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广西壮族自治区南宁市横州市2023-2024年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2024八下·横州期中）如图，平行四边形中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·横州期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．2
3．（2024八下·横州期中）下列各式中是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·横州期中）一菱形的边长是4，则该菱形的周长是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
5．（2024八下·横州期中）下列选项中计算正确的是（　　）
A． B． C． D．÷
6．（2024八下·横州期中）下列各组线段中，不能围成直角三角形的一组是（　　）
A．，，1 B．3，4，5 C．6，8，10 D．，，
7．（2024八下·横州期中）学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（　　）
A．平行四边形，正方形 B．正方形，菱形
C．正方形，矩形 D．矩形，菱形
8．（2024八下·横州期中）在中，已知，，，则的面积等于（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·横州期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当平行四边形是矩形时，
B．当平行四边形是菱形时，
C．当平行四边形是正方形时，
D．当平行四边形是菱形时，
10．（2024八下·横州期中）计算的结果是（　　）
A． B．4 C． D．
11．（2024八下·横州期中）如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
12．（2024八下·横州期中）如图，在边长为5的正方形中，，则的周长是（　　）
A．12 B．10 C． D．8
二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024八下·横州期中）化简的结果为 　 　．
14．（2024八下·横州期中）“对顶角相等”的逆命题　 　．（填“成立”或“不成立”）．
15．（2024八下·横州期中）如图，正方形的对角线相交于点，的度数是　 　．
16．（2024八下·横州期中）小明想要用四根木棒钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），他现在已经有了三根长分别为3，3，5的木棒，则第四根木棒的长是　 　．
17．（2024八下·横州期中）在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为　 　米．
18．（2024八下·横州期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，，则　 　．
三、解答题：（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024八下·横州期中）计算：．
20．（2024八下·横州期中）计算：．
21．（2024八下·横州期中）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，．
（1）请分别写出点A，点B的坐标；
（2）求出该菱形的周长．
22．（2024八下·横州期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形．
23．（2024八下·横州期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）四边形的面积________；
（2）四边形的周长________；
（3）与有什么关系？请说明理由．
24．（2024八下·横州期中）如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
25．（2024八下·横州期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形）
（1）毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程）
证明：正方形①的面积________．
正方形②的面积________．
又正方形①与正方形②的边长相等
________________
（2）请你写出弦图（图2）的另一种证法：
26．（2024八下·横州期中）综合与实践
问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题．
如图1，是的中位线．则，且．
（1）如图1，若，则________；
（2）回顾证法：
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）．
请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程；
已知：中，点，分别是，的中点．
求证：，且．
（3）方法迁移：
如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
2．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C．
【分析】二次根式的加减运算就是直接合并同类二次根式，合并同类项有理数相加减二次根式不变，即可得答案。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的定义；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A：为二次根式，故符合题意；
B：，故不符合题意；
C：，根号内的数为负数无意义，故不符合题意；
D：，根号内的数为负数无意义，故不符合题意；
故答案为为：A．
【分析】形如的式子，其中a≥0，根指数为2的是二次根式。判断一个式子是否为二次根式，需要看根指数是否为2，且被开方数是否为非负数。如果根指数不是2，或者被开方数是负数，那么这个式子就不是二次根式。．
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的边长为4，
∴菱形的周长，
故答案为：B．
【分析】菱形四条边长相等，菱形周长4a，代入数值即可．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：不能合并，不符合题意；
B：，B符合题意；
C：不能合并，C不符合题意；
D：，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】实数的计算①实数加减法是合并同并二次根式，有理数相加减，二次根式不变，②二次根式的乘除法，有理数相乘除，二次根式相乘除后也要化简．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴长为，，1的三条线段可以组成直角三角形，A不符合题意；
B、∵，
∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，B不符合题意；
C、∵，
∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，C不符合题意；
D、∵，
∴长为，，的三条线段不可以组成直角三角形，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，从而此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形即是菱形也是矩形，
∴是正方形，是菱形，
故答案为：B
【分析】平行四边形有特殊平行四边形，其中矩形、菱形、正方形是特殊平行四边形，正方形还是特殊的矩形，特殊的菱形.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再根据面积公式运算即可．
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A：当四边形是矩形，得=90°，A错误；
B：当四边形是菱形时，但与不一定相等，B错误；
C：当平行四边形ABCD是正方形时，C错误；
D：四边形是菱形，对角线互相垂直，即，D错误.
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质分别进行判断，即可得出答案．
10．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，点O，M分别是的中点，，
∴，，，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，得到，中位线定理，得到，勾股定理求出的长即可．
12．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；半角模型
【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，连接，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
，
的周长是
，
故答案为：B．
【分析】延长到点，使，连接，先证和全等，得到，，再证和全等，得到，最后得到的周长即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．
14．【答案】不成立
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：对顶角相等的逆命题为：相等的两个角为对顶角；
∵等腰三角形两底角相等但它们不是对顶角，
∴此逆命题为假命题；
故答案为：不成立．
【分析】
根据逆命题的概念写出逆命题，再进行判断即可．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可．
16．【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对边相等，且含有2根3的木棒，
∴第四根木棒的长是5，
故答案为：5．
【分析】平行四边形对边相等，已经有两条线段相等3，第四条线段等于5.
17．【答案】8
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x米，则米，米，
在中，由勾股定理得 ，
∴，
解得，
∴米，
∴旗杆的高度为8米，
故答案为：8．
【分析】设旗杆的高度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
18．【答案】12
【知识点】分式的化简求值；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】∵
∴，
，
，
∴，
故答案为：．
【分析】分别对式子进行通分运算求出，的值，代入运算即可．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先用乘法分配律计算，然后再化简．
20．【答案】解：原式
．

【知识点】二次根式的混合运算；完全平方式
21．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，且，
∴点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称，
∵点C、点D的坐标分别是，，
∴点，点.
（2）解∵点C、点D的坐标分别是，，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长．
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质；中心对称图形
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的对角线互相平分且垂直得到，，，然后点根据对称的性质求解即可；
（2）首先求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据菱形的周长=边长求解即可．
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，根据中点的定义得出，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证四边形是平行四边形．
23．【答案】（1）12
（2）
（3）解：AB与BC相等且垂直．理由如下：
如图所示，连接．
根据勾股定理，得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
AB2=22+32=13
BC2=22+32=13
∴，
∴，．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
24．【答案】（1）∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）如图，过点O作于点F，
∵四边形是矩形，
∴点O是的中点，
∴
∴
∴，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在中，由勾股定理可得：
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；
（2）如图，过点O作于点F，欲求，只需在直角中求得的值即可．结合三角形中位线求得，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
25．【答案】（1）[第1空】；
[第2空】；
[第3空】；
[第4空】.
（2）证明：由图可知大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积，
∴
∴
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】证明：（1）∵正方形①的面积，
正方形②的面积，
又∵正方形①与正方形②的边长相等，
∴，
∴；
【分析】（1） 正方形的边长为（a+b)2，利用完全平方公式计算即可得答案；
（2）根据大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积列式即可．
26．【答案】(1)
(2) 解：由题意可得：延长到点，使得，连接如图所示：
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴在和中：
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，且
(3)延长到点，使，连接，，如图所示：
∵点是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形和都是正方形，
∴，，，
∴，
∴在和中：
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解∵是的中位线，
∴
【分析】（1）根据中位线定理求解即可；
（2）延长到点，使得，连接，证出后，利用全等的性质证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可；
（3）延长到点，使，连接，，证出四边形是平行四边形后，结合正方形的性质，证出，通过全等的性质求解即可．
1 / 1广西壮族自治区南宁市横州市2023-2024年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2024八下·横州期中）如图，平行四边形中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
2．（2024八下·横州期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C．
【分析】二次根式的加减运算就是直接合并同类二次根式，合并同类项有理数相加减二次根式不变，即可得答案。
3．（2024八下·横州期中）下列各式中是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的定义；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A：为二次根式，故符合题意；
B：，故不符合题意；
C：，根号内的数为负数无意义，故不符合题意；
D：，根号内的数为负数无意义，故不符合题意；
故答案为为：A．
【分析】形如的式子，其中a≥0，根指数为2的是二次根式。判断一个式子是否为二次根式，需要看根指数是否为2，且被开方数是否为非负数。如果根指数不是2，或者被开方数是负数，那么这个式子就不是二次根式。．
4．（2024八下·横州期中）一菱形的边长是4，则该菱形的周长是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的边长为4，
∴菱形的周长，
故答案为：B．
【分析】菱形四条边长相等，菱形周长4a，代入数值即可．
5．（2024八下·横州期中）下列选项中计算正确的是（　　）
A． B． C． D．÷
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：不能合并，不符合题意；
B：，B符合题意；
C：不能合并，C不符合题意；
D：，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】实数的计算①实数加减法是合并同并二次根式，有理数相加减，二次根式不变，②二次根式的乘除法，有理数相乘除，二次根式相乘除后也要化简．
6．（2024八下·横州期中）下列各组线段中，不能围成直角三角形的一组是（　　）
A．，，1 B．3，4，5 C．6，8，10 D．，，
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴长为，，1的三条线段可以组成直角三角形，A不符合题意；
B、∵，
∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，B不符合题意；
C、∵，
∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，C不符合题意；
D、∵，
∴长为，，的三条线段不可以组成直角三角形，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，从而此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
7．（2024八下·横州期中）学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（　　）
A．平行四边形，正方形 B．正方形，菱形
C．正方形，矩形 D．矩形，菱形
【答案】B
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形即是菱形也是矩形，
∴是正方形，是菱形，
故答案为：B
【分析】平行四边形有特殊平行四边形，其中矩形、菱形、正方形是特殊平行四边形，正方形还是特殊的矩形，特殊的菱形.
8．（2024八下·横州期中）在中，已知，，，则的面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再根据面积公式运算即可．
9．（2024八下·横州期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当平行四边形是矩形时，
B．当平行四边形是菱形时，
C．当平行四边形是正方形时，
D．当平行四边形是菱形时，
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A：当四边形是矩形，得=90°，A错误；
B：当四边形是菱形时，但与不一定相等，B错误；
C：当平行四边形ABCD是正方形时，C错误；
D：四边形是菱形，对角线互相垂直，即，D错误.
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质分别进行判断，即可得出答案．
10．（2024八下·横州期中）计算的结果是（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
11．（2024八下·横州期中）如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，点O，M分别是的中点，，
∴，，，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，得到，中位线定理，得到，勾股定理求出的长即可．
12．（2024八下·横州期中）如图，在边长为5的正方形中，，则的周长是（　　）
A．12 B．10 C． D．8
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；半角模型
【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，连接，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
，
的周长是
，
故答案为：B．
【分析】延长到点，使，连接，先证和全等，得到，，再证和全等，得到，最后得到的周长即可．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024八下·横州期中）化简的结果为 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．
14．（2024八下·横州期中）“对顶角相等”的逆命题　 　．（填“成立”或“不成立”）．
【答案】不成立
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：对顶角相等的逆命题为：相等的两个角为对顶角；
∵等腰三角形两底角相等但它们不是对顶角，
∴此逆命题为假命题；
故答案为：不成立．
【分析】
根据逆命题的概念写出逆命题，再进行判断即可．
15．（2024八下·横州期中）如图，正方形的对角线相交于点，的度数是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可．
16．（2024八下·横州期中）小明想要用四根木棒钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），他现在已经有了三根长分别为3，3，5的木棒，则第四根木棒的长是　 　．
【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对边相等，且含有2根3的木棒，
∴第四根木棒的长是5，
故答案为：5．
【分析】平行四边形对边相等，已经有两条线段相等3，第四条线段等于5.
17．（2024八下·横州期中）在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为　 　米．
【答案】8
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x米，则米，米，
在中，由勾股定理得 ，
∴，
解得，
∴米，
∴旗杆的高度为8米，
故答案为：8．
【分析】设旗杆的高度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
18．（2024八下·横州期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，，则　 　．
【答案】12
【知识点】分式的化简求值；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】∵
∴，
，
，
∴，
故答案为：．
【分析】分别对式子进行通分运算求出，的值，代入运算即可．
三、解答题：（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024八下·横州期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先用乘法分配律计算，然后再化简．
20．（2024八下·横州期中）计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】二次根式的混合运算；完全平方式
21．（2024八下·横州期中）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，．
（1）请分别写出点A，点B的坐标；
（2）求出该菱形的周长．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，且，
∴点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称，
∵点C、点D的坐标分别是，，
∴点，点.
（2）解∵点C、点D的坐标分别是，，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长．
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质；中心对称图形
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的对角线互相平分且垂直得到，，，然后点根据对称的性质求解即可；
（2）首先求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据菱形的周长=边长求解即可．
22．（2024八下·横州期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，根据中点的定义得出，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证四边形是平行四边形．
23．（2024八下·横州期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）四边形的面积________；
（2）四边形的周长________；
（3）与有什么关系？请说明理由．
【答案】（1）12
（2）
（3）解：AB与BC相等且垂直．理由如下：
如图所示，连接．
根据勾股定理，得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
AB2=22+32=13
BC2=22+32=13
∴，
∴，．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
24．（2024八下·横州期中）如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）如图，过点O作于点F，
∵四边形是矩形，
∴点O是的中点，
∴
∴
∴，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在中，由勾股定理可得：
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；
（2）如图，过点O作于点F，欲求，只需在直角中求得的值即可．结合三角形中位线求得，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
25．（2024八下·横州期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形）
（1）毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程）
证明：正方形①的面积________．
正方形②的面积________．
又正方形①与正方形②的边长相等
________________
（2）请你写出弦图（图2）的另一种证法：
【答案】（1）[第1空】；
[第2空】；
[第3空】；
[第4空】.
（2）证明：由图可知大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积，
∴
∴
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】证明：（1）∵正方形①的面积，
正方形②的面积，
又∵正方形①与正方形②的边长相等，
∴，
∴；
【分析】（1） 正方形的边长为（a+b)2，利用完全平方公式计算即可得答案；
（2）根据大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积列式即可．
26．（2024八下·横州期中）综合与实践
问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题．
如图1，是的中位线．则，且．
（1）如图1，若，则________；
（2）回顾证法：
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）．
请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程；
已知：中，点，分别是，的中点．
求证：，且．
（3）方法迁移：
如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长．
【答案】(1)
(2) 解：由题意可得：延长到点，使得，连接如图所示：
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴在和中：
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，且
(3)延长到点，使，连接，，如图所示：
∵点是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形和都是正方形，
∴，，，
∴，
∴在和中：
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解∵是的中位线，
∴
【分析】（1）根据中位线定理求解即可；
（2）延长到点，使得，连接，证出后，利用全等的性质证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可；
（3）延长到点，使，连接，，证出四边形是平行四边形后，结合正方形的性质，证出，通过全等的性质求解即可．
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