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模型73 直角三角形存在性之两垂一圆模型
跟踪练习
1. 已知点A(-4,0), B(2,0).若点C在一次函数 的图象上， 且△ABC是直角三角形， 则点C的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 如图,已知点A(-8,0),B(2,0),点C在直线l： 上，则使△ABC是直角三角形的点 C的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-3,0),(3,0) , 点P在反比例函数 的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点 P的个数为 ( )
A.2 B.4 C.5 D.6
4. 如图, 顶点为A(-4, 4) 的二次函数的图象经过原点(0，0)，点 P 在该图象上，OP 交其对称轴l于点 M,点 M,N关于点A对称,连接PN, ON.
(1)求该二次函数的表达式；
(2) 若点 P 的坐标是(-6,3) ,求△OPN的面积;
(3)当点 P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①求证: ∠PNM=∠ONM;
②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标.
5.如图1, 抛物线 与x轴交于点 A(-2, 0), B(6, 0) , 与y轴交于点 C， 顶点为D， 直线AD交y轴于点 E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2, 将△AOE沿直线AD平移得到△NMP.
①当点 M落在抛物线上时，求点M的坐标；
②在△NMP 移动过程中，存在点 M使△MBD 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 M的坐标.
6. 如图, 在平面直角坐标系中， 抛物线 与x轴交于A， C两点， 与y轴交于点 B， 其中点B 的坐标为(0, - 4) , 点 C的坐标为(2, 0).
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)点D 是直线AB下方抛物线上一个动点， 连接AD，BD， 是否存在点 D，使得△ABD的面积最大 若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点 P的坐标.
模型73 直角三角形存在性之两垂一圆模型
跟踪练习
1. B 解析： 由题意知， 直线 与x轴的交点为(-4,0),与y轴的交点为(0,2),如图,过点 B 作BC垂直于直线AC于点C, 作C'B⊥AB, 垂足为 B, 故共有2个点能与点A，点B组成直角三角形.故选 B.
2. C 解析: 如图,
①当∠A为直角时，过点A 作x轴的垂线与直线l的交点为 W(-8, 10); ②当∠B为直角时，过点B作x轴的垂线与直线l的交点为 ③若∠C为直角，则点C在以 AB中点E(-3, 0)为圆心,5为半径的圆与直线l的交点上. 在直线 中, 当x=0时, y=4, 即Q(0,4),当y=0时, 即 则 过 AB 中 点E(-3,0) 作EF⊥直线l于点 F, 则∠EFP=∠QOP=90°, ∵ ∠EPF=∠QPO, ∴△EFP∽ 即 解得EF=5, ∴以E(-3, 0)为圆心, 5为半径的圆与直线l恰好有一个交点.∴直线 上有一点C满足∠ACB=90°. 综上所述, 使△ABC是直角三角形的点 C 的个数为3.故选 C.
3. D 解析: 如图, ①当∠PAB=90°时,点 P 的横坐标为-3, 把x=-3代入 得 所以此时点P有1个；②当∠APB=90°时, 设 36, 因为 所以 ( 整理得 4=0,所以 或 所以此时点P有4个; ③当∠PBA=90°时， 点P的横坐标为3， 把x=3代入 得 所以此时点P有1个.综上所述， 满足条件的点P有6个.故选D.
4. 解析： (1)设该二次函数的表达式为
把(0, 0)代入表达式, 得0=16a+4, 解得
∴该二次函数的表达式为 即
(2)设直线OP的表达式为y= kx(k≠0),将P(-6, 3)代入y= kx, 得3=-6k, 解得 ∴直线OP的表达式为 当x=-4时, y=2. ∴ M(-4, 2).
∵点M, N关于点A 对称, ∴ N(-4, 6).∴ MN=4.
(3)①证明：设点P的坐标为 其中t<-4,
设直线 OP 的表达式为 将 代入.y=k'x,得 解得
∴直线OP 的表达式为 当x=-4时, y=t+8.
∴ M(-4, t+8). ∴AN=AM=4-(t+8)=-t-4.
∴ N(-4, - t).
如图，设对称轴l交x轴于点B，过点P作PC⊥l于点C,
则B(-4, 0),
∴ OB=4, NB=-t, PC=-4-t,
则
又∵∠NCP=∠NBO=90°,∴△NCP∽△NBO,
∴∠PNM=∠ONM.
②点P的坐标为
提示：分三种情况考虑：
(i) 若∠ONP为直角,
由①得, ∠PNM=∠ONM=45°,
∴△PCN为等腰直角三角形，
∴ CP=NC, 即
解得t=-4,
此时点A 与点 P重合，故不存在点 P使△OPN为直角三角形；
(ii)若∠PON为直角，根据勾股定理得，
解得t=0或 或 (舍去),
当t=0时, 点 P与原点重合, 故∠PON不能为直角，
当 即 时，N为第四象限点，成立，故存在点 P使△PON 为直角三角形；
(iii) 若∠NPO为直角, 可得∠NPM=∠OBM=90°, 又∵∠PMN=∠BMO,
∴△PMN∽△BMO,
又∵∠MPN=∠OBN=90°, 且∠PNM=∠ONB,
∴△PMN∽△BON,
∴△PMN∽△BMO ∽△BON,
即
解得t=-4,
此时点A 与点P重合，故不存在点 P使△OPN为直角三角形.
综上， △OPN为直角三角形时， 点 P的坐标为
直击中考
5. 解析: (1) 将(-2, 0), (6, 0)代入y=
得 解得
故抛物线的解析式为
(2)易得D(2,8),由点A,D的坐标得,直线AD的解析式为y=2x+4.
设点 N(n, 2n+4),
∵ MN=OA=2, ∴点M(n+2, 2n+4).
①将点M的坐标代入抛物线的解析式得， 解得
故点M的坐标为 或
②点M的坐标为(-2, - 4)或 或 或
提示: ∵点 M(n+2, 2n+4), 点B, D的坐标分别为(6, 0), (2, 8),
当∠BMD 为直角时,
由 勾 股 定 理 得. 即 解得
当∠MBD为直角时, 同理可得n=-4;
当∠MDB 为直角时，同理可得
故点M的坐标为(-2, - 4)或
或
或
6. 解析: (1) ∵抛物线 m(a ≠0)经过点 B(0, - 4), 点C(2, 0), 解得
∴抛物线的函数解析式为
(2)存在.点D的坐标为(-2, - 4).
令y=0, 则
解得x=-4或x=2,
∴ A(-4, 0).
∵ B(0, - 4), ∴ OA=OB=4.
设 其中-4-t -4t=-(t+2) +4,
∵ -1<0,
∴当 t=-2时, △ABD的面积最大, 最大值为4, 此时D(-2, - 4).
(3)如图2，设抛物线的对称轴交x轴于点N， 过点 B作BM⊥抛物线的对称轴于点 M, 则 N(-1, 0), M(-1, - 4).
∵OA=OB=4, ∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
当 时，△ANP 是等腰直角三角形，
∴ AN=NP =3, ∴ P (-1, 3).
当 时，△BMP 是等腰直角三角形, 可得P (-1, - 5).
当∠APB=90°时, 设 P(-1, n), 设AB的中点为 J, 连接 PJ, 则J(-2, - 2),
解得 或
综上所述，满足条件的点P的坐标为(-1，3)或(-1, - 5)或( 或(-1,

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