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广西壮族自治区贵港市平南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·平南期中）在中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·平南期中）以下各组数据为三边的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，5，7 C．5，7，9 D．6，8，10
3．（2024八下·平南期中）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·平南期中）如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　）
A．12 B．6 C．4 D．3
5．（2024八下·平南期中）正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（　　）.
A．6 B．10 C．8 D．12
6．（2024八下·平南期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·平南期中）如图，矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
8．（2024八下·平南期中）如图，平分，于点E，，F是射线上的任一点，则的长度不可能是（　　）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
9．（2024八下·平南期中）顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
10．（2024八下·平南期中）如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
11．（2024八下·平南期中）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（　　）米，却踩伤了花草．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
12．（2024八下·平南期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
13．（2024八下·平南期中）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　 　．
14．（2024八下·平南期中）如图，在中，，，，则的长为　 　．
15．（2024八下·平南期中）如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是　 　m．
16．（2024八下·平南期中）菱形ABCD的两条对角线相交于点O.已知，则菱形ABCD的面积为　 　.
17．（2024八下·平南期中）如图所示，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是　 　．
18．（2024八下·平南期中）如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是　 　．
19．（2024八下·平南期中）计算：
20．（2024八下·平南期中）如图，已知，垂足C是的中点，．求证：．
21．（2024八下·平南期中）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
（2）已知：和点，．
求作：点，使点到的两边距离相等，且到，两点的距离也相等．
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
（温馨提示：为便于扫描，请将作图痕迹加粗加黑）
22．（2024八下·平南期中）如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13．
（1）求AC的长．
（2）求图中阴影部分图形的面积．
23．（2024八下·平南期中）如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．
（1）求证：；
（2）试判断与之间存在的数量关系，并说明理由．
24．（2024八下·平南期中）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
25．（2024八下·平南期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
26．（2024八下·平南期中）综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是　　　　　；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为　　　　，线段的数量关系是　　　　．
（2）迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=22°，∠C=90°，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=180°-22°-90°=68°；
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和是180°即可求解.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、∵22+32=13，42=16，而22+32≠42，∴ 以2、3、4为三边的三角形不是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵32+52=34，72=49，而32+52≠72，∴ 以3、5、7为三边的三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵52+72=74，92=81，而52+72≠92，∴ 以5、7、9为三边的三角形不是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵62+82=100，102=100，②62+82≠102，∴ 以6、8、10为三边的三角形是直角三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】如果一个三角形的较小两边平方的和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐项分析即可求解.
3．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D均不能找到旋转中心，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，A、C、D错误
B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，B正确
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
4．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，
则CDAB12＝6，
故答案为：B．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正多边形的一个外角的度数为30°
又∵正多边形的外角和为：
∴正多边形的边数为：
故答案为：D.
【分析】利用360°除以每个外角的度数可得多边形的边数.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质可得，然后由平行线的性质即可得到答案．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴，
故答案为：C．
【分析】先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，运用勾股定理计算即可．
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作于H，
平分，，，
∴，，
，
故答案为：A．
【分析】过D点作于H，根据角平分线的性质得，再利用垂线段最短得到，然后对各个选项进行判断即可.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C．
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的的判定．根据三角形中位线定理可得
，，，，从而推出，，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形.
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵D、E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】 先由勾股定理求出，由中位线定理得到，，再由角平分线和平行线的性质得到，则，再用线段的差即可得到的长 .
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
在中，已知，，
，
所以他们仅仅少走了．
故答案为：C．
【分析】先通过勾股定理求出“路”的长度为5，再用实际路的长度减去该“路”的长度即可得答案.
12．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的对角线相交于点O，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，最小，故最小，
∵菱形，，且，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，根据矩形的性质，得到.由，得OC=，
利用等面积法得OP的长度，运用垂线段最短计算即可．
13．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
【分析】根据多边形内角和定理：（n-2） 180 （n≥3）可得方程180（x-2）=1080，再解方程即可．
14．【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
故答案为：．
【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半即可．
15．【答案】12
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长=，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案是：12．
【分析】以梯子的长度为斜边，地面与墙分别两直角边构造直角三角形，再用勾股定理求解即可．
16．【答案】24cm2
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC=2AO，BD=2OB=6cm，
在Rt△ABO中，AB=5cm，BO=3cm，
∴，
∴AC=2AO=8cm，
∴菱形ABCD的面积．
故答案为：24cm2.
【分析】根据菱形的对角线互相平分且垂直可得AC⊥BD，AC=2AO，BD=2OB=6cm，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出AO的值，求得AC的值，根据菱形的面积公式即可求解.
17．【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：
正方形的边长的平方，
正方形的面积，
故答案为：24．
【分析】利用勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，进行计算即可解答．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；线段最值问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵M、N分别是的中点
∴
∵E是上的动点，
∴
∵
∴
∴
∴长的最大值是：．
故答案为：．
【分析】连接，根据M、N分别是BC、EF的中点，可得，且即可求解．
19．【答案】解：原式=-6+4÷2
=-6+2
=-4.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先有理数的乘法、乘方及括号内的减法，再计算有理数的除法，最后计算有理数的加法即可.
20．【答案】证明：∵，
∴，
∵C是中点，
∴，
在和中，
，
∴（）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】由题 意可知AC=CD，AB=DE，利用证明即可解决问题．
21．【答案】解：（1）解：设这个多边形是边形，由题意得
解得
答：这个多边形的边数是8．
（2）解：如图，点即为所求．
【知识点】多边形内角与外角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用多边形内角和公式（n-2)与外角和的3倍建立方程求解即可；
（2）先作出的平分线，然后作出线段的垂直平分线，两线相交于点P，即可求解．
22．【答案】（1）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，由勾股定理，得：
AC＝＝＝5；
∴AC的长为5．
（2）解∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴图中阴影部分图形的面积 ＝S△ABC﹣S△ACD
＝×5×12﹣×3×4
＝30﹣6＝24．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由勾股定理AC＝直接计算即可；
（2）先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再利用割补法计算面积即可．
23．【答案】（1）证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再利用HL证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明得AC=AE，所以，即得答案．
24．【答案】（1）证明：∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形.
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即的长为．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；面积及等积变换
25．【答案】（1）解：如图1所示：
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，
即；
（2）解：如图2所示：
在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
即=25．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；解直角三角形；“赵爽弦图”模型；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示为 ，化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由题意得，结合得，再利用完全平方公式得，即可得到答案．
26．【答案】（1）【第1空】正方形；
｛第2空｝；
【第3空】．
（2）解：，理由如下：
解：，理由如下：如图，将顺时针旋转得到，
由旋转的性质可得，，，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
即三点在同一直线上，
由（1）中结论可得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：操作一：∵四边形是矩形，
∴，
将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
操作二：由折叠得，，
∴
=45°
设相交于点，如图，
由折叠可知，，，
∴，
故答案为：，；
（3）：，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
根据旋转的性质可得，，
由()中的结论可证，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴．
故答案为：
【分析】（）由 折叠可得 四边形为矩形 ，又因为领边相等得一个四边形是正方形及折叠后对应边对就角相等可得出答案；
（）将顺时针旋转得到，证明，得出，则可得出结论；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，由勾股定理即可得出答案．
1 / 1广西壮族自治区贵港市平南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·平南期中）在中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=22°，∠C=90°，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=180°-22°-90°=68°；
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和是180°即可求解.
2．（2024八下·平南期中）以下各组数据为三边的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，5，7 C．5，7，9 D．6，8，10
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、∵22+32=13，42=16，而22+32≠42，∴ 以2、3、4为三边的三角形不是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵32+52=34，72=49，而32+52≠72，∴ 以3、5、7为三边的三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵52+72=74，92=81，而52+72≠92，∴ 以5、7、9为三边的三角形不是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵62+82=100，102=100，②62+82≠102，∴ 以6、8、10为三边的三角形是直角三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】如果一个三角形的较小两边平方的和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐项分析即可求解.
3．（2024八下·平南期中）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D均不能找到旋转中心，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，A、C、D错误
B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，B正确
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
4．（2024八下·平南期中）如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　）
A．12 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，
则CDAB12＝6，
故答案为：B．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
5．（2024八下·平南期中）正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（　　）.
A．6 B．10 C．8 D．12
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正多边形的一个外角的度数为30°
又∵正多边形的外角和为：
∴正多边形的边数为：
故答案为：D.
【分析】利用360°除以每个外角的度数可得多边形的边数.
6．（2024八下·平南期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质可得，然后由平行线的性质即可得到答案．
7．（2024八下·平南期中）如图，矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴，
故答案为：C．
【分析】先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，运用勾股定理计算即可．
8．（2024八下·平南期中）如图，平分，于点E，，F是射线上的任一点，则的长度不可能是（　　）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作于H，
平分，，，
∴，，
，
故答案为：A．
【分析】过D点作于H，根据角平分线的性质得，再利用垂线段最短得到，然后对各个选项进行判断即可.
9．（2024八下·平南期中）顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C．
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的的判定．根据三角形中位线定理可得
，，，，从而推出，，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形.
10．（2024八下·平南期中）如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵D、E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】 先由勾股定理求出，由中位线定理得到，，再由角平分线和平行线的性质得到，则，再用线段的差即可得到的长 .
11．（2024八下·平南期中）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（　　）米，却踩伤了花草．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
在中，已知，，
，
所以他们仅仅少走了．
故答案为：C．
【分析】先通过勾股定理求出“路”的长度为5，再用实际路的长度减去该“路”的长度即可得答案.
12．（2024八下·平南期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的对角线相交于点O，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，最小，故最小，
∵菱形，，且，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，根据矩形的性质，得到.由，得OC=，
利用等面积法得OP的长度，运用垂线段最短计算即可．
13．（2024八下·平南期中）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
【分析】根据多边形内角和定理：（n-2） 180 （n≥3）可得方程180（x-2）=1080，再解方程即可．
14．（2024八下·平南期中）如图，在中，，，，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
故答案为：．
【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半即可．
15．（2024八下·平南期中）如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是　 　m．
【答案】12
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长=，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案是：12．
【分析】以梯子的长度为斜边，地面与墙分别两直角边构造直角三角形，再用勾股定理求解即可．
16．（2024八下·平南期中）菱形ABCD的两条对角线相交于点O.已知，则菱形ABCD的面积为　 　.
【答案】24cm2
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC=2AO，BD=2OB=6cm，
在Rt△ABO中，AB=5cm，BO=3cm，
∴，
∴AC=2AO=8cm，
∴菱形ABCD的面积．
故答案为：24cm2.
【分析】根据菱形的对角线互相平分且垂直可得AC⊥BD，AC=2AO，BD=2OB=6cm，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出AO的值，求得AC的值，根据菱形的面积公式即可求解.
17．（2024八下·平南期中）如图所示，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是　 　．
【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：
正方形的边长的平方，
正方形的面积，
故答案为：24．
【分析】利用勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，进行计算即可解答．
18．（2024八下·平南期中）如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；线段最值问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵M、N分别是的中点
∴
∵E是上的动点，
∴
∵
∴
∴
∴长的最大值是：．
故答案为：．
【分析】连接，根据M、N分别是BC、EF的中点，可得，且即可求解．
19．（2024八下·平南期中）计算：
【答案】解：原式=-6+4÷2
=-6+2
=-4.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先有理数的乘法、乘方及括号内的减法，再计算有理数的除法，最后计算有理数的加法即可.
20．（2024八下·平南期中）如图，已知，垂足C是的中点，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵C是中点，
∴，
在和中，
，
∴（）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】由题 意可知AC=CD，AB=DE，利用证明即可解决问题．
21．（2024八下·平南期中）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
（2）已知：和点，．
求作：点，使点到的两边距离相等，且到，两点的距离也相等．
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
（温馨提示：为便于扫描，请将作图痕迹加粗加黑）
【答案】解：（1）解：设这个多边形是边形，由题意得
解得
答：这个多边形的边数是8．
（2）解：如图，点即为所求．
【知识点】多边形内角与外角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用多边形内角和公式（n-2)与外角和的3倍建立方程求解即可；
（2）先作出的平分线，然后作出线段的垂直平分线，两线相交于点P，即可求解．
22．（2024八下·平南期中）如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13．
（1）求AC的长．
（2）求图中阴影部分图形的面积．
【答案】（1）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，由勾股定理，得：
AC＝＝＝5；
∴AC的长为5．
（2）解∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴图中阴影部分图形的面积 ＝S△ABC﹣S△ACD
＝×5×12﹣×3×4
＝30﹣6＝24．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由勾股定理AC＝直接计算即可；
（2）先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再利用割补法计算面积即可．
23．（2024八下·平南期中）如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．
（1）求证：；
（2）试判断与之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再利用HL证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明得AC=AE，所以，即得答案．
24．（2024八下·平南期中）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形.
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即的长为．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；面积及等积变换
25．（2024八下·平南期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
【答案】（1）解：如图1所示：
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，
即；
（2）解：如图2所示：
在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
即=25．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；解直角三角形；“赵爽弦图”模型；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示为 ，化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由题意得，结合得，再利用完全平方公式得，即可得到答案．
26．（2024八下·平南期中）综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是　　　　　；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为　　　　，线段的数量关系是　　　　．
（2）迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．
【答案】（1）【第1空】正方形；
｛第2空｝；
【第3空】．
（2）解：，理由如下：
解：，理由如下：如图，将顺时针旋转得到，
由旋转的性质可得，，，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
即三点在同一直线上，
由（1）中结论可得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：操作一：∵四边形是矩形，
∴，
将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
操作二：由折叠得，，
∴
=45°
设相交于点，如图，
由折叠可知，，，
∴，
故答案为：，；
（3）：，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
根据旋转的性质可得，，
由()中的结论可证，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴．
故答案为：
【分析】（）由 折叠可得 四边形为矩形 ，又因为领边相等得一个四边形是正方形及折叠后对应边对就角相等可得出答案；
（）将顺时针旋转得到，证明，得出，则可得出结论；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，由勾股定理即可得出答案．
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