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湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
1．（2025高一下·湖北月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·湖北月考）若命题“，”是真命题，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·湖北月考）函数的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·湖北月考）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
5．（2025高一下·湖北月考）已知向量，满足，且，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·湖北月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·湖北月考）下列不等关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025高一下·湖北月考）在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图象的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数，使得不等式成立的实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025高一下·湖北月考）若正实数p，q满足，则（　　）
A．pq的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是6
10．（2025高一下·湖北月考）已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值2 B．m的取值范围是
C． D．方程有4个不同的解
11．（2025高一下·湖北月考）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．关于对称 D．的值域为
12．（2025高一下·湖北月考）已知函数在上有两个零点，则a的取值范围为　 　.
13．（2025高一下·湖北月考）已知函数的定义域为R，且满足：，，，则　 　.
14．（2025高一下·湖北月考）如图，正方形的边长为1，分别为边上的点，若，求的面积的最大值为　 　．
15．（2025高一下·湖北月考）如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中k，，设，.
（1）当，时，用向量和分别表示向量和；
（2）当，时，求的取值范围.
16．（2025高一下·湖北月考）计算：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若正实数同时满足下列三个方程，，，求的值.
17．（2025高一下·湖北月考）已知函数的最大值为
（1）求常数a的值；
（2）求函数在的单调递增区间；
（3）若在区间上有9个零点，求实数m的取值范围.
18．（2025高一下·湖北月考）已知函数为偶函数.
（1）求实数k的值；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
19．（2025高一下·湖北月考）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）试求，，的取值范围，猜想当，时，的取值范围不需要写出证明过程；
（3）存在，使得关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，则集合，
解不等式，可得，则集合，故.
故答案为：C.
【分析】解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】存在量词命题；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：，，则，
因为函数，在上单调递增，所以，故.
故答案为：B．
【分析】原问题转化为，利用函数的单调性求解即可．
3．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，且在上单调递增，
因为，，所以，
根据函数的零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间是.
故答案为：C.
【分析】根据函数的零点存在性定理结合单调性求零点所在区间即可.
4．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：函数，
将函数图象上所有点向左平移个单位得，即得图象.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式，结合三角函数图象的平移变换求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
则，即与的夹角为
故答案为：B.
【分析】由题意，利用求得，再利用向量夹角公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代值计算即可.
7．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、，两边同时取对数，则 ，即，故A错误；
B、，因为，所以，故B错误；
C、， ，，故C错误；
D、，，
则，
而，，，
故，即，故D正确.
故答案为：D.
【分析】两边同时取以为底的对数化简即可判断A；，利用对数的单调性比较大小即可判断B；将的指数幂都变换成整数次幂与的乘积的形式，比较两个幂函数的大小即可判断C；将变换为以10为底的对数，做差与0比较即可判断D.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，原函数可化为，
函数定义域为，且满足，
则函数是偶函数，其图象关于y轴对称，那么函数的图象关于直线对称，
当时，，，
因为，所以，，，则，
所以，则函数在上单调递增，
又因为函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，
所以等价于，
即，两边平方得，
整理可得，解得，
故实数m的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】令，则，原函数可化为，先分析函数的对称性和单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、由，可得，解得，当且仅当，时等号成立，则pq的最大值为，故A错误；
B、，
当且仅当，时等号成立，则的最大值为，故B正确；
C、，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值是，故C正确；
D、因为，所以，则
，
又因为，所以，当，时等号成立，即的最小值是6 ，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用基本不等式求解即可判断AB；利用1的代换，，再利用基本不等式求解即可判断C；利用消元，求一元二次函数的最值即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图像，如图所示：
且，，，，
A、由图可知：函数有最小值2，故A正确；
B、由图可知：若有四个不等的实数解，，，，则，故B错误；
C、因为为偶函数，所以图象关于轴对称，又因为的对称轴为直线，所以，，则，故C正确；
D、令，则方程可化为方程，
结合图像得有4个解，且，，，，
因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应，
故方程有4个不同的解，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】先作出函数的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结合图象即可判断C；令，数形结合即可判断D．
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：的定义域为，定义域关于原点对称，
A、，则为偶函数，故A正确；
B、因为，
所以的周期为，故B错误；
C、因为，
所以关于对称，故C正确；
D、令，则，，
由于，所以，进而，
所以，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，且，所以函数在上是减函数
则的值域为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先求函数的定义域，再根据与的关系即可判断A；由与的关系即可判断B；根据与的关系即可判断C；令，利用换元法，求值域即可判断D.
12．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： 函数在上有两个零点 ，即在上有两个解，即函数的图象和直线在上有两个交点，
由，可得，
易知在上单调递增，在上单调递减，最大值是，
因为，，所以.
故答案为：.
【分析】原问题转化为函数的图象和直线在上有两个交点，判断的单调性和最值即可得a的取值范围.
13．【答案】3
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解： 函数的定义域为，且满足：①，
则②，
①②式相加得：，
所以，即函数的周期为6，
则，
因为，，
所以，
故.
故答案为：
【分析】由题意，求出函数是周期为6的周期函数，再利用周期性求解即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：设，，，， 若，
则，，，
整理得，
因为
当且仅当时等号成立，解得或，
因为，所以，
则当时，的最大值，最大面积为.
故答案为：．
【分析】设，，，，求得，，，利用基本不等式求解即可．
15．【答案】（1）解：当 ，时， ，
；
（2）解：当，时，
， ，
则
，
因为 ，所以，
则 的取值范围为 .
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意，根据向量的线性运算求解即可；
（2）先用向量表示向量，再根据向量的数量积的运算律求出，最后根据二次函数的性质求其范围即可.
（1）当 ，时，
，
（2）当，时，
， ，
故
，
因为 ，故
故 的取值范围为 .
16．【答案】（1）解：由，可得，即，因为，所以；
（2）解：，；
（3）解：由题意可得：，解得，
则.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；简单的三角恒等变换
【解析】【分析】（1）将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据，结合诱导公式以及余弦的二倍角公式求值即可；
（3）根据对数的运算性质求出，再根据对数的运算性质求解即可.
（1），，
；
（2），
；
（3）正实数x，y，z同时满足下列三个方程，，，
，
.
17．【答案】（1）解：函数
，
因为函数的最大值为3，所以当时，，解得；
（2）解：由（1）得，
令，t在上单调递增，且，
函数在和上单调递增，
因此，，解得，，
则在的单调递增区间为，；
（3）解：令，，则，
由题可知：在上有9个根，即，
因此，即，
故实数的取值范围是.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、余弦正弦的两角差及辅助角公式化简，结合题意求的值即可；
（2）由（1）可得，利用正弦函数的单调性求解单调递增区间即可；
（3）利用正弦函数的图象与性质计算即可.
（1）由题意可知：
，
当时，，
故
（2）令，t在上单调递增，且，
而在和上单调递增，
因此，，解得，，
在的单调递增区间为，
（3）令，，则
由题可知：在上有9个根，即，
因此，即
故实数的取值范围是
18．【答案】（1）解：因为是偶函数，所以，
即对任意恒成立，
，解得；
（2）解：由题意可知：方程有两个实数根，
令，即函数的图象与直线有两个交点，
由复合函数的单递性知：函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
当且仅当，即时等号成立，则，
故实数的取值范围是；
（3）解：
，，
令，，则，，
的最小值为0，则或或
即或或，解得.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可；
（2）问题转化为方程有两个实数根，化简，根据复合函数单调性可求出的最小值，即可得的范围；
（3）化简可得出是以为整体的二次型函数，令，根据二次函数轴动区间定讨论函数的最小值，即可求出的值.
（1）是偶函数，
即对任意恒成立，
，
（2）函数有两个零点，即方程有两个实数根．
令，则函数的图象与直线有两个交点，
由复合函数的单递性知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
当且仅当即时，等号成立.
的取值范围是
（3），，
令，，则，，
的最小值为0，
或或
或或
19．【答案】（1）解：函数，
则，即，
故；
（2）解：因为，
所以，，且，
，且，
由此猜想当，时，；
（3）解：因为，所以，，
又因为，所以，
又因为，所以，，
存在，则，，
又，
，单调递增，
，
综上所述：．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由题意，利用同角三角函数的平方关系求解即可；
（2）分别写出，，，根据正弦函数的值域求解范围，从而求的取值范围即可；
（3）由已知结合辅助角公式得出，由不等式放缩得，换元法求得值域，求a的取值范围即可．
（1），
则，
．
（2），
，
此时有，
此时有，
由此猜想当，时，．
（3），
∴，，
又，
，
因为，则，，
存在，则，，
又，
，单调递增，
，
综上所述：．
1 / 1湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
1．（2025高一下·湖北月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，则集合，
解不等式，可得，则集合，故.
故答案为：C.
【分析】解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高一下·湖北月考）若命题“，”是真命题，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】存在量词命题；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：，，则，
因为函数，在上单调递增，所以，故.
故答案为：B．
【分析】原问题转化为，利用函数的单调性求解即可．
3．（2025高一下·湖北月考）函数的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，且在上单调递增，
因为，，所以，
根据函数的零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间是.
故答案为：C.
【分析】根据函数的零点存在性定理结合单调性求零点所在区间即可.
4．（2025高一下·湖北月考）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：函数，
将函数图象上所有点向左平移个单位得，即得图象.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式，结合三角函数图象的平移变换求解即可.
5．（2025高一下·湖北月考）已知向量，满足，且，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
则，即与的夹角为
故答案为：B.
【分析】由题意，利用求得，再利用向量夹角公式求解即可.
6．（2025高一下·湖北月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代值计算即可.
7．（2025高一下·湖北月考）下列不等关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、，两边同时取对数，则 ，即，故A错误；
B、，因为，所以，故B错误；
C、， ，，故C错误；
D、，，
则，
而，，，
故，即，故D正确.
故答案为：D.
【分析】两边同时取以为底的对数化简即可判断A；，利用对数的单调性比较大小即可判断B；将的指数幂都变换成整数次幂与的乘积的形式，比较两个幂函数的大小即可判断C；将变换为以10为底的对数，做差与0比较即可判断D.
8．（2025高一下·湖北月考）在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图象的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数，使得不等式成立的实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，原函数可化为，
函数定义域为，且满足，
则函数是偶函数，其图象关于y轴对称，那么函数的图象关于直线对称，
当时，，，
因为，所以，，，则，
所以，则函数在上单调递增，
又因为函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，
所以等价于，
即，两边平方得，
整理可得，解得，
故实数m的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】令，则，原函数可化为，先分析函数的对称性和单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解即可.
9．（2025高一下·湖北月考）若正实数p，q满足，则（　　）
A．pq的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是6
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、由，可得，解得，当且仅当，时等号成立，则pq的最大值为，故A错误；
B、，
当且仅当，时等号成立，则的最大值为，故B正确；
C、，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值是，故C正确；
D、因为，所以，则
，
又因为，所以，当，时等号成立，即的最小值是6 ，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用基本不等式求解即可判断AB；利用1的代换，，再利用基本不等式求解即可判断C；利用消元，求一元二次函数的最值即可判断D.
10．（2025高一下·湖北月考）已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值2 B．m的取值范围是
C． D．方程有4个不同的解
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图像，如图所示：
且，，，，
A、由图可知：函数有最小值2，故A正确；
B、由图可知：若有四个不等的实数解，，，，则，故B错误；
C、因为为偶函数，所以图象关于轴对称，又因为的对称轴为直线，所以，，则，故C正确；
D、令，则方程可化为方程，
结合图像得有4个解，且，，，，
因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应，
故方程有4个不同的解，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】先作出函数的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结合图象即可判断C；令，数形结合即可判断D．
11．（2025高一下·湖北月考）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．关于对称 D．的值域为
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：的定义域为，定义域关于原点对称，
A、，则为偶函数，故A正确；
B、因为，
所以的周期为，故B错误；
C、因为，
所以关于对称，故C正确；
D、令，则，，
由于，所以，进而，
所以，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，且，所以函数在上是减函数
则的值域为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先求函数的定义域，再根据与的关系即可判断A；由与的关系即可判断B；根据与的关系即可判断C；令，利用换元法，求值域即可判断D.
12．（2025高一下·湖北月考）已知函数在上有两个零点，则a的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： 函数在上有两个零点 ，即在上有两个解，即函数的图象和直线在上有两个交点，
由，可得，
易知在上单调递增，在上单调递减，最大值是，
因为，，所以.
故答案为：.
【分析】原问题转化为函数的图象和直线在上有两个交点，判断的单调性和最值即可得a的取值范围.
13．（2025高一下·湖北月考）已知函数的定义域为R，且满足：，，，则　 　.
【答案】3
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解： 函数的定义域为，且满足：①，
则②，
①②式相加得：，
所以，即函数的周期为6，
则，
因为，，
所以，
故.
故答案为：
【分析】由题意，求出函数是周期为6的周期函数，再利用周期性求解即可.
14．（2025高一下·湖北月考）如图，正方形的边长为1，分别为边上的点，若，求的面积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：设，，，， 若，
则，，，
整理得，
因为
当且仅当时等号成立，解得或，
因为，所以，
则当时，的最大值，最大面积为.
故答案为：．
【分析】设，，，，求得，，，利用基本不等式求解即可．
15．（2025高一下·湖北月考）如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中k，，设，.
（1）当，时，用向量和分别表示向量和；
（2）当，时，求的取值范围.
【答案】（1）解：当 ，时， ，
；
（2）解：当，时，
， ，
则
，
因为 ，所以，
则 的取值范围为 .
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意，根据向量的线性运算求解即可；
（2）先用向量表示向量，再根据向量的数量积的运算律求出，最后根据二次函数的性质求其范围即可.
（1）当 ，时，
，
（2）当，时，
， ，
故
，
因为 ，故
故 的取值范围为 .
16．（2025高一下·湖北月考）计算：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若正实数同时满足下列三个方程，，，求的值.
【答案】（1）解：由，可得，即，因为，所以；
（2）解：，；
（3）解：由题意可得：，解得，
则.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；简单的三角恒等变换
【解析】【分析】（1）将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据，结合诱导公式以及余弦的二倍角公式求值即可；
（3）根据对数的运算性质求出，再根据对数的运算性质求解即可.
（1），，
；
（2），
；
（3）正实数x，y，z同时满足下列三个方程，，，
，
.
17．（2025高一下·湖北月考）已知函数的最大值为
（1）求常数a的值；
（2）求函数在的单调递增区间；
（3）若在区间上有9个零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：函数
，
因为函数的最大值为3，所以当时，，解得；
（2）解：由（1）得，
令，t在上单调递增，且，
函数在和上单调递增，
因此，，解得，，
则在的单调递增区间为，；
（3）解：令，，则，
由题可知：在上有9个根，即，
因此，即，
故实数的取值范围是.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、余弦正弦的两角差及辅助角公式化简，结合题意求的值即可；
（2）由（1）可得，利用正弦函数的单调性求解单调递增区间即可；
（3）利用正弦函数的图象与性质计算即可.
（1）由题意可知：
，
当时，，
故
（2）令，t在上单调递增，且，
而在和上单调递增，
因此，，解得，，
在的单调递增区间为，
（3）令，，则
由题可知：在上有9个根，即，
因此，即
故实数的取值范围是
18．（2025高一下·湖北月考）已知函数为偶函数.
（1）求实数k的值；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为是偶函数，所以，
即对任意恒成立，
，解得；
（2）解：由题意可知：方程有两个实数根，
令，即函数的图象与直线有两个交点，
由复合函数的单递性知：函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
当且仅当，即时等号成立，则，
故实数的取值范围是；
（3）解：
，，
令，，则，，
的最小值为0，则或或
即或或，解得.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可；
（2）问题转化为方程有两个实数根，化简，根据复合函数单调性可求出的最小值，即可得的范围；
（3）化简可得出是以为整体的二次型函数，令，根据二次函数轴动区间定讨论函数的最小值，即可求出的值.
（1）是偶函数，
即对任意恒成立，
，
（2）函数有两个零点，即方程有两个实数根．
令，则函数的图象与直线有两个交点，
由复合函数的单递性知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
当且仅当即时，等号成立.
的取值范围是
（3），，
令，，则，，
的最小值为0，
或或
或或
19．（2025高一下·湖北月考）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）试求，，的取值范围，猜想当，时，的取值范围不需要写出证明过程；
（3）存在，使得关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：函数，
则，即，
故；
（2）解：因为，
所以，，且，
，且，
由此猜想当，时，；
（3）解：因为，所以，，
又因为，所以，
又因为，所以，，
存在，则，，
又，
，单调递增，
，
综上所述：．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由题意，利用同角三角函数的平方关系求解即可；
（2）分别写出，，，根据正弦函数的值域求解范围，从而求的取值范围即可；
（3）由已知结合辅助角公式得出，由不等式放缩得，换元法求得值域，求a的取值范围即可．
（1），
则，
．
（2），
，
此时有，
此时有，
由此猜想当，时，．
（3），
∴，，
又，
，
因为，则，，
存在，则，，
又，
，单调递增，
，
综上所述：．
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