，1为半径的圆上运动，
作点D关于AC的对称点G，连接BG，交AC于点 P,如图所示, 易知当 B,E,G三点共线时，PE+PD有最小值，
∵AC垂直平分DG,
∴ DC=CG=2, ∠ACB=∠ACG=45°,PG=PD,
∴∠DCG=90°, PE+PD=PE+PG=GE,
∴ PE+PD的最小值为 EG=BG-BE=

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