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模型74 轨迹圆之定弦定角模型
跟踪练习
1. 如图, 在△ABC中, ∠ABC=90°,BC=4, AB=8, P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD,CD,当∠CBP=∠BAD时,线段CD 的最小值是 ( )
B. 2
2. 如图, 在矩形ABCD中, AB=8,BC=6，点 P 在矩形的内部，连接PA, PB, PC, 若∠PBC=∠PAB,则PC的最小值是 ( )
A.6
3. 如图, 点P 是正六边形ABCDEF内一点, AB=4, 当∠APB=90°时, 连接PD，则线段PD的最小值是( )
C.6
4. 如图, ∠MON=45°, 线段AB在射线 ON上运动, AB=2.
(1) 如图1, 已知OA=AB, AC=BC,∠ACB=90°,点C在∠MON内.求证：①以点 C为圆心，CA为半径的圆与射线 OM相切(切点记为点P) ;
②∠APB的大小为45°.
(2)如图2，若射线OM上存在点 Q, 使得∠AQB=30°, 求 OA 的取值范围.
5. 如图, 点A与点 B 的坐标分别是(1,0),(5,0),点 P是该直角坐标系内的一个动点.
(1)使∠APB=30°的点 P有 个;
(2)若点P在y轴上, 且∠APB=30°,求满足条件的点 P 的坐标；
(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值 若有，求点 P 的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由.
6. (1) 如图1, 已知△ABC中, ∠ABC=30°,AB=AC=1,则
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中， 点A 在y轴上运动， 点B在x 轴上运动, 且AB=4, 求△AOB面积的最大值.
(3) 如图3, ⊙O的半径为2,弦 点 C为优弧 上一动点,AM⊥AC交射线CB于点M,请问：△ABM的周长存在最大值还是最小值 若存在，求出相应的最值；若不存在，说明理由.
模型74 轨迹圆之定弦定角模型
跟踪练习
1. D 解析: 如图,∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠CBP=90°, ∵∠CBP=∠BAD,∴ ∠ABD+∠BAD=90°, ∴ ∠ADB=90°,取AB的中点E，连接DE,CE,
∵ CD≥CE-DE,
∴ CD的最小值为
故选D.
2. C 解析: 如图,∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC=90°, ∴ ∠ABP+∠PBC=90°,∵ ∠PBC=∠PAB, ∴∠PAB+∠PBA=90°, ∴∠APB=90°, ∴点 P在以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆上运动，连 接OC 交 ⊙O 于 P, 此 时 PC 最小. ∴ PC的最小值为 故选C.
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3. B 解析: 如图,取AB的中点O,△CBH中, 在 Rt△OBD 中, ∴线段PD的最小值为OD-OP= 故选 B.
4. 解析: (1) 证明: ①如图1, 过点C作CP⊥OM于点 P, 过点A 作AH⊥OM于点 H, 则 PC∥AH.
∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠CAB=45°,
∵∠O=45°, ∴∠CAB=∠O,
∴AC∥OP, ∵PC∥AH,
∴四边形ACPH是平行四边形.
∵ ∠CPH=90°,
∴四边形 ACPH是矩形.
∵ OA=AB, ∠AHO=∠BCA=90°, ∠O=∠CAB=45°, ∴△AOH≌△BAC,
∴AC=BC=OH=AH,
∴四边形ACPH是正方形, ∴ PC=AC,
∴OM是⊙C的切线.
②如图2, 连接PA.
由①可知四边形ACPH是正方形，
∴∠ACP=90°,
∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠PCB=180°,
∴P, C, B 三点共线,
(2)如图3，以AB为边向上作等边三角形ABC, 以C为圆心, CA为半径作⊙C,当⊙C与射线OM有交点时，射线OM上存在点Q，使得
当⊙C与射线OM 相切于点Q时，过点C作CP∥OM交OB于点 P, 过点P作PK⊥OM 于点 K, 过点 C 作 CH⊥AB 于点H， 则四边形CQKP 是矩形，
∴ PK=CQ=CA=AB=2.
∵∠O=45°,∠OKP=90°,∴OK=PK=2,
∵△ABC是等边三角形, CH⊥AB,
∵ PC∥OM, ∴∠CPH=∠O=45°,
观察图形可知，OA 的取值范围为
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5. 解析: (1)无数 提示: 以AB为边,在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C， 交y轴于点 P , P .
在优弧AP B上任取一点P，如图1，则 ∴使∠APB=30°的点 P有无数个.
(2)①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB, 垂足为G, 如图1.
∵点A(1, 0), 点B(5, 0),
∴ OA=1, OB=5. ∴ AB=4.
∵△ABC为等边三角形, CG⊥AB,
∴OG=OA+AG=3.
∴点C的坐标为(3, 2 ).
过点C作CD⊥y轴， 垂足为 D， 连接CP ,
∵点C的坐标为(3, 2 ) ,
∴ CD=3, OD=2
∵P , P 是⊙C与y轴的交点,
∵点C为圆心, CD⊥P P , DP =DP =
②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得，
综上所述，满足条件的点 P 的坐标是 或 或
(3)当过点A，B的⊙E与y轴相切于点 P时，∠APB最大， 此时点 P的坐标为(0, )或(
理由: 易得∠APB=∠AEH, 当∠APB最大时,∠AEH最大. 由 得，当AE最小即 PE最小时, ∠AEH最大,所以当⊙E与y轴相切于点 P时，∠APB最大.
连接EA, 作EH⊥x轴, 垂足为H, 如图2.
当点P在y轴的正半轴上时，
∵⊙E 与y轴相切于点 P, ∴ PE⊥OP.
∵ EH⊥AB, OP⊥OH,
∴ ∠EPO=∠POH=∠EHO=90°,
∴四边形 OPEH 是矩形,
∴ OP=EH, PE=OH=3, ∴ EA=3.
∵∠EHA=90°, AH=2, EA=3,
∴ P(0, ).
当点P在y轴的负半轴上时，同理可得，
理由：
若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合),
连接MA, MB, 交⊙E于点 N, 连接NA, 如图2.
∵∠ANB是△AMN的外角,∴∠ANB>∠AMB.
∵∠APB=∠ANB, ∴∠APB>∠AMB.
若点 P在y轴的负半轴上，同理可得, ∠APB>∠AMB.
综上所述，当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，
此时点P的坐标为(0， )或(
6. 解析: 提示： 如图1，过点A作AH⊥BC于H.
∵AB=AC, AH⊥BC,
∴ BH=CH,
∵ AB=1, ∠B=30°,
(2) 如图2, 取AB的中点E, 连接OE, 过点O作OH⊥AB 于点 H.
∵∠AOB=90°,AE=EB, ∴OE= AB=2,
∵ OH⊥AB, ∴ OH≤OE, 即OH≤2,
∴ OH的最大值为2,
∴△AOB 的面积的最大值为
(3) △ABM的周长存在最大值，最大值为 提示：如图3，连接OA, OB, 过点 O 作 OH⊥AB 于点 H.
∵ OH⊥AB, OA=OB,
∴∠AOH=60°, ∴∠AOB=2∠AOH=120°,
∵MA⊥AC, ∴∠M=30°.
如图4, 在△ABM中, ∠AMB=30°, △ABM的周长存在最大值.理由如下：
作△ABM的外接圆，取优弧 的中点O, 连接OA, OB, 以O为圆心, OA为半径作⊙O，延长AM交⊙O于F，连接BF.
∵∠AOB=∠AMB=30°,
∵∠AMB=∠F+∠MBF=30°,
∴ ∠F=∠MBF, ∴ MF=MB,
∴ MA+MB=MA+MF=AF,
∴当AF的值最大时，MA+MB的值最大，此时△MAB的周长最大，
延长AO交⊙O于E, 连接BE交△ABM的外接圆于D, 连接AD, OD.
易知∠ABD=∠AOD=90°,
∴ OD⊥AE, ∵OA=OE,
∴ DA=DE, ∴ ∠E=∠EAD=15°,
∴ ∠ADB=15°+15°=30°,
∴AD=DE=2AB=4
当AF与AE重合时，AF的值最大，
∴ AF的最大值为
∴△ABM的周长的最大值为

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