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安徽省安庆市示范高中2024-2025高一下学期期中考试
数 学 试 卷
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．已知平面向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．2
3．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．6 B．6 C．12 D．12
8．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知平面向量，，则正确的是（ ）
A． B．与可作为一组基底向量
C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C．三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知是虚数单位，若复数满足，则 ．
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为 ．
14．已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分）已知复数和它的共轭复数满足.
(1)求；
(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.
16． (15分）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，．
(1)求；
(2)若为边AB上一点，且，求．
17． (15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角的大小；
(2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求．
18． (17分）如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
19． (17分）已知正四棱锥.
(1)证明：平面；
(2)当时，求该正四棱锥外接球的体积；
(3)当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，求四棱锥的高.

答案及解析
一、单选题
1．已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B ，则.
2．已知平面向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
平面向量，，由，得，所以.
3．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D由向量与的夹角为，且，得，则，
所以在上的投影向量为.
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A由，
根据正弦定理得，，
即，
即，
即，
因为，则，所以，即，
所以，又，
则，即，又，
所以的面积为.故选：A.
5．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B正三棱台的上底面积，下底面积，
所以此三棱台的体积.
6．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C 过点作，垂足分别为，
因为是外接圆的圆心，则为的中点，
则，
由正弦定理得，
等号当且仅当时成立，
则，
所以的最大值为.故选：C
7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．6 B．6 C．12 D．12
【答案】B 根据海伦-秦九韶公式，，其中，
由题意，可知，则，又，
故，
当且仅当，即时取等号.故选：B
8．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，
依题意，可知，，则，，，
解得，，四面体的外接球半径为，球心为，
由，点的轨迹为一个圆，中点为，
设轨迹圆的半径为，圆心为，过，作球的一个轴截面，
∴，解得，，
∴的轨迹长度为.
二、多选题
9．已知复数，，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC 对于A，取，显然满足，但，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，取，满足，但，所以，故D错误．故选：BC
10．已知平面向量，，则正确的是（ ）
A． B．与可作为一组基底向量
C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为
【答案】BCD 对于A：因为，，所以，所以，数量积不等于0，向量不垂直，故A错误；对于B：因为，所以与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为， ，所以在方向上的投影向量的坐标为，故D正确；
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C．三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD对于A：当为中点时，因为是的中点，所以，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：因为，分别是，的中点，所以，
在正方体中，易证，所以，过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误；对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球，
所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确，故选：ACD.
三、填空题
12．已知是虚数单位，若复数满足，则 ．
【答案】 ，故.
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为 ．
【答案】 ，因为，故.
又，故，故.
14．已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为 ．
【答案】 根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示：易知，又，
在中，由余弦定理可得；
在中，由余弦定理可得;
又易知，所以可得，
解得，又，所以，可得，即，
设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得，
解得，又平面，且，设四棱锥的外接球半径为，可得，即；因此外接球的表面积为.
四、解答题
15．已知复数和它的共轭复数满足.
(1)求；
(2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长.
【答案】（1）设，则，
所以，解得，故.
（2）是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，，解得，.
16．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，．
(1)求；
(2)若为边AB上一点，且，求．
【答案】（1）如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，．因为，，所以
（2）如图，设，则，，
因为，所以，得或6．
故或．
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角的大小；
(2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求．
【答案】（1）由正弦定理可得，所以，
即，可得，
整理可得，因为在中，，所以，又，所以；
（2）因为，AD平分，
所以，由得，
即，整理可得，①因为为角平分线，所以，
在中由正弦定理可得，在中由正弦定理可得，又，所以，所以，②由①②可得，在中，由余弦定理可得，解得.
18．如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点，
因为为的中点，则，又因为平面，平面，所以，平面.
（2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，则底面，
因为为的中点，则点到平面的距离为，，因此，.
19．已知正四棱锥.
(1)证明：平面；
(2)当时，求该正四棱锥外接球的体积；
(3)当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，求四棱锥的高.
【答案】（1）证明：因为平面平面，所以平面.（2）底面正方形的中心记为，则，因为，所以，即正四棱锥的外接球的球心为，半径为1，外接球体积为.（3）对外接球：，解得：，对内切球：，故四棱锥表面积，由体积法：，所以，令，则，进而，当且仅当，即时，取最小值，此时

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