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模型75 轨迹圆之四点共圆模型
跟踪练习
1.锐角三角形ABC的三条高 AD，BE, CF交于点 H, 在A, B, C,D，E，F，H七个点中，能组成四点共圆的组数是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2. 如图, AB=AD=6, ∠A=60°, 点 C在∠DAB内部且∠C=120°, 则CB+CD的最大值为 ( )
B.8 C.10
3.如图， 正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a和b，正方形 DEFG绕点 D 旋转， 给出下列结论: ①AG=CE;②AG⊥CE;③点G,D,H,E四点共圆;④DH平分∠ADE;( 其中正确的结论是 ( )
A.①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ①②③⑤
4. 【问题情境】如图1，在四边形ABCD中, ∠B=∠D=90°.求证: A,B, C, D四点共圆.
小吉同学的作法如下：连接AC，取AC的中点 O, 连接OB, OD, 请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图2，在正方形ABCD 中, AB=2, 点 E 是 边 CD的中点，点F是边 BC上的一个动点, 连接AE, AF, 作EP⊥AF于点 P.
(1)如图2，当点 P恰好落在正方形 ABCD的对角线BD上时，线段AP的长度为 ；
(2) 如图3, 过 点 P 分别作PM⊥AB 于 点 M, PN⊥BC 于 点N, 连接 MN, 则 MN的最小值为 .
5. 综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点 B，D, 连接AD, AB, BC, CD, 如果∠B=∠D, 那么A, B, C, D四点在同一个圆上.
探究展示：
如图2, 作经过点A, C, D的⊙O,在劣弧AC上取一点E(不与A，C重合) , 连接AE, CE, 则∠AEC+∠D=180°(依据1).
∵∠B=∠D,
∴ ∠AEC+∠B=180°,
∴A，B，C，E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆)，∴点 B, D在点A, C, E所确定的⊙O上(依据2),
∴A, B, C, D四点在同一个圆上.反思归纳：
(1)上述探究过程中的“依据1” “依据2”分别是指什么
依据1: ;
依据2: .
(2)如图3, 在四边形ABCD中,∠1=∠2, ∠3=45°, 则∠4 的度数为 .
拓展探究：
(3) 如图4, 已知△ABC是等腰三角形, AB=AC, 点D在BC上(不与BC的中点重合)，连接AD.作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F, 连接AE, DE.①求证: A, D, B, E四点共圆;②若 AD·AF的值是否会发生变化 若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.
1. C 解析： 如图， 以AH为斜边的两个直角三角形, 四点共圆(A, F, H, E);以BH为斜边的两个直角三角形， 四点共圆(B, F, H, D); 以CH为斜边的两个直角三角形, 四点共圆(C, D, H, E);以AB为斜边的两个直角三角形， 四点共圆(A, E, D, B); 以BC为斜边的两个直角三角形, 四点共圆(B, F, E, C);以AC为斜边的两个直角三角形， 四点共圆(A, F, D, C), 共6组. 故选 C.
2. A 解析: 如图,连接AC,BD,在AC上 取 点 M 使 DM=DC, ∠DCB=120°,∴ ∠DAB+∠DCB=180°, ∴ A, B, C,D 四 点 共 圆, ∵ AD=AB, ∠DAB=60°,∴△ADB 是等边三角形, ∴ ∠ABD=∠ACD=60°, ∵DM=DC, ∴△DMC 是等边三角形, ∴ ∠ADB=∠MDC=60°,∴∠ADM=∠BDC, 又∵AD=BD,DM=DC,∴△ADM ≌△BDC,∴AM=BC, ∴AC=AM+MC=BC+CD, ∴当 AC 最 大 时,CB+CD最大,此时点C在 的中点处，∴∠CAB=30°, ∴AC的最大值为 4 , ∴CB+CD的最大值为 故选A.
3. D 解 析: 如图, 在△ADG 和△CDE中,AD=CD,∠ADG=∠CDE,DG=DE,∴△ADG ≌△CDE, ∴ AG=CE.∴∠DAG=∠DCE, 连接AC, ∵∠DAG+∠CAG+∠ACD=90°, ∴ ∠DCE+∠CAG+∠ACD=90°, ∴ ∠AHC=180°(∠DCE+∠CAG+∠ACD)=90°, ∴ AG⊥CE.
又∠GDE=90°, ∴ 点 G, D, H, E 四
点共圆.∵a和b不一定相等， ∴DH
不一定平分∠ADE.连接AE, EG, CG,
即 ∴①②③⑤正确.故
选 D.
4.解析： 【问题情境】
证明：如图1，连接AC，取AC的中点O，连接OB, OD,
∵∠ADC=∠ABC=90°, O为AC的中点,
∴A, B, C, D四点共圆.
【问题解决】 提示： ∵四边形ABCD为正方形，点E 是边CD的中点，AB=2,
∴ AD=2, DE=1.
由【问题情境】结论可知, A, D, E, P四点共圆，如图2，
∴ ∠PAE=∠PDE.
∵ BD 为正方形ABCD的对角线,
∴ ∠PDE=∠PAE=45°.
∵EP⊥AF,
∴△PAE 为等腰直角三角形，
设AP长为a, 则 PE长为a,
即
解得 (不合题意，舍去)，∴线段 AP 的长度为
提示：由【问题情境】结论可知, A, D, E, P四点共圆,如图3, 过点O作OG⊥AD于点 G, 作OH⊥AB于点H,连接OB交⊙O于点P',连接PB,
∵ PM⊥AB, PN⊥BC,
∴ ∠PMB=∠MBN=∠PNB=90°,
∴四边形 MBNP 为矩形,
∴ MN=PB,
要求MN的最小值，即求 PB的最小值，
由(1)知,
∵OG⊥AD, ∴OG∥DE,
∵点O为AE的中点，
∴ OG为△ADE的中位线,
∵OG⊥AD, OH⊥AB,
∴四边形AHOG为矩形，
在Rt△BHO中, 连接OP，根据两点之间线段最短得，PB+OP≥OB,
即
∴ PB的最小值为
∴ MN的最小值为
直击中考
5.解析： (1)圆内接四边形对角互补过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
(2)45° 提示: ∵∠1=∠2,
∴A, B, C, D 四点在同一个圆上,
∴∠3=∠4,
∵∠3=45°, ∴∠4=45°.
(3)①证明: ∵AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB,
∵点E与点C关于AD对称，
∴ AE=AC, DE=DC,
∴ ∠AEC=∠ACE, ∠DEC=∠DCE,
∴∠AED=∠ACB=∠ABC,
∴A, D, B, E四点共圆.
②AD·AF的值不会发生变化，为定值8.如图， 连接CF，
∵点E与点C关于AD对称，
∴ FE=FC, ∴∠FEC=∠FCE,
∴∠FED=∠FCD.
∵A, D, B, E四点共圆,
∴ ∠FED=∠BAF, ∴ ∠BAF=∠FCD,
∴A, B, F, C四点共圆,
∴∠AFB=∠ACB=∠ABC.
∵ ∠BAD=∠FAB, ∴△ABD∽△AFB,
∴ AD·AF=AB =8.

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