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广东省韶关市新丰县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·新丰期中）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·新丰期中）下列二次根式是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·新丰期中）如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（　　）
A．线段AB的长度 B．线段CD的长度
C．线段EF的长度 D．线段GH的长度
4．（2024八下·新丰期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024八下·新丰期中）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·新丰期中）下列根式中可以和合并的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·新丰期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·新丰期中）如图所示，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是（　　）
A． B．10 C． D．13
9．（2024八下·新丰期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）．
A．169 B．25 C．49 D．64
10．（2024八下·新丰期中）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024八下·新丰期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·新丰期中）已知点的坐标为，则点到原点的距离为　 　
13．（2024八下·新丰期中）计算： =　 　．
14．（2024八下·新丰期中）若，则　 　．
15．（2024八下·新丰期中）如图，要测量被池塘隔开的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得，则的长是　 　．
16．（2024八下·新丰期中）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠得到菱形AECF若BC＝，则BE的长是　 　．
17．（2024八下·新丰期中）如图，小明和小方分别在处同时出发，小明以每小时40千米的速度向南走，小方以每小时30千米的速度向西走，2小时后，小明在处，小方在处，请求出的距离．
18．（2024八下·新丰期中）计算：
（1）；
（2）.
19．（2024八下·新丰期中）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．（2024八下·新丰期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求证：．
21．（2024八下·新丰期中）如图，在中，点，在对角线上，．求证：
（1）；
（2）．
22．（2024八下·新丰期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
23．（2024八下·新丰期中）如图，6x6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．
（1）填空：AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）求△ABC的面积．
24．（2024八下·新丰期中）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形是矩形，请说明理由；
（2）当t为何值时，四边形是菱形，请说明理由；
（3）直接写出（2）中菱形的周长和面积，周长是______cm，面积是______．
25．（2024八下·新丰期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．
（1）［观察猜想］填空：与的数量关系___________（提示：取的中点，连接）；
（2）［类比探究］如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
（3）［拓展应用］如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：选项A中，是2的算术平方根，，所以是二次根式，选项A正确；
选项B中，，，无意义，故不是二次根式，选项B错误；
选项C中，是3的立方根，不是二次根式，；选项C错误；
选项D中，，没有明确的范围，存在的情况，不能保证有意义，故不是二次根式，选项D错误；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A，中被开方数含能开得尽方的因数，，不是最简二次根式；
B，是最简二次根式；
C，中被开方数不是整数，，不是最简二次根式；
D，中被开方数不是整数，，不是最简二次根式；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线a//b，CD⊥b，
∴线段CD的长度是直线a，b之间距离．
故答案为：B．
【分析】根据平行线之间的距离即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质进行化简，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A.=，故不能与合并
B.=，能与合并
C.=2，故不能与合并
D.不能与合并
故答案为：B．
【分析】根据同类二次根式定义逐项化简判断即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不能合并，所以A选项不符合题意；
B、，所以B选项不符合题意；
C、，所以C选项不符合题意；
D、，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
由勾股定理得，，
∴，
∴点C表示的无理数是．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可得OB，则，再根据两点间距离即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：，，，
，
则阴影部分的面积是，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据阴影部分面积=大正方形面积-4个三角形面积即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵F是的中点，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意，
延长，交的延长线于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵F为中点，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，故B不符合题意，
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；故C符合题意；
④设，而，
则；
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形性质可得，由等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，即，可判断A选项；延长，交的延长线于M，根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据直角三角形斜边上的中线可判断B选项；根据三角形面积可判断C选项；设，而，则，再根据角之间的关系可判断D选项.
11．【答案】x≥4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：点的坐标为，则点到原点的距离为，
故答案为：10．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】根据二次根式的运算法则可知：原式=2 = ，
故答案为： 。
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可。
14．【答案】7
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a=3，b=1，
7
故答案为：7
【分析】根据偶次幂及二次根式的非负性求出a、b的值，再代入计算即可.
15．【答案】80
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
米．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
16．【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠得：∠BCE＝∠OCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠OCE＝∠OCF，
∴∠BCE＝∠OCE＝∠OCF＝∠BCD＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝，
设，则
根据勾股定理得，
解得：（负值已舍去）
∴BE＝1，
故答案为：1．
【分析】由折叠得∠BCE＝∠OCE，根据矩形性质可得∠BCD＝90°，再根据菱形性质可得∠OCE＝∠OCF，再根据角之间的关系可得∠BCE＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】解：由题意可得：，，
则，
答：的距离为．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意得出AC，BC的长，再根据勾股定理即可求出答案.
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：解法一：
解：原式
解法二：
解：原式
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式进行加减运算时，需要先化成最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）二次根据进行加乘混合运算时可以利用乘法分配律计算，也可以先将每个二次根式化成最简二次根式，再进行运算.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
，，
则
；

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先求解，再根据平方差公式将代数式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
（2）先求解，再根据完全平方公式将代数式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）∵，
，，
则
；
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90 ，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90 ，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△BCF（SAS），则AE=BF，即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，
．
，，
．
．
．
（2）证明：由（1）得，
．
，，
．
．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，，则．再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1），
（2）解：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）2
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）解：，，（3）剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
【分析】（1）根据正方形性质，结合算术平方根的定义即可求出答案.
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求出答案.
（3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案．
23．【答案】（1），，5
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵（）2+（）2=52，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：=×AB×BC=×× = 5；
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】（1）解：根据题意，
，，；
故答案为：，，5；
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
（3）根据三角形的面积即可求出答案.
（1）解：根据题意，
，，；
故答案为：，，5；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵（）2+（）2=52，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：=×AB×BC=×× = 5；
24．【答案】（1）解：由题意得，，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即时，四边形为菱形，
解得，，
故当时，四边形为菱形；
（3）15；
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：当时，，
菱形的周长为：，
菱形的面积为：，
故答案为：15；．
【分析】（1）根据题意用表示出、、，根据矩形性质可得，，再根据矩形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据菱形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据（2）中求出的的值，求出，根据菱形的周长公式、面积公式计算即可求出答案.
（1）解：由题意得，，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即时，四边形为菱形，
解得，，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：当时，，
菱形的周长为：，
菱形的面积为：，
故答案为：15；．
25．【答案】（1）；
（2）解：成立，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：成立．
证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
如图，取中点，连接，
∵四边形是正方形，平分，
∴，，，
∵是边的中点，为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【分析】（1）取中点，连接，根据正方形性质及角平分线定义可得，，，再根据线段中点可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据等边对等角可得，则，再根据边之间的关系可得，同（1）可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）在的延长线上取一点，使，连接，根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据正方形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
如图，取中点，连接，
∵四边形是正方形，平分，
∴，，，
∵是边的中点，为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：成立．
证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东省韶关市新丰县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·新丰期中）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：选项A中，是2的算术平方根，，所以是二次根式，选项A正确；
选项B中，，，无意义，故不是二次根式，选项B错误；
选项C中，是3的立方根，不是二次根式，；选项C错误；
选项D中，，没有明确的范围，存在的情况，不能保证有意义，故不是二次根式，选项D错误；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八下·新丰期中）下列二次根式是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A，中被开方数含能开得尽方的因数，，不是最简二次根式；
B，是最简二次根式；
C，中被开方数不是整数，，不是最简二次根式；
D，中被开方数不是整数，，不是最简二次根式；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024八下·新丰期中）如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（　　）
A．线段AB的长度 B．线段CD的长度
C．线段EF的长度 D．线段GH的长度
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线a//b，CD⊥b，
∴线段CD的长度是直线a，b之间距离．
故答案为：B．
【分析】根据平行线之间的距离即可求出答案.
4．（2024八下·新丰期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
5．（2024八下·新丰期中）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质进行化简，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．（2024八下·新丰期中）下列根式中可以和合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A.=，故不能与合并
B.=，能与合并
C.=2，故不能与合并
D.不能与合并
故答案为：B．
【分析】根据同类二次根式定义逐项化简判断即可求出答案.
7．（2024八下·新丰期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不能合并，所以A选项不符合题意；
B、，所以B选项不符合题意；
C、，所以C选项不符合题意；
D、，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
8．（2024八下·新丰期中）如图所示，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是（　　）
A． B．10 C． D．13
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
由勾股定理得，，
∴，
∴点C表示的无理数是．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可得OB，则，再根据两点间距离即可求出答案.
9．（2024八下·新丰期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）．
A．169 B．25 C．49 D．64
【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：，，，
，
则阴影部分的面积是，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据阴影部分面积=大正方形面积-4个三角形面积即可求出答案.
10．（2024八下·新丰期中）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵F是的中点，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意，
延长，交的延长线于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵F为中点，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，故B不符合题意，
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；故C符合题意；
④设，而，
则；
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形性质可得，由等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，即，可判断A选项；延长，交的延长线于M，根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据直角三角形斜边上的中线可判断B选项；根据三角形面积可判断C选项；设，而，则，再根据角之间的关系可判断D选项.
11．（2024八下·新丰期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．（2024八下·新丰期中）已知点的坐标为，则点到原点的距离为　 　
【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：点的坐标为，则点到原点的距离为，
故答案为：10．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
13．（2024八下·新丰期中）计算： =　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】根据二次根式的运算法则可知：原式=2 = ，
故答案为： 。
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可。
14．（2024八下·新丰期中）若，则　 　．
【答案】7
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a=3，b=1，
7
故答案为：7
【分析】根据偶次幂及二次根式的非负性求出a、b的值，再代入计算即可.
15．（2024八下·新丰期中）如图，要测量被池塘隔开的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得，则的长是　 　．
【答案】80
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
米．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
16．（2024八下·新丰期中）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠得到菱形AECF若BC＝，则BE的长是　 　．
【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠得：∠BCE＝∠OCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠OCE＝∠OCF，
∴∠BCE＝∠OCE＝∠OCF＝∠BCD＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝，
设，则
根据勾股定理得，
解得：（负值已舍去）
∴BE＝1，
故答案为：1．
【分析】由折叠得∠BCE＝∠OCE，根据矩形性质可得∠BCD＝90°，再根据菱形性质可得∠OCE＝∠OCF，再根据角之间的关系可得∠BCE＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．（2024八下·新丰期中）如图，小明和小方分别在处同时出发，小明以每小时40千米的速度向南走，小方以每小时30千米的速度向西走，2小时后，小明在处，小方在处，请求出的距离．
【答案】解：由题意可得：，，
则，
答：的距离为．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意得出AC，BC的长，再根据勾股定理即可求出答案.
18．（2024八下·新丰期中）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
（2）解：解法一：
解：原式
解法二：
解：原式
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式进行加减运算时，需要先化成最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）二次根据进行加乘混合运算时可以利用乘法分配律计算，也可以先将每个二次根式化成最简二次根式，再进行运算.
19．（2024八下·新丰期中）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
，，
则
；

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先求解，再根据平方差公式将代数式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
（2）先求解，再根据完全平方公式将代数式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）∵，
，，
则
；
20．（2024八下·新丰期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求证：．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90 ，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90 ，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△BCF（SAS），则AE=BF，即可求出答案.
21．（2024八下·新丰期中）如图，在中，点，在对角线上，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，
．
，，
．
．
．
（2）证明：由（1）得，
．
，，
．
．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，，则．再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
22．（2024八下·新丰期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
【答案】（1），
（2）解：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）2
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）解：，，（3）剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
【分析】（1）根据正方形性质，结合算术平方根的定义即可求出答案.
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求出答案.
（3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案．
23．（2024八下·新丰期中）如图，6x6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．
（1）填空：AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1），，5
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵（）2+（）2=52，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：=×AB×BC=×× = 5；
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】（1）解：根据题意，
，，；
故答案为：，，5；
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
（3）根据三角形的面积即可求出答案.
（1）解：根据题意，
，，；
故答案为：，，5；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵（）2+（）2=52，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：=×AB×BC=×× = 5；
24．（2024八下·新丰期中）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形是矩形，请说明理由；
（2）当t为何值时，四边形是菱形，请说明理由；
（3）直接写出（2）中菱形的周长和面积，周长是______cm，面积是______．
【答案】（1）解：由题意得，，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即时，四边形为菱形，
解得，，
故当时，四边形为菱形；
（3）15；
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：当时，，
菱形的周长为：，
菱形的面积为：，
故答案为：15；．
【分析】（1）根据题意用表示出、、，根据矩形性质可得，，再根据矩形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据菱形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据（2）中求出的的值，求出，根据菱形的周长公式、面积公式计算即可求出答案.
（1）解：由题意得，，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即时，四边形为菱形，
解得，，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：当时，，
菱形的周长为：，
菱形的面积为：，
故答案为：15；．
25．（2024八下·新丰期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．
（1）［观察猜想］填空：与的数量关系___________（提示：取的中点，连接）；
（2）［类比探究］如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
（3）［拓展应用］如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：成立，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：成立．
证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
如图，取中点，连接，
∵四边形是正方形，平分，
∴，，，
∵是边的中点，为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【分析】（1）取中点，连接，根据正方形性质及角平分线定义可得，，，再根据线段中点可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据等边对等角可得，则，再根据边之间的关系可得，同（1）可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）在的延长线上取一点，使，连接，根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据正方形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
如图，取中点，连接，
∵四边形是正方形，平分，
∴，，，
∵是边的中点，为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：成立．
证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
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