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鄞州中学2024学年第二学期期中考试
高二年级数学学科（期中考）试题
考生须知：
1.本卷共4页满分120分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
3.本次考试期间不得使用计算器；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“为幂函数”的（ ）条件．
A. 充要 B. 必要不充分
C 既不充分也不必要 D. 充分不必要
3. 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：
根据表中数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（ ）
A. ，具有负相关关系，相关系数
B. 每增加一个单位，平均减少个单位
C. 第二个样本点对应的残差
D. 第三个样本点对应的残差
4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. D.
5. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《 重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某市高三年级学生联考，学生的数学成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
A. 该市高三年级学生的数学成绩的方差是5
B. 从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小
C.
D. 从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为
10. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B. 第二次抽到3号球的概率为
C. 如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种
11. 已知定义在上的函数，且，若，则（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为___________．
13. 如图所示，现用种颜色标注个区域，相邻区域颜色不相同，则共有_____种涂色方式．
14. 设函数，若关于的函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为．
（1）已知A是充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．
16. Chat GPT（恰匹题）（全名：Chat Generative Pre-trained Transformer），是OPENAI研发的聊天机器人程序．Chat GPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、翻译、代码，写论文等任务．为了了解是否喜欢该程序与年龄有关联，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了400名居民进行调查，得到如下的列联表：
青年 非青年 合计
喜欢 180 40 220
不喜欢 120 60 180
合计 300 100 400
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢该程序与年龄有关联？
（2）从抽取出的青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调查，记随机变量为这3人中喜欢该程序的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.05 0.01 0005 0.001
3.841 6635 7.879 10.828
17. 已知，（且）
（1）求函数的定义域；
（2）若，函数的最小值为2，求的值；
（3）在（2）的条件下，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
18. 已知一个袋子中装有分别标有数字的张卡片，.
（1）把这个袋子中的张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为，求的值；
（2）从这个袋子中依次随机抽取一张卡片.
（ⅰ）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为，证明：；
（ⅱ）若取出的卡片不再放回袋子，记为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求.
19. 定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”.
（1）给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由；
（2）给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值；
（3）给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围.
鄞州中学2024学年第二学期期中考试
高二年级数学学科（期中考）试题
考生须知：
1.本卷共4页满分120分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
3.本次考试期间不得使用计算器；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）认为是否喜欢该程序与年龄有关联．
（2）分布列见解析，数学期望为
【17题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）．
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
【19题答案】
【答案】（1）函数是“一致变化函数”，理由见解析
（2）4 （3）证明见解析，

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