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2024-2025学年度高二数学期中考试卷
(120分钟　150分)
检测模块:人教A版《选择性必修第二册》
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设函数f(x)=cos x,则[f()]'=（）
A.- B. C. D.0
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=2,S5=20,则a4=（）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知函数f(x)=mx2+ln x的图象在x=1处的切线在y轴上的截距为2,则实数m=（）
A.-3 B.3 C.1 D.1
4.在等比数列{an}中,a1+a4+a7=32,a3+a6+a9=8,则a9+a12+a15=（）
A. B.
C.或- D.或-
5.已知某容器的高度为20 cm,现在向容器内注入液体,且容器内液体的高度h(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为h=t3+t2.当t=t0时,液体上升高度的瞬时变化率为cm/s,则当t=t0+时,液体上升高度的瞬时变化率为（）
A.2 cm/s B.4 cm/s C.6 cm/s D.8 cm/s
6.若直线y=mx+n与曲线y=2ln x+相切,则m的取值范围是（）
A.(-∞,] B.[3,+∞)
C.[-3,+∞) D.[,+∞)
7.记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=,an+1=4Sn(n为正整数).若bn=log5an,且bm+bm+1+bm+2+…+bm+9=255,则正整数m=（）
A.23 B.22 C.11 D.44
8.已知数列{an}满足a2=,且an+1=,则4505×a1a2…a2023=（）
A.- B.1 C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.曲线f(x)=-的切线的倾斜角为,则该切点的坐标为（）
A.(,-2) B.(2,-)
C.(1,-1) D.(-1,1)
　　
10.已知Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论成立的有（）
A.若正项数列{an}为等比数列,则数列{log7an}为等差数列
B.若数列{an}为等差数列,=,则=
C.已知等差数列{an}共有2n+1项,其中所有奇数项之和为290,所有偶数项之和为261,则an+1=29
D.若数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前100项和S100=9
11.已知数列{an}满足a1=,an+1=,则下列结论正确的有（）
A.{+1}为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递减数列
D.{}的前n项和Tn=-n-
　　
12.已知直线l经过点(,0),且与曲线y=x3+x2相切,则直线l的方程可以为（）
A.y=0 B.5x+y-3=0
C.5x-y-3=0 D.15x+125y-9=0
　
三、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.
13.函数f(x)=x3在区间[3,4]上的平均变化率等于　　　　.
14.已知正项等比数列{an}的前n和为Sn,且a2=1,a6=16,则a10=　　　　,S10=　　　　.
15.已知函数g(x)=x3+mx,若曲线y=g(x)在x=0处的切线也与曲线h(x)=-2ln x相切,则实数m=　　　　.
16.设点A在直线x-y-1=0上,点B在函数f(x)=ln x的图象上,则|AB|的最小值为　　　　.
　
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
已知函数f(x)=5x2+2x-3.
(1)当x1=2,且Δx=0.1时,求函数的增量Δy和平均变化率;
(2)设x2=x1+Δx,分析(1)问中的平均变化率的几何意义.
　　
18.(12分)
已知函数f(x)=-.
(1)若曲线y=f(x)在点C(5,f(5))处的切线与x轴、y轴分别交于点A,B,求△AOB的面积(O为坐标原点);
(2)求与曲线y=f(x)相切,并过点(0,2)的直线方程.
　　
19.(12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=5n+3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在am与am+1之间插入m个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T88的值.
　　
20.(12分)
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且=2Sn-an.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
　　
21.(12分)
已知等差数列{an}是递增数列,Sn为数列{an}的前n项和,S5=30,a2,a4,a8成等比数列.
(1)求an;
(2)求++…+.
　　
22.(12分)
已知函数h(x)=(x-1)ex和g(x)=-b2,其中a,b为常数且b>0.
(1)过x轴上一点P(x0,0)作曲线C:y=(x-1)ex的切线,若有且只有一条切线,求此时的切线方程;
(2)若存在斜率为1的直线与曲线f(x)=h(x)+(2-x)ex-b和y=g(x)都相切,求a+b的取值范围.
　　
参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D A B B A B D CD ABC ACD ACD
13.【答案】37
14.【答案】256　
15.【答案】-
16.【答案】ln 5
17.(10分)
　　【解析】(1)当x1=2,且Δx=0.1时,Δy=5×4×0.1+2×0.1+0.05=2.25,所以平均变化率==22.5.
(2)在(1)中,==,它表示曲线上两点P0(2,21)与P1(2.1,23.25)所在直线的斜率.
18.(12分)
　　【解析】(1)∵f'(x)=,∴f'(5)=,又f(5)=-1,∴f(x)在(5,f(5))处的切线方程为y+1=(x-5),即x-5y-10=0,∴A(10,0),B(0,-2),∴S△AOB=|OA|·|OB|=×10×2=10.
(2)设过点(0,2)的直线与f(x)相切于点(t,-),由f'(x)=,得f'(t)=,则切线方程为y+=(x-t).又该切线过点(0,2),∴2+=-,解得t=-5,∴所求切线方程为y-1=(x+5),即x-5y+10=0.
19.(12分)
　　【解析】(1)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=5n+3,当n≥2时,Sn-1=5n-1+3,所以an=Sn-Sn-1=5n-5n-1=4·5n-1,当n=1时,a1=S1=51+3=8,不符合上式,所以an=.
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在am与am+1(m=1,2,…)之间插入m个1,
则新数列{bn}的前88项为8,1,4×51,1,1,4×52,1,1,1,4×53,1,1,1,1,4×54,1,1,1,1,1,4×55,1,1,1,1,1,1,4×56,1,1,1,1,1,1,1,4×57,1,1,1,1,1,1,1,1,4×58,1,1,1,1,1,…,4×511,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,则T88=8+(1+2+3+…+9+10+11)+10+4(51+52+53+…+510+511)=84+4×=512+79.
20.(12分)
　　【解析】(1)当n=1时,=2S1-a1=a1,又{an}的各项均为正数,所以a1=1.当n≥2时,=2Sn-1-an-1(n≥2),所以(an+an-1)(an-an-1-1)=0,又{an}的各项均为正数,所以an+an-1>0,则an-an-1=1,所以{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以an=1+(n-1)·1=n.
(2)bn==,Tn=b1+b2+…+bn=++…+,　①
Tn=++…+,　②
②减①可得-Tn=-+++…++,所以-Tn=-1+++…++=-1++=-()n-1+=-,所以Tn=.
21.(12分)
　　【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,d>0,则,
即,整理得6d2-12d=0,解得d=2或d=0(舍去),
所以a1=d=2,故an=2n,n∈N*.
(2)由(1)知,an=2n,所以Sn==n2+n,所以an+2Sn=2n2+4n=2n(n+2),则==(-),++…+
=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)]
=(1+--)=-.
22.(12分)
　　【解析】(1)设切点坐标为(x1,(x1-1)),因为y'=xex,所以切线方程为y-(x1-1)=x1(x-x1).因为切线经过点P,所以-(x1-1)=x1(x0-x1),则关于x1的方程-(x1-1)=x1(x0-x1)只有一个实数解,即-(x0+1)x1+1=0只有一个实数解.由Δ=(x0+1)2-4=0,解得x0=-3或x0=1.当x0=-3时,x1=-1,此时切线方程为x+ey+3=0;当x0=1时,x1=1,此时切线方程为ex-y-e=0.
(2)由已知可得f(x)=ex-b,且函数f(x)的定义域为R,g(x)=-b2的定义域为[-a,+∞),f'(x)=ex,g'(x)=.设曲线y=f(x)在点A(x1,-b)处的切线斜率为1,则=1,所以x1=0,则点A(0,1-b).设曲线y=g(x)在点B(x2,-b2)处的切线斜率为1,则=1,所以x2=-a,则点B(-a,-b2).因为直线AB的斜率=1,所以a=b2-b+,因为b>0,所以a+b=b2+>,则a+b的取值范围为(,+∞).
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