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湖南省长沙市浏阳市重点校联考2024届高三下学期期中测试数学试卷
1．（2024高三下·浏阳期中）已知复数满足，则的虚部为（　　）
A． B． C．3 D．
2．（2024高三下·浏阳期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高三下·浏阳期中）已知是定义在上的函数，则“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三下·浏阳期中）在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（　　）
A． B．0 C． D．
5．（2024高三下·浏阳期中）讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为（　　）
A．20 B．30 C．35 D．210
6．（2024高三下·浏阳期中）函数的部分图象大致如图，则图象的一条对称轴为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高三下·浏阳期中）设，，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三下·浏阳期中）在四棱锥中，平面，且.若点均在球的表面上，则球的体积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高三下·浏阳期中）已知在数列中，，，则下列结论正确的是（　　）
A．是等差数列 B．是递增数列
C．是等差数列 D．是递增数列
10．（2024高三下·浏阳期中）医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（　　）
，（，，）
A．
B．
C．
D．假设生产状态正常，记表示抽取的100只口罩中过滤率大于的数量，则
11．（2024高三下·浏阳期中）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（　　）
A． B． C． D．为中点
12．（2024高三下·浏阳期中）已知函数，设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
13．（2024高三下·浏阳期中）已知 ，则 　 　．
14．（2024高三下·浏阳期中）在中，，是线段上一点，若，则实数的值为　 　.
15．（2024高三下·浏阳期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，且，有四个结论①；②4为的周期；③的图象关于对称；④，正确的是　 　（填写题号）．
16．（2024高三下·浏阳期中）已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是　 　.
17．（2024高三下·浏阳期中）设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（2024高三下·浏阳期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
19．（2024高三下·浏阳期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20．（2024高三下·浏阳期中）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为，如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测.每件产品的合格率为，如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收.
求某件产品能出厂的概率；
若该产品的生产成本为元/件，出厂价格为元/件，每次检测费为元/件，技术处理每次元/件，回收获利元/件.假如每件产品是否合格相互独立，记为任意一件产品所获得的利润，求随机变量的分布列与数学期望.
21．（2024高三下·浏阳期中）欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且．
（1）求的方程；
（2）设点，若斜率不为的直线与交于点，均异于点，且在以为直径的圆上，求到距离的最大值．
22．（2024高三下·浏阳期中）已知函数.
（1）若，函数的极大值为，求实数的值；
（2）若对任意的，，在上恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解： 复数满足，
则 ，即的虚部为3.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式的除法法则，结合复数加法计算即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：不等式，可得，解得，
则集合，因为集合，所以．
故答案为：B．
【分析】先解分式不等式求出集合，再根据集合的交集运算求解即可．
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：若函数都是上的偶函数，则，
设，则，即为偶函数，故必要性成立；
若为偶函数，则不一定能推出都是R上的偶函数”，例如：取，则是R上的偶函数，而都不具备奇偶性，故充分性不成立，
综上：“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】根据偶函数的定义，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行四边形中，，，
因为，所以，所以，又因为，所以，
则，
故，则，即向量与的夹角的余弦值为 0 .
故答案为：B.
【分析】根据平面向量的线性运算及数量积求解即可.
5．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把、、按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将、、、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种.
故答案为：C.
【分析】问题等价于从一行七个空里选三个空把1、2、3按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将4、5、 6、7从小到大自左向右顺序填进去，即可求解出答案.
6．【答案】D
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可知，当时，，即，解得，
因为，所以，由五点作图法可知，，则，
即，令，，解得，，
当时，，则图象的一条对称轴为.
故答案为：D．
【分析】根据函数图象过点，代入中求出的值，根据五点作图法可知，，求得的值，从而得函数的解析式，最后由求出对称轴方程即可.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，变形可得，即，即；
因为，所以，
又因为，所以，
综上可知：.
故答案为：B．
【分析】构造函数，求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，由的单调性可知，则，再由可得，可得，从而得的大小关系 .
8．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为在一个圆上，所以，
又因为，所以，则，即是四边形外接圆的直径，
由平面，平面，
可得，
由，面，则面，面，则，
由，面，则面，面，则，则，又，故，即，
令，且，则，，
且都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心，
外接球半径，
当时，，故球O的体积的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，易得是四边形外接圆的直径，利用线面垂直的性质、判定证，进而得到是以为斜边的直角三角形，即中点为外接球球心，令且，求得外接球半径关于的表达式，求其最小值，再求球体最小体积即可.
9．【答案】C,D
【知识点】等差数列的性质；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解： 数列，满足，则，即数列是以1为公差的等差数列，则，即，则数列不是等差数列，且数列为单调递减数列.
故答案为：CD.
【分析】根据数列的递推关系可得，再根据等差数列的性质求解即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、由正态分布可知：，故A正确；
B、因为且，
所以，显然，故B错误；
C、，故C正确；
D、，，由，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正态分布的对称性，结合其三段区间概率值即可判断ABC；求、，而结合二项分布概率公式求值即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为抛物线的焦点为，所以，解得，故A错误；
B、如下图所示：由题意可知直线的斜率不可能为0，
设直线的方程为，，，由A可知抛物线的方程为，
联立，消去整理可得，，
由韦达定理可得，，
不妨设，由图可知，
，则，
所以，解得，则，
所以，故B正确；
C、由B选项可知，，
直线的方程为，联立，解得，则，
所以，
，则，故C错误；
D、因为，所以为的中点，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据抛物线的焦点坐标即可求出的值，从而判断A；设直线的方程为，联立直线方程与抛物线的方程，设，根据结合韦达定理，求出的值，求出点的纵坐标，求出，即可判断B；求出点的纵坐标，求出、，即可判断C；计算出、，即可判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，，则函数在单调递减，
不妨设，对任意不相等的正数，，恒有，
则，即，
即，
构造函数，，易知在单调递减，
即，可得，则.
故答案为：ACD.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，对任意不相等的正数，，构造新函数，求导，利用导数讨论其单调性求解即可.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
又
所以 ，则 .
故答案为： .
【分析】首先由二倍角的余弦公式代入数值计算出，再由两角和余弦公式整理得到答案。
14．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解： 在中，，
则
因为是线段上一点，所以，三点共线，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意，将转化为，根据，三点共线求解即可.
15．【答案】①②③④
【知识点】函数的周期性；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】由，且，，得，，故①正确；
由，得，即，
又，得，则，
所以，故4是的周期，故②正确；
由的图象关于直线对称，即，
又，可得，
则，即，
又，得，
所以的图象关于对称，且，故③正确；
结合②有，得，故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】利用已知条件结合函数的图象的对称性、函数的周期性和代入法求函数的值，进而得出正确的题号。
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知，，，
过点分别作，，，垂足分别为，如图所示：
因为的内心，所以，
则点也在双曲线上，且为双曲线的右顶点，同理，三点共线，
设直线的倾斜角为，
因双曲线的渐近线方程为，倾斜角为，根双曲线的对称性，不妨设，
因，所以，
，
则
，
因为，所以，则，即的范围为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据双曲线和三角形内切圆的性质可得点、与双曲线右顶点三点共线，且，线段，可分别用直线倾斜角表示出，根据倾斜角范围求的范围即可.
17．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，且满足①，
当时，，
当时，②，①②式得，
即，即，，
，故；
（2）解：由（1）得，则，
，，
，
．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，利用，结合等比数列的性质求解即可；
（2）由（1）得，可得，利用分组求和求解即可．
（1）设等比数列的公比为，
①，，
当时，有，
当时，②，
由①②得，即，
，，
，
；
（2）由（1）得，则，
，，
，
．
18．【答案】（1）解：，由正弦定理可得：，
则，即，
因为，，所以，即；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，当且仅当b＝c＝6时等号成立，则，
故△ABC面积的最小值为.
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和正弦公式化简求解即可；
（2）由可得，再利用基本不等式求解即可.
（1）由正弦定理，得，
得，
得，
因为，所以，即.
（2）因为，
所以.
因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立），
所以．故△ABC面积的最小值为.
19．【答案】解：(1) 连接交于，连接，如图所示：
因为四边形为正方形，所以为的中点，
又因为为线段的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
(2) 以为原点，以向量所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，因为，所以，，则，
在中，，则，
因为为线段的中点，所以，
设平面的法向量为，则，
即令，则，，则，
易知平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接交于，连接，由三角形的中位线得，再证明平面即可；
(2)以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
20．【答案】解：记事件=“某件产品第一次检验合格”，事件=“某件产品第二次检验合格”，
则，，即某件产品能够出厂的概率；
由已知，若该产品不合格，则，
若该产品经过第二次检验才合格，则，
若该产品第一次检验合格，则，
则的所有可能取值为：，400，600.
，
，，
的分布列为
元.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】先记事件，再分别求出某件产品第一次检验合格和第二次检验合格的概率，利用相互独立事件的概率加法公式计算即可；
先分析的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，列分布列，求数学期望即可.
21．【答案】（1）解：不妨设椭圆的右焦点，
因为椭圆的长轴长为，
所以，
解得，
易知的横坐标为，
代入椭圆的方程中解得，
此时，
所以，
解得，
则的方程为；
（2）解：不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为在以为直径的圆上，
所以，
即，
整理得，
即，
因为，，
整理得，
即，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，
易知点在椭圆内，
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，
因为该定点与点重合，不符合题意，
所以直线的方程为，
则点到直线的距离最大值．
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的性质，求得点的坐标，代入椭圆方程即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由，求出直线的定点，并根据几何关系，求点到直线距离的最大值．
22．【答案】解：（1）函数定义域为，，
①当时，，
令，解得；，解得，
则函数在单调递增，在单调递减，函数的极大值为，不合题意；
②当时，，
令，解得；，解得或，
则函数在单调递增，，单调递减，
即函数的极大值为，解得，
综上所述；
（2）令，，
当时，，则在上单调递增，，
原问题转化为在上恒成立，
①当时，，，，
此时，不合题意，
②当时，令，，
则，其中，，
令，则在区间上单调递增，
（ⅰ）时，，
所以对，，从而在上单调递增，
所以对任意，，
即不等式在上恒成立；
（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，
所以存在唯一的使得，且时，.
从而时，，所以在区间上单调递减，
则时，，即，不符合题意，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】1）先求函数的定义域，再求其导函数，分，讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，求实数的值即可；
（2）先求，最大值，再变量分离得 ，最后根据导数研究函数最大值，求实数的取值范围即可.
1 / 1湖南省长沙市浏阳市重点校联考2024届高三下学期期中测试数学试卷
1．（2024高三下·浏阳期中）已知复数满足，则的虚部为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解： 复数满足，
则 ，即的虚部为3.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式的除法法则，结合复数加法计算即可.
2．（2024高三下·浏阳期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：不等式，可得，解得，
则集合，因为集合，所以．
故答案为：B．
【分析】先解分式不等式求出集合，再根据集合的交集运算求解即可．
3．（2024高三下·浏阳期中）已知是定义在上的函数，则“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：若函数都是上的偶函数，则，
设，则，即为偶函数，故必要性成立；
若为偶函数，则不一定能推出都是R上的偶函数”，例如：取，则是R上的偶函数，而都不具备奇偶性，故充分性不成立，
综上：“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】根据偶函数的定义，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2024高三下·浏阳期中）在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行四边形中，，，
因为，所以，所以，又因为，所以，
则，
故，则，即向量与的夹角的余弦值为 0 .
故答案为：B.
【分析】根据平面向量的线性运算及数量积求解即可.
5．（2024高三下·浏阳期中）讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为（　　）
A．20 B．30 C．35 D．210
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把、、按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将、、、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种.
故答案为：C.
【分析】问题等价于从一行七个空里选三个空把1、2、3按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将4、5、 6、7从小到大自左向右顺序填进去，即可求解出答案.
6．（2024高三下·浏阳期中）函数的部分图象大致如图，则图象的一条对称轴为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可知，当时，，即，解得，
因为，所以，由五点作图法可知，，则，
即，令，，解得，，
当时，，则图象的一条对称轴为.
故答案为：D．
【分析】根据函数图象过点，代入中求出的值，根据五点作图法可知，，求得的值，从而得函数的解析式，最后由求出对称轴方程即可.
7．（2024高三下·浏阳期中）设，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，变形可得，即，即；
因为，所以，
又因为，所以，
综上可知：.
故答案为：B．
【分析】构造函数，求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，由的单调性可知，则，再由可得，可得，从而得的大小关系 .
8．（2024高三下·浏阳期中）在四棱锥中，平面，且.若点均在球的表面上，则球的体积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为在一个圆上，所以，
又因为，所以，则，即是四边形外接圆的直径，
由平面，平面，
可得，
由，面，则面，面，则，
由，面，则面，面，则，则，又，故，即，
令，且，则，，
且都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心，
外接球半径，
当时，，故球O的体积的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，易得是四边形外接圆的直径，利用线面垂直的性质、判定证，进而得到是以为斜边的直角三角形，即中点为外接球球心，令且，求得外接球半径关于的表达式，求其最小值，再求球体最小体积即可.
9．（2024高三下·浏阳期中）已知在数列中，，，则下列结论正确的是（　　）
A．是等差数列 B．是递增数列
C．是等差数列 D．是递增数列
【答案】C,D
【知识点】等差数列的性质；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解： 数列，满足，则，即数列是以1为公差的等差数列，则，即，则数列不是等差数列，且数列为单调递减数列.
故答案为：CD.
【分析】根据数列的递推关系可得，再根据等差数列的性质求解即可.
10．（2024高三下·浏阳期中）医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（　　）
，（，，）
A．
B．
C．
D．假设生产状态正常，记表示抽取的100只口罩中过滤率大于的数量，则
【答案】A,C,D
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、由正态分布可知：，故A正确；
B、因为且，
所以，显然，故B错误；
C、，故C正确；
D、，，由，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正态分布的对称性，结合其三段区间概率值即可判断ABC；求、，而结合二项分布概率公式求值即可判断D.
11．（2024高三下·浏阳期中）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（　　）
A． B． C． D．为中点
【答案】B,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为抛物线的焦点为，所以，解得，故A错误；
B、如下图所示：由题意可知直线的斜率不可能为0，
设直线的方程为，，，由A可知抛物线的方程为，
联立，消去整理可得，，
由韦达定理可得，，
不妨设，由图可知，
，则，
所以，解得，则，
所以，故B正确；
C、由B选项可知，，
直线的方程为，联立，解得，则，
所以，
，则，故C错误；
D、因为，所以为的中点，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据抛物线的焦点坐标即可求出的值，从而判断A；设直线的方程为，联立直线方程与抛物线的方程，设，根据结合韦达定理，求出的值，求出点的纵坐标，求出，即可判断B；求出点的纵坐标，求出、，即可判断C；计算出、，即可判断D.
12．（2024高三下·浏阳期中）已知函数，设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，，则函数在单调递减，
不妨设，对任意不相等的正数，，恒有，
则，即，
即，
构造函数，，易知在单调递减，
即，可得，则.
故答案为：ACD.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，对任意不相等的正数，，构造新函数，求导，利用导数讨论其单调性求解即可.
13．（2024高三下·浏阳期中）已知 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
又
所以 ，则 .
故答案为： .
【分析】首先由二倍角的余弦公式代入数值计算出，再由两角和余弦公式整理得到答案。
14．（2024高三下·浏阳期中）在中，，是线段上一点，若，则实数的值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解： 在中，，
则
因为是线段上一点，所以，三点共线，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意，将转化为，根据，三点共线求解即可.
15．（2024高三下·浏阳期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，且，有四个结论①；②4为的周期；③的图象关于对称；④，正确的是　 　（填写题号）．
【答案】①②③④
【知识点】函数的周期性；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】由，且，，得，，故①正确；
由，得，即，
又，得，则，
所以，故4是的周期，故②正确；
由的图象关于直线对称，即，
又，可得，
则，即，
又，得，
所以的图象关于对称，且，故③正确；
结合②有，得，故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】利用已知条件结合函数的图象的对称性、函数的周期性和代入法求函数的值，进而得出正确的题号。
16．（2024高三下·浏阳期中）已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知，，，
过点分别作，，，垂足分别为，如图所示：
因为的内心，所以，
则点也在双曲线上，且为双曲线的右顶点，同理，三点共线，
设直线的倾斜角为，
因双曲线的渐近线方程为，倾斜角为，根双曲线的对称性，不妨设，
因，所以，
，
则
，
因为，所以，则，即的范围为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据双曲线和三角形内切圆的性质可得点、与双曲线右顶点三点共线，且，线段，可分别用直线倾斜角表示出，根据倾斜角范围求的范围即可.
17．（2024高三下·浏阳期中）设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，且满足①，
当时，，
当时，②，①②式得，
即，即，，
，故；
（2）解：由（1）得，则，
，，
，
．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，利用，结合等比数列的性质求解即可；
（2）由（1）得，可得，利用分组求和求解即可．
（1）设等比数列的公比为，
①，，
当时，有，
当时，②，
由①②得，即，
，，
，
；
（2）由（1）得，则，
，，
，
．
18．（2024高三下·浏阳期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得：，
则，即，
因为，，所以，即；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，当且仅当b＝c＝6时等号成立，则，
故△ABC面积的最小值为.
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和正弦公式化简求解即可；
（2）由可得，再利用基本不等式求解即可.
（1）由正弦定理，得，
得，
得，
因为，所以，即.
（2）因为，
所以.
因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立），
所以．故△ABC面积的最小值为.
19．（2024高三下·浏阳期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】解：(1) 连接交于，连接，如图所示：
因为四边形为正方形，所以为的中点，
又因为为线段的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
(2) 以为原点，以向量所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，因为，所以，，则，
在中，，则，
因为为线段的中点，所以，
设平面的法向量为，则，
即令，则，，则，
易知平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接交于，连接，由三角形的中位线得，再证明平面即可；
(2)以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
20．（2024高三下·浏阳期中）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为，如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测.每件产品的合格率为，如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收.
求某件产品能出厂的概率；
若该产品的生产成本为元/件，出厂价格为元/件，每次检测费为元/件，技术处理每次元/件，回收获利元/件.假如每件产品是否合格相互独立，记为任意一件产品所获得的利润，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】解：记事件=“某件产品第一次检验合格”，事件=“某件产品第二次检验合格”，
则，，即某件产品能够出厂的概率；
由已知，若该产品不合格，则，
若该产品经过第二次检验才合格，则，
若该产品第一次检验合格，则，
则的所有可能取值为：，400，600.
，
，，
的分布列为
元.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】先记事件，再分别求出某件产品第一次检验合格和第二次检验合格的概率，利用相互独立事件的概率加法公式计算即可；
先分析的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，列分布列，求数学期望即可.
21．（2024高三下·浏阳期中）欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且．
（1）求的方程；
（2）设点，若斜率不为的直线与交于点，均异于点，且在以为直径的圆上，求到距离的最大值．
【答案】（1）解：不妨设椭圆的右焦点，
因为椭圆的长轴长为，
所以，
解得，
易知的横坐标为，
代入椭圆的方程中解得，
此时，
所以，
解得，
则的方程为；
（2）解：不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为在以为直径的圆上，
所以，
即，
整理得，
即，
因为，，
整理得，
即，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，
易知点在椭圆内，
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，
因为该定点与点重合，不符合题意，
所以直线的方程为，
则点到直线的距离最大值．
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的性质，求得点的坐标，代入椭圆方程即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由，求出直线的定点，并根据几何关系，求点到直线距离的最大值．
22．（2024高三下·浏阳期中）已知函数.
（1）若，函数的极大值为，求实数的值；
（2）若对任意的，，在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）函数定义域为，，
①当时，，
令，解得；，解得，
则函数在单调递增，在单调递减，函数的极大值为，不合题意；
②当时，，
令，解得；，解得或，
则函数在单调递增，，单调递减，
即函数的极大值为，解得，
综上所述；
（2）令，，
当时，，则在上单调递增，，
原问题转化为在上恒成立，
①当时，，，，
此时，不合题意，
②当时，令，，
则，其中，，
令，则在区间上单调递增，
（ⅰ）时，，
所以对，，从而在上单调递增，
所以对任意，，
即不等式在上恒成立；
（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，
所以存在唯一的使得，且时，.
从而时，，所以在区间上单调递减，
则时，，即，不符合题意，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】1）先求函数的定义域，再求其导函数，分，讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，求实数的值即可；
（2）先求，最大值，再变量分离得 ，最后根据导数研究函数最大值，求实数的取值范围即可.
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