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模型87 立体几何之欧拉定理
跟踪练习
1.如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V-E+F=2.这个就是著名的欧拉定理.根据上述的欧拉定理，若一个多面体的面数为12，棱数是80，则其顶点数为 .
2.设棱锥的顶点数为 V，面数为F，棱数为E.
图1的 三 棱 锥 中，V =4,F =4,
图 2 的 四 棱 锥 中,
图3的五棱锥中，V =6, F =6,
(1)猜想：十棱锥中，
n 棱 锥 中, (用含 n的式子表示)
(2)探究:
①棱锥的顶点数(V)、面数(F)之间的等量关系： ；
②棱锥的顶点数(V) 、面数(F)、棱数(E)之间的等量关系： ；
(3)应用：运用(2)的结论，若一个棱锥的顶点数V为2 021，试求出它的棱数E.
3. )欧拉是世界上著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 V、棱数E、面数F之间存在一定的数量关系，发现了著名的欧拉公式.
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整；
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数v 4 6 8
棱数 E 6 12
面数F 4 5 8
分析表中的数据，你能发现V，E，F之间有什么关系吗 请写出关系式： .
1. 70 解析: 根据题意得,V-E+F=2,∴V=E-F+2,∵一个多面体的面数为12,棱数是80,∴其顶点数为80-12+2=70.
2. 解析: (1)11 11 20 n+1 n+1 2n提示：根据三棱锥、四棱锥、五棱锥中顶点数、面数、棱数，猜想：在十棱锥中， n棱锥中，
(2)①V=F ②E=V+F-2
(3)由(2) 可知V=F, E=V+F-2, 当V=2 021时, E=V+F-2=2 021+2 021-2=4040.
直击中考
3. 解析: (1)填表如下:
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数 V 4 6 8 6
棱数 E 6 9 12 12
面数 F 4 5 6 8
(2) V+F-E=2 提示: ∵ 4+4-6=2,6+5-9=2, 8+6-12=2, 6+8-12=2,∴ V+F-E=2,
即V, E, F之间的关系式为 V+F-E=2.

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