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模型83 几何最值之圆与将军饮马
跟踪练习
1. 如图, 在菱形ABCD中, ∠A=60°,AB=3,⊙A,⊙B的半径分别为2和1,点P, E, F分别是边 CD, ⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是( )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
2. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,P,Q分别是 BC，AB上的两个动点，AE=1, 将△AEQ 沿 EQ 翻折形成△FEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是 .
3. 问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B,则 PA 是点 P到⊙ O上的点的最短距离.
(1) 探究证明: 如图1, 在⊙O上任取一点C(不与点A，B重合)，连接PC, OC. 求证: PA(2) 直接应用: 如图2, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC=3, 以 BC 为直径的半圆交AB 于点 D，P 是 上的一个动点， 连接AP， 则AP 的最小值是 ；
(3)构造运用：如图3，在边长为2的菱形ABCD中, ∠A=60°, M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A MN, 连接A B, 则A B长度的最小值为 ；
(4)综合应用：如图4，在平面直角坐标系中，分别以点A(-2，3)，B(4, 6)为圆心, 以1, 2为半径作⊙A, ⊙B, M, N分别是⊙A, ⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出 PM+PN的最小值为 .
1. D 解析： 如图，作点A关于直线DC的对称点 A', 连接AA', 延长CD交 AA'于点 N, 连接BD, DA'.∵四边形ABCD是菱 形,∠BAD=60°,AB=3, ∴ AB=AD=CD=BC=3,∠BCD=60°, ∴△ADB,△BCD 是 等 边 三 角 形, ∴∠BDC=∠ADB=60°, ∴ ∠ADN=180°-∠ADB-∠BDC=60°, ∴ ∠A'DN=∠ADN=60°,∴∠ADB+∠ADN+∠A'DN=180°, ∴A', D, B三点在一条直线上.结合题意，易知当点P与点D重合时，点E在AD上，点F在BD上时,PE+PF取得最小值.∵BD=AB=AD=3,⊙A,⊙B的半径分别为2和1,∴ PE=AD-AE=1,PF=BD-BF=2,∴ PE+PF的最小值是3.
2.4 解析：如图，作点D关于BC的对称点D', 连接PD', ED'.
在 Rt△EDD' 中, ∵ DE=3, DD'=4, 易知DP=PD',∴ PD+PF=PD'+PF.又EF=EA=1是定值,∴当 E, F, P, D'四点共线时, PF+PD'的值最小, 最小值为 ED'-EF=5-1=4,∴ PF+PD的最小值为4.
3. 解析: (1) 证明: 如图1,
在△OCP中, PO-OC∴(PA+OA)-OC∵ OA=OC, ∴ PA提示： 如图2， 设半圆的圆心为O，连接OA 交⊙O于点 P，此时AP取得最小值.
在 Rt△AOC 中,
提示：如图3，以点M为圆心，MA 为半径作⊙M, 连接BM交⊙M于A , 此时A B取得最小值, 连接BD.
∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB=AD.
∵∠BAM=60°, ∴△ABD是等边三角形.
∵ M是AD的中点, ∴∠AMB=90°,
提示： 如图4， 作点A关于x轴的对称点C，连接BC交⊙B于点N, 交x轴于点 P, 连接PA交⊙A于点M,
∴PA=PC,C(-2,-3) ,
∴ PA+PB=PC+PB=BC,
又∵C(-2,-3),B(4,6),
∴ PM+PN=PA+PB-AM-BN=3 -1-

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