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模型86 立体几何之蚂蚁爬行问题
跟踪练习
1. 如图，三级台阶，每一级的长，宽，高分别为8dm, 3dm, 2dm. 点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 ( )
A.15dm B.17dm C.20dm D.25dm
2.长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上，与点C的距离为5，如图，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，则需要爬行的最短路程是 .
3.为筹备元旦晚会， 同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色刷成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示，已知圆筒高为108 cm，其横截面周长为36cm，如果在圆筒表面恰好能缠绕油纸4圈，应至少裁剪 cm的油纸.
4. 如图所示，一棱长为3c m的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形(图中仅画出下面和右面)，其边长都为1 cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A处沿表面爬行至侧面的点B处，最少要用 秒.
5. 如图, 圆柱形容器高为18 cm，底面圆周长为24cm, 在杯内壁离杯底4 cm的点 B 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.
1. B 解析：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为[(2+3)×3] dm,则蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线的长，所以最短路程为 故选B.
2.25 解析：分三种情况：①把长方体的右侧表面沿棱剪开与前面这个面所在的平面形成一个长方形，如图1， ∵长方体的宽为10， 高为20， 点B与点C的距离是5, ∴BD=CD+BC=10+5=15,在Rt△ABD中, AD=20, BD=15,则由勾股定理得
②把长方体的右侧表面沿棱剪开与上面这个面所在的平面形成一个长方形，如图2 ，∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C的距离为5,∴BE=CE+BC=20+5=25,在Rt△ABE中,AE=10, BE=25, 则由 勾 股 定 理 得
③把长方体的上表面沿棱剪开与后面这个面所在的平面形成一个长方形，如图3，∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C 的 距 离 为 5, ∴ AC=CD+AD=20+10=30, 在Rt△ABC中, 由勾股定理得 ∴蚂蚁需要爬行的最短路程是25.
3. 180 解析：将圆筒沿一条母线展开后形成一个矩形， 如图，整个油纸也随之分成相等的4段，只需求出AC的长即可.在Rt△ABC中，易知AB=36cm,BC=108÷4=27(cm),∴AC= ∴应至少裁剪油纸的长为45×4= 180(cm).
4.2.5 解析： 因为爬行路径不唯一，所以分情况分别计算，再从各个路线中确定最短的路线，用最短的路线长除以爬行速度即可.①展开正方体的前面和右面，由勾股定理得AB= ②展开正方体的底面和右面，由勾股定理得AB= ③展开正方体的底面和后面，由勾股定理得. 所以最短路线长为5cm，用时最少为5÷2=2.5(秒).
5.20 解析：如图，将杯子沿A，B所在高展开，作点 A关于直线EC的对称点 A'，连接A'B交EC于点 F,连接AF,易知AF+FB即为最短距离，过A'作A'D垂直于BE，交 BE的延长线于点 D. 在 Rt△A'DB 中, 易 得 A'D=12cm,BD=DE+BE=2+(18-4)=16(cm), 由勾股定理得

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