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模型72 等腰直角三角形存在性之八线六点模型
跟踪练习
1. 如图, ∠AOB=30°, 点 M, N在射线OA上(都不与点O重合)，且MN=3, 点 P在射线OB上, 若△MPN为等腰直角三角形，则OP的长为 .
2. 已知抛物线 与x轴交于A(-5, 0), B(-1, 0)两点.
(1)求抛物线L 的表达式；
(2)平移抛物线L 得到新抛物线L ，使得新抛物线L 经过原点O，且与x轴的正半轴交于点 C，记新抛物线L 的顶点为 P,若△OCP是等腰直角三角形，求出点 P的坐标.
3.如图1, 已知抛物线 经过点A(0,3),B(1, 0), 过点A 作AC∥x轴交抛物线于点 C，∠AOB 的平分线交线段AC于点 E，点P 是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线L的解析式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上, 连接PE, PO, 当△OPE的面积最大时，求出点 P 坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得到抛物线的顶点落在△OAE内( 包括△OAE的边界)，求h的取值范围；
(4)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点 P,使△POF 成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
模型72 等腰直角三角形存在性之八线六点模型
跟踪练习
1. 6或3
思路探寻
分三种情况讨论： ①如图1， 当∠MNP=90°,PN=MN=3时;②如图2,当∠NPM=90°,PM=PN时;③如图3,当∠NMP=90°, PM=MN=3时.
解析：若△MPN为等腰直角三角形，则分三种情况讨论：
①如图1, 当∠MNP=90°, PN=MN=3时,∵∠AOB=30°, ∴ OP=2PN=6.
②如图2,当∠NPM=90°, PM=PN时,过点P作PH⊥MN于点 H, 则 ∵∠AOB=30°, ∴ OP=2PH=3.
③如图3,当∠NMP=90°,PM=MN=3时,∵∠AOB=30°, ∴ OP=2PM=6.
综上所述，OP的长为6或3.
2. 解析: (1) 把A(-5, 0), B(-1, 0)分别代入
得 解得
∴抛物线L 的表达式为
(2) 如图, 过点 P作PQ⊥x轴于点Q,
∵将抛物线L 平移得到新抛物线L ，
∴两抛物线形状相同.
设新抛物线L 的顶点为 P(h，k)， 则新抛物线 L 的表达式为
∵△OCP 是等腰直角三角形, PQ⊥x轴,
∴ PQ=OQ, 即 |h|=|k|,
又新抛物线L 经过原点O，
即
解得h=0或 h=1或 h=-1.
当h=0时， 新抛物线L 的顶点是原点，O,C,P重合,不能构成△OCP,故舍去.
当h=1时, k=1, 此时P(1, 1).
当 h=-1时, k=1, 此时P(-1, 1).
∴当△OCP 是等腰直角三角形时， 点P的坐标为(1, 1)或(-1, 1).
3. 解析: (1) ∵抛物线 经过点A(0, 3), B(1, 0),
解得
∴抛物线 L的解析式为
(2) 如图1, 过点P作PG∥y轴, 交OE于点G，
设
∵ OE 平分∠AOB, ∠AOB=90°,
∴∠AOB=45°,
∴△∠AOE是等腰直角三角形，
∴ AE=OA=3, ∴E(3, 3),
∴直线OE的解析式为y=x，
∴G(m, m) ,
∴当 时， △OPE的面积最大，此时点P坐标为
(3) 如图2, 由. 得抛物线L的对称轴为直线x=2， 顶点为(2, - 1),
得抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为(2, - 1+h).
设直线x=2交OE于点M, 交AE于点N,
∵直线OE的解析式为y=x，
∴ M(2, 2),
∵平移后抛物线的顶点在△OAE内(包括△OAE的边界),
∴2≤-1+h≤3, 解得3≤h≤4.
(4)存在.点P的坐标是
或
亘 方
提示： 方法一： 设P(m, m -4m+3),分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3, 过P作MN⊥y轴, 交y轴于M,交l于N,
∴∠OMP=∠PNF=90°,
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴ OP=PF, ∠OPF=90°,
∴ ∠OPM+∠NPF=∠PFN+∠NPF=90°,
∴ ∠OPM=∠PFN,
∴△OMP≌△PNF, ∴OM=PN,
解得 (舍)或 ∴点P的坐标为
②如图3， 当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得，
解得 (舍)或
∴点P的坐标为
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4, 过P作MN⊥x轴于 M, 过F作FN⊥MN于 N,
同理得△OMP≌△PNF,
解得 或 (舍);
∴点P的坐标为
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，同理得
解得 或 (舍),∴点P的坐标为 综上所述，点P的坐标是 或 或 或
方法二: 如图6, 作直线DE:y=x-2,
E(1, - 1)是 D(2, 0)绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小 倍得到，
易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小 的轨迹，
联立直线DE和抛物线解析式得.x -4x+3=x-2,
解得
同理可得
∴点P的坐标是 或 或 或

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