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模型78 几何最值之马道驿站模型
跟踪练习
1. 如图, 线段 CD的长为8, AC⊥CD于C, BD⊥CD于D, AC=4, BD=3, EF为线段 CD上两动点, F在 E 右侧且 EF=1, 则AE+EF+FB 的最小值为 .
2.已知平面直角坐标系中A，B两点如图， 若PQ 是一条在 x轴上移动的线段， 且PQ=1， 当BP+PQ+QA 最小时, 点Q 的坐标为 .
3. 如图, 已知P(3,2),B(-2,0),点Q从点P出发,先移动到y轴上的点 M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位长度至点N处，最后移动到点 B处停止，当点Q移动的路径最短时(即三条线段 PM, MN, NB的长度之和最小)，点M的坐标为( )
4. 如图,菱形ABCD的边长为3,∠BAD=60°,点 E,F在对角线 AC上(点E 在点F 左侧), 且EF=1, 求 DE+BF的最小值.
模型78 几何最值之马道驿站模型
解析:如 图,过 A作AA'∥CD且AA'=EF=1,作A'关于CD的对称点A",连接A"B交 CD于点F, 连接A'F,
则此时AE+EF+FB的值最小, 其中AE+FB 的 值 最 小 为 A"B 的 长, 过A"作A"H⊥BD交BD的延长线于H,则A"H=7,BH=7, ∴A"B= 7 , ∴AE+EF+FB的最小值为
解析：如图，把点B向右平移1个单位长度得到E(1，3)，作点E关于x轴的对称点F(1,-3) , 连接AF,EQ，AF与x轴的交点即为点Q， 此时BP+PQ+QA的值最小.
设直线AF的解析式为y=kx+b，则有 解得 ∴直线 AF的解析 式为 令 y=0, 得
3. A 解析：如图，将BN沿x轴正方向平移MN长的距离得到AM，连接AP， 则BN=AM,
∴四边形ABNM是平行四边形， ∴当A，M, P 三点共线时, AM+PM有最小值,最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于线段AP的长， 此时PM，MN, NB的长度之和最小.∵P(3,2),B(-2, 0) , AB=1, ∴ A(-1, 0) ,设直线AP的解析式为y=kx+b， 则 解得 直线AP的解析式为 令x=0, 则 即
4. 解析: 如图, 作DM∥AC, 使得DM=EF=1, 连接BM交AC于F,
∵ DM=EF, DM ∥EF, ∴ 四 边 形DEFM 是平行四边形, ∴ DE=FM,∴ DE+BF=FM+FB=BM, 根据两点之间线段最短可知， 此时DE+BF最短， ∵四边形 ABCD是菱形, AB=3, ∠BAD=60°,∴ AD=AB, ∴△ABD是等边三角形,∴ BD=AB=3, ∵ BD⊥AC, DM ∥AC,∴ BD⊥DM, 在 Rt△BDM 中, ∴D E+BF的最小值为

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