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广东省韶关市乐昌市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·乐昌期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·乐昌期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法、除法、加法和减法的计算方法及步骤分析求解即可.
3．（2024八下·乐昌期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C． D．9，40，41
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
B、，，不都是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴正整数9，40，41是勾股数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024八下·乐昌期中）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、 菱形的对角线互相平分且垂直，故不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分 ，故符合题意；
C、 平行四边形不是轴对称图形 ，故不符合题意；
D、 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 ，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、正方形的判定逐项判断即可.
5．（2024八下·乐昌期中）已知平行四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，则，解方程即可求出答案.
6．（2024八下·乐昌期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据折叠性质可得，则，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．（2024八下·乐昌期中）在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（ ）
A．，，则四边形是平行四边形
B．，且，则四边形是菱形
C．，则四边形是矩形
D．且，则四边形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：、，，则四边形有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意；
B、∵，，∴，，∵，，∴，，∴，
∴四边形是菱形，此选项正确，不符合题意；
C、∵，∴四边形是平行四边形，∴，即：，∴平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意；
D、∵，，∴，∴四边形是矩形，
又∵，∴矩形是正方形，此选项正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
8．（2024八下·乐昌期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据正方形面积可得，结合图形建立方程，化简可得，则图2中小正方形的边长为3，再根据勾股定理即可求出答案.
9．（2024八下·乐昌期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，菱形ABCD的面积为24，则其周长为( )
A．20 B．24 C．28 D．40
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的面积S=AC BD，S=24，AC=8，
∴BD=6，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，
在Rt△ABO中，
AB==5，
∴菱形的周长=4×5=20，
故答案为：A．
【分析】先利用菱形的性质求出AO=CO=4，BO=DO=3，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用菱形的性质求出菱形的周长即可.
10．（2024八下·乐昌期中）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（ ）
A． B．2 C．1.5 D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=90°，
∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，
∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，
∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，
∴∠CAB=30°，
∴∠ACB=60°，
∴∠BCE=∠ACB=30°，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠OAE=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∵∠OAE=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴EF与AC互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，
∴BE=AE，
∴=2，
故答案为：B．
【分析】先求出∠BCE=∠ACB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BE=CE，再证出△AOE≌△COF，利用全等三角形的性质可得OE=OF，证出四边形AECF为菱形，可得BE=AE，最后求出=2即可.
11．（2024八下·乐昌期中）化简的结果是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用二次根式的分母有理化化简即可.
12．（2024八下·乐昌期中）如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，，则数轴上点A所表示的数为 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵BC=，
则AB=BC=，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是．
故答案为：．
【分析】本题考查实数与数轴之间的对应关系.先利用勾股定理求出线段BC的长度，再根据AB=CB即可求出AB的长度，在根据A在原点右侧，据此可以求出数轴上点A所表示的数．
13．（2024八下·乐昌期中）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ．
【答案】5
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴AC=2BF=10，
∵、分别为、的中点，
∴DE=AC=5，
故答案为：5.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AC的长，再利用三角形中位线的性质可得DE=AC=5.
14．（2024八下·乐昌期中）如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ．
【答案】18
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，
根据题意，可得，
∵所有三角形都是直角三角形，
∴，
∴，
∴正方形的面积为18．
故答案为：18．
【分析】设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，利用勾股定理可得，再求出即可.
15．（2024八下·乐昌期中）如图，菱形的周长为，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则周长的最小值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：菱形的周长为，
，点A与点C关于对称，
连接，与交于点，连接，如图，
则，
此时，值最小．
四边形是菱形，，
，
，
为等边三角形，
，
是中点，
∴，，
，
．
周长的最小值是．
【分析】连接，与交于点，连接，先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得AC=AB=2，再利用勾股定理求出CE的长，再利用线段的和差求出，最后利用三角形的周长公式及等量代换求出周长的最小值是．
16．（2024八下·乐昌期中）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是 ．
【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴故①正确；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
②过B作，交的延长线于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正确，
故答案为：①③④
【分析】利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，可判断出①是否正确；再利用角的运算和等量代换可得，从而可判断出③是否正确；再利用勾股定理和线段的和差求出，从而判断出②是否正确；最后利用正方形的面积公式求出，从而可判断出④是否正确.
17．（2024八下·乐昌期中）计算下列各小题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（2024八下·乐昌期中）如图，在矩形中，O为的中点，过点O作分别交，于点E，F．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：如图，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∵O为的中点
∴
∵
∴≌（）
∴
∴四边形是平行四边形
又∵
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得，则，再根据线段中点可得，由全等三角形判定定理可得≌（），则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
19．（2024八下·乐昌期中）如图，在四边形中，，E为上一点，且，，，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
20．（2024八下·乐昌期中）如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点米远的点处同时开始测量，点为终点.小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了.亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能，请说明理由？
【答案】解：中，，
设，，
则.
，
又在中，由勾股定理得：，
，
解得：，即（米）
米，米，米
，米
答：这个直角三角花台底边上的高位为米
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设，，，根据小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，，，由勾股定理求出x的值，再根据三角形面积公式即可求出答案.
21．（2024八下·乐昌期中）老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值．
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出．
参考小明的思路，解决下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1），
等式两边都除以x，
得，
，
，
；
（2），
等式两边都除以x，
得，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先求出，再利用完全平方公式的计算方法分析求解即可；
（2）先求出，再利用完全平方公式的计算方法分析求解即可.
22．（2024八下·乐昌期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，
由（1）得：，四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出AF的长，最后利用线段的和差求出BG的长即可.
（1）证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）四边形是菱形，
，
由（1）得：，四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
23．（2024八下·乐昌期中）已知正方形的边长为8，点E在边上，点F在边的延长线上，且．
（1）如图1，分别连接，则的形状是________；
（2）如图2，连接交对角线于点M，若，求的长；
（3）如图3，若点G、H分别在上，且，连接交于点O，当与的夹角为时，求的长．
【答案】（1）△BEF是等腰直角三角形
（2）解：如图2，过E作ENCD，交BD于N，则EN=EA=2，
在Rt△EDF中，EF=，
∵ENCD，
∴∠F=∠MEN，
∵∠CMN=∠EMN，
∴△FCM≌△ENM，
∴EM=FM，
∴DM=EF=；
（3）解：如图3，连接EB和FB，由（1）得∠EFB=45°，
∵∠EOM=45°，
∴∠EFB=∠EOM，
∴GHFB，
∵DFAB，
∴四边形FBGH是平行四边形，
∴FB=GH=4，
由勾股定理得：CF=，
∴AE=CF=4．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：如图1，△BEF是等腰直角三角形，理由是：
在正方形ABCD中，BC=AB，∠FCB=∠A=90°，
∵CF=AE=2，
∴△FCB≌△EAB，
∴BF=BE，∠EBA=∠FBC，
∴∠EBF=∠EBC+∠FBC=∠EBC+∠EBA=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
【分析】本题考查正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理.
（1）先利用正方形的性质可推出BC=AB，∠FCB=∠A=90°，再结合CF=AE=2，利用全等三角形的判定定理可证明△FCB≌△EAB，利用全等三角形的性质可得BF=BE，∠EBA=∠FBC，再利用角的运算可求出∠EBF=90°，据此可判断的形状；
（2）过E作ENCD，交BD于N，据此可得EN=ED=2，利用勾股定理可求出EF的长，根据ENCD，
利用平行线的性质可得：∠F=∠MEN，再结合∠CMN=∠EMN，利用全等三角形的判定定理可证明△FCM≌△ENM，利用全等三角形的性质可推出M=FM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出DM的长；
（3）连接EB和FB，据此可推出∠EFB=∠EOM，利用平行线的判定定理可证明：GHFB，再根据DFAB，利用平行四边形的判定定理可证明四边形FBGH是平行四边形，据此可推出B=GH=4，再利用勾股定理可求出CF，进而可求出AE.
（1）解：如图1，△BEF是等腰直角三角形，理由是：
在正方形ABCD中，BC=AB，∠FCB=∠A=90°，
∵CF=AE=2，
∴△FCB≌△EAB，
∴BF=BE，∠EBA=∠FBC，
∴∠EBF=∠EBC+∠FBC=∠EBC+∠EBA=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
（2）解：如图2，过E作ENCD，交BD于N，则EN=EA=2，
在Rt△EDF中，EF=，
∵ENCD，
∴∠F=∠MEN，
∵∠CMN=∠EMN，
∴△FCM≌△ENM，
∴EM=FM，
∴DM=EF=；
（3）解：如图3，连接EB和FB，
由（1）得∠EFB=45°，
∵∠EOM=45°，
∴∠EFB=∠EOM，
∴GHFB，
∵DFAB，
∴四边形FBGH是平行四边形，
∴FB=GH=4，
由勾股定理得：CF=，
∴AE=CF=4．
1 / 1广东省韶关市乐昌市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·乐昌期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·乐昌期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·乐昌期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C． D．9，40，41
4．（2024八下·乐昌期中）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5．（2024八下·乐昌期中）已知平行四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·乐昌期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
7．（2024八下·乐昌期中）在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（ ）
A．，，则四边形是平行四边形
B．，且，则四边形是菱形
C．，则四边形是矩形
D．且，则四边形是正方形
8．（2024八下·乐昌期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
9．（2024八下·乐昌期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，菱形ABCD的面积为24，则其周长为( )
A．20 B．24 C．28 D．40
10．（2024八下·乐昌期中）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（ ）
A． B．2 C．1.5 D．
11．（2024八下·乐昌期中）化简的结果是 ．
12．（2024八下·乐昌期中）如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，，则数轴上点A所表示的数为 ．
13．（2024八下·乐昌期中）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ．
14．（2024八下·乐昌期中）如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ．
15．（2024八下·乐昌期中）如图，菱形的周长为，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则周长的最小值是 ．
16．（2024八下·乐昌期中）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是 ．
17．（2024八下·乐昌期中）计算下列各小题：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·乐昌期中）如图，在矩形中，O为的中点，过点O作分别交，于点E，F．求证：四边形是菱形．
19．（2024八下·乐昌期中）如图，在四边形中，，E为上一点，且，，，求证：四边形为平行四边形．
20．（2024八下·乐昌期中）如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点米远的点处同时开始测量，点为终点.小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了.亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能，请说明理由？
21．（2024八下·乐昌期中）老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值．
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出．
参考小明的思路，解决下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
22．（2024八下·乐昌期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
23．（2024八下·乐昌期中）已知正方形的边长为8，点E在边上，点F在边的延长线上，且．
（1）如图1，分别连接，则的形状是________；
（2）如图2，连接交对角线于点M，若，求的长；
（3）如图3，若点G、H分别在上，且，连接交于点O，当与的夹角为时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法、除法、加法和减法的计算方法及步骤分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
B、，，不都是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴正整数9，40，41是勾股数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、 菱形的对角线互相平分且垂直，故不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分 ，故符合题意；
C、 平行四边形不是轴对称图形 ，故不符合题意；
D、 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 ，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、正方形的判定逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，则，解方程即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据折叠性质可得，则，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：、，，则四边形有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意；
B、∵，，∴，，∵，，∴，，∴，
∴四边形是菱形，此选项正确，不符合题意；
C、∵，∴四边形是平行四边形，∴，即：，∴平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意；
D、∵，，∴，∴四边形是矩形，
又∵，∴矩形是正方形，此选项正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据正方形面积可得，结合图形建立方程，化简可得，则图2中小正方形的边长为3，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的面积S=AC BD，S=24，AC=8，
∴BD=6，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，
在Rt△ABO中，
AB==5，
∴菱形的周长=4×5=20，
故答案为：A．
【分析】先利用菱形的性质求出AO=CO=4，BO=DO=3，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用菱形的性质求出菱形的周长即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=90°，
∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，
∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，
∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，
∴∠CAB=30°，
∴∠ACB=60°，
∴∠BCE=∠ACB=30°，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠OAE=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∵∠OAE=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴EF与AC互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，
∴BE=AE，
∴=2，
故答案为：B．
【分析】先求出∠BCE=∠ACB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BE=CE，再证出△AOE≌△COF，利用全等三角形的性质可得OE=OF，证出四边形AECF为菱形，可得BE=AE，最后求出=2即可.
11．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用二次根式的分母有理化化简即可.
12．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵BC=，
则AB=BC=，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是．
故答案为：．
【分析】本题考查实数与数轴之间的对应关系.先利用勾股定理求出线段BC的长度，再根据AB=CB即可求出AB的长度，在根据A在原点右侧，据此可以求出数轴上点A所表示的数．
13．【答案】5
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴AC=2BF=10，
∵、分别为、的中点，
∴DE=AC=5，
故答案为：5.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AC的长，再利用三角形中位线的性质可得DE=AC=5.
14．【答案】18
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，
根据题意，可得，
∵所有三角形都是直角三角形，
∴，
∴，
∴正方形的面积为18．
故答案为：18．
【分析】设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，利用勾股定理可得，再求出即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：菱形的周长为，
，点A与点C关于对称，
连接，与交于点，连接，如图，
则，
此时，值最小．
四边形是菱形，，
，
，
为等边三角形，
，
是中点，
∴，，
，
．
周长的最小值是．
【分析】连接，与交于点，连接，先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得AC=AB=2，再利用勾股定理求出CE的长，再利用线段的和差求出，最后利用三角形的周长公式及等量代换求出周长的最小值是．
16．【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴故①正确；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
②过B作，交的延长线于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正确，
故答案为：①③④
【分析】利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，可判断出①是否正确；再利用角的运算和等量代换可得，从而可判断出③是否正确；再利用勾股定理和线段的和差求出，从而判断出②是否正确；最后利用正方形的面积公式求出，从而可判断出④是否正确.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】证明：如图，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∵O为的中点
∴
∵
∴≌（）
∴
∴四边形是平行四边形
又∵
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得，则，再根据线段中点可得，由全等三角形判定定理可得≌（），则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
19．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
20．【答案】解：中，，
设，，
则.
，
又在中，由勾股定理得：，
，
解得：，即（米）
米，米，米
，米
答：这个直角三角花台底边上的高位为米
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设，，，根据小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，，，由勾股定理求出x的值，再根据三角形面积公式即可求出答案.
21．【答案】解：（1），
等式两边都除以x，
得，
，
，
；
（2），
等式两边都除以x，
得，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先求出，再利用完全平方公式的计算方法分析求解即可；
（2）先求出，再利用完全平方公式的计算方法分析求解即可.
22．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，
由（1）得：，四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出AF的长，最后利用线段的和差求出BG的长即可.
（1）证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）四边形是菱形，
，
由（1）得：，四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
23．【答案】（1）△BEF是等腰直角三角形
（2）解：如图2，过E作ENCD，交BD于N，则EN=EA=2，
在Rt△EDF中，EF=，
∵ENCD，
∴∠F=∠MEN，
∵∠CMN=∠EMN，
∴△FCM≌△ENM，
∴EM=FM，
∴DM=EF=；
（3）解：如图3，连接EB和FB，由（1）得∠EFB=45°，
∵∠EOM=45°，
∴∠EFB=∠EOM，
∴GHFB，
∵DFAB，
∴四边形FBGH是平行四边形，
∴FB=GH=4，
由勾股定理得：CF=，
∴AE=CF=4．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：如图1，△BEF是等腰直角三角形，理由是：
在正方形ABCD中，BC=AB，∠FCB=∠A=90°，
∵CF=AE=2，
∴△FCB≌△EAB，
∴BF=BE，∠EBA=∠FBC，
∴∠EBF=∠EBC+∠FBC=∠EBC+∠EBA=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
【分析】本题考查正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理.
（1）先利用正方形的性质可推出BC=AB，∠FCB=∠A=90°，再结合CF=AE=2，利用全等三角形的判定定理可证明△FCB≌△EAB，利用全等三角形的性质可得BF=BE，∠EBA=∠FBC，再利用角的运算可求出∠EBF=90°，据此可判断的形状；
（2）过E作ENCD，交BD于N，据此可得EN=ED=2，利用勾股定理可求出EF的长，根据ENCD，
利用平行线的性质可得：∠F=∠MEN，再结合∠CMN=∠EMN，利用全等三角形的判定定理可证明△FCM≌△ENM，利用全等三角形的性质可推出M=FM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出DM的长；
（3）连接EB和FB，据此可推出∠EFB=∠EOM，利用平行线的判定定理可证明：GHFB，再根据DFAB，利用平行四边形的判定定理可证明四边形FBGH是平行四边形，据此可推出B=GH=4，再利用勾股定理可求出CF，进而可求出AE.
（1）解：如图1，△BEF是等腰直角三角形，理由是：
在正方形ABCD中，BC=AB，∠FCB=∠A=90°，
∵CF=AE=2，
∴△FCB≌△EAB，
∴BF=BE，∠EBA=∠FBC，
∴∠EBF=∠EBC+∠FBC=∠EBC+∠EBA=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
（2）解：如图2，过E作ENCD，交BD于N，则EN=EA=2，
在Rt△EDF中，EF=，
∵ENCD，
∴∠F=∠MEN，
∵∠CMN=∠EMN，
∴△FCM≌△ENM，
∴EM=FM，
∴DM=EF=；
（3）解：如图3，连接EB和FB，
由（1）得∠EFB=45°，
∵∠EOM=45°，
∴∠EFB=∠EOM，
∴GHFB，
∵DFAB，
∴四边形FBGH是平行四边形，
∴FB=GH=4，
由勾股定理得：CF=，
∴AE=CF=4．
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