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模型84 几何最值之阿氏圆问题
跟踪练习
1.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
已知平面上两点A，B，则所有符合 且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现，称阿氏圆.阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴, y轴上分别有点C(m,0),D(0, n) , 点P是平面内一动点,且OP=r, 设 求PC+kPD的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤如下.
第一步：如图1，在OD上取一点M，使得OM:OP=OP:OD=k;
第二步: 证明kPD=PM;
第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解: 在OD 上 取 一点 M, 使得OM:OP=OP:OD=k,
又∵∠POD=∠MOP,
∴△POM∽△DOP.
任务：
(1)将以上解答过程补充完整；
(2) 如图2, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=4, BC=3, D 为△ABC内一动点, 满足CD=2, 利用(1)中的结论，请直接写出 的最小值.
2. 如图, 在△ABC与△DEF中,∠ACB=∠EDF=90°, BC=AC,ED=FD, 点D在边AB上.
(1) 如图1, 若点 F在AC的延长线上，连接AE，探究线段AF，AE，AD之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若点D与点A重合，且AC=3 DE=4,将△DEF绕点 D 旋转, 连接BF, 点 G为BF的中点，连接CG，在旋转的过程中，求 的最小值.
3.如图, 在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点A和C(1, 0), 交y轴于点B(0，3)，抛物线的对称轴交x轴于点 E，交抛物线于点 F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE绕着点 O按顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α(0°<α<90°) , 连接AE', BE', 求 的最小值；
(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形 若存在，请直接写出点 N的横坐标；若不存在，请说明理由.
1. 解析: (1)在OD上取一点M, 使得OM:
OP=OP:OD=k, 又 ∵ ∠POD=∠MOP,
∴△POM∽△DOP,
∴ MP=kPD,
∴PC+kPD=PC+MP,
∴当 C, P, M三点共线时, PC+kPD取最小值， 最小值为CM的长.
由勾股定理得
的最小值为 提示：
的最小值为
2. 解析: (1) 线段AF, AE, AD之间的数量关系为 证明如下：过点 F作FH⊥AB 于点 H, 过点 E作EG⊥AB 于点G, 如图1.
∵ FH⊥AB, EG⊥AB, ∠EDF=90°,
∴∠FHD=∠DGE=90°, ∠FDH=90°-∠EDG=∠DEG, 又∵DF=DE,
∴△FHD≌△DGE,
∴ FH=DG=AD+AG.
∵∠ACB=∠EDF=90°, BC=AC, ED=FD,
∴ ∠FAB=∠FED=45°,
∴点F, D, A, E四点共圆,
∴∠FAE=∠FDE=90°, ∠EAG=∠DFE=45°.
∵ FH⊥AB, EG⊥AB, ∠BAC=45°,
∴△FAH和△EAG 为等腰直角三角形,
(2)取AB的中点O, 连接OG, 在OB上取 连接GH, 如图2,
∵ G为BF的中点, O为AB的中点,
∴ OG 是△ABF的中位线,
而又∵∠HOG=∠GOB, ∴△HOG∽△GOB,
连接CH, ∴当H, G, C三点共线时, 的值最小且最小值是 连接OC,则( 的最小值是
3. 解析: (1)把C(1, 0), B(0, 3)代入 中，得
∴抛物线的解析式为
(2)如图， 在OE上取一点D， 使得 连接DE', BD,
抛物线的对称轴为直线x=-1,
∴ E(-1, 0) , OA=3, ∴ OE=1,
又∵∠DOE'=∠E'OA,∴△DOE'∽△E'OA,
∴当B, E', D三点共线时,. 取最小值，最小值为BD的长.
的最小值为
(3)存在，点N的横坐标为 或 或--1或2. 提示: 设N(n,
∵A(-3, 0) , B(0, 3),
∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，
∴△ABN是直角三角形.
若AB是斜边，则 即 解得 ∴点 N的横坐标为 或 若AN是斜边，则 即 解得n=0(与点B重合, 舍去)或n=-1,∴点N的横坐标是-1；
若BN是斜边，则 即 解得n=-3(与点A重合, 舍去)或n=2,∴点 N的横坐标为2.
综上，点N的横坐标为 或 或-1或2.

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