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模型79 几何最值之鹊桥相会模型
跟踪练习
1. 如图1，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线 l ，l 是街道两边沿)，现准备合作修建一座过街人行天桥.
(1)天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短 在图2中作出此时天桥 PQ 的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹； (注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直)
(2)根据图1中提供的数据计算由A经过天桥走到 B的最短路线的长. (单位：米)
2. 【问题探究】如图1,a∥b,直线MN⊥a,垂足为M,交b于点 N，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为1，MN=1, AB=5, 则AM+BN的最小值是 . (提示：将线段BN沿NM方向平移1个单位长度即可解决，如图2所示)
【关联运用】
如图3，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中, ∠ACB=∠DFE=90°,DE在直线AB 上, BC=2DF=4, 连接CE, CF, 则CE+CF的最小值是 .
1.解析： (1)作法：①将点 A竖直向下平移到点A', 使 AA'=20,
②连接A'B, 与l 交于点 P,
③过点P作PQ⊥l 于Q,
④连接AQ, BP.
则天桥应建在PQ 处能使由A 经过天桥走到B的路程最短，如图1.
(2)∵AA'∥PQ, AA'=PQ,
∴四边形AA'PQ是平行四边形，
∴ AQ=A'P,
∴AQ+PB=A'P+PB=A'B.
过B作AA'的垂线， 垂足为C，如图2.
在△A'BC中,∠C=90°,BC=60,A'C=AC-AA'=15+20+10-20=25,
则
∴ AQ+PQ+PB=A'B+PQ=65+20=85.
故由A经过天桥走到B的最短路线的长为85米.
2. 解析: 【问题探究】3 提示：如图1，作AH⊥直线b于H,作BK⊥直线b于K,作BJ⊥AH交AH的延长线于J， 连接MK, AK, AB.
由题意得 MN=BK=1, ∵ MN∥BK,∴四边形MNBK是平行四边形, ∴ MK=BN, ∴AM+BN=AM+MK ≥ AK,在 Rt△ABJ 中, 易知AJ=4, AB=5,
∵ ∠J=∠JHK=∠BKH=90°,
∴四边形 BJHK 是矩形, ∴ HK=BJ=3,
∴ AM+BN≥3 , ∴AM+BN的最小值为
【关联运用】 提示：如图2，取AC的中点 G,连接FG.
∵AC=BC=2EF=4, CG=AG,
∴ EF=CG=2, ∵△ABC, △DEF都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠CAB=45°, ∴EF∥AC,
∴四边形CEFG是平行四边形，
∴ EC=FG, ∴ CE+CF=CF+FG, 过点F作直线l∥ AB，作点C关于直线l的对称点 M， 连接GM交直线l于 F'， 连接CF', 作 MN⊥CA 交 CA的延长线于N.此时CF'+GF'的值最小， 最小值为线段GM的长, 在Rt△MNG中,
∵ MN=CN=6, GN=4,
∴ CE+CF的最小值为

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