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2025 年河北省邢台市高考数学调研试卷（3 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { || | > 3}， = { | 2 2 2 < 0, ∈ }，其中 是圆周率，则 ∩ =( )
A. { |3 < < 2 } B. { | < < 3 或 3 < < 2 }
C. {4,5,6} D. { 4,4,5,6}
2.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 1 = 0， 5 = 30，则公差 =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3 ∈ 9 2 .已知 ， ，且 = + ，则( )
A. = 2 B. = 2 C. = 2 D. | + | = 6
4.已知向量 = ( 2 + , )( > 0) 1， = ( , )，当 //
时， 2有最小值 + 1，则 =( )
A. 1 B. 14 2 C. 1 D. 2
5.定义在 上的奇函数 ( )满足当 > 0 时， (2 ) = 2 ( ) 1 1，且 (1) + (2) = 3，则 ( 4 ) =( )
A. 76 B.
7 C. 136 12 D.
13
12
6.在△ 中，∠ ，∠ ，∠ 的对边分别为 ， ， ，且满足 2 = 2( 2 2)，则△ 的面积 =( )
A. 2 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 2 2
7 = .已知 2与 = 在函数 ( ) = 2 ( + )( > 0,0 < | | < 2 )的同一个周期区间内，且 ( 2 ) = 3，
( ) = 3，则 =( )
A. B. 3 6 C. 6 D. 3
2 2 28.已知离心率为 2 的椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 为第一象限内椭圆外一点，
且| 2| = ， 1 2 = 2 1 2，线段 2交椭圆于 ，设 = 2，则 =( )
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A. 1 B. 1 C. 23 2 3 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 2 + ，则下列结论正确的是( )
A. = 12时，曲线 = ( )的切线斜率最小值为 2
B. = 12时， ( )有最大值
C. = 12时， ( )有两个零点
D. = 12时， ( )有最小值
10.已知 ≠ 0， ∈ ，圆 ： 2 + 2 2 4 + 2 = 0 与直线 = 交于 ， 两点， 为坐标原点，则( )
A. = 1， = 0 时，| | = 2 B.过点 向圆 所引的切线长为| |
C. = 2 时， 中点的轨迹长度为 2 D. | | | | = 2
11.如图，在正三棱柱 1 1 1中， = ， 1 = ， 是 1的中点，则
下列结论正确的是( )
A.若 = ，则 与平面 成 30°角
B.若 = ，则平面 ⊥平面 1 1
C.若 = 2 ，则 1 ⊥ 1
D.若 = 3 ，则三棱柱有内切球
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在抛物线 2 = 2 ( > 0)上点 的纵坐标比横坐标大 2，且 点到焦点的距离为 4，则 = ______．
13.已知角 ， 满足 = ，tan + 2 tan 2 = 2，则 = ______．
14 .已知正实数 ， 满足 2 1 4 2 = 2，则
2 + 2 2 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， 是 的中点，点 在线段 上，且 = 2 ，
点 在线段 上(不与点 重合)， 与 交于点 ．
(1)证明： //平面 ；
(2)设 ⊥平面 ， = ，求二面角 的余弦值．
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16.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = 2 2 (
2 + 1) + , ∈ ．
(1) = 0 时，曲线 = ( )在 = 0 处的切线与 = 0( 0 ≠ 0)处的切线平行，求 0的值；
(2)若函数 ( )是增函数，求实数 的取值范围；
(3)若 = 2，求函数 ( )的单调区间与极值．
17.(本小题 15 分)
将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球放入标号为 ， ， ， 的四个小盒中，使每个小盒都不空．
(1)求 盒子中放入小球个数 的分布列和数学期望；
(2)在 1 号小球放入 盒子的前提下，求 2 号小球不放入 盒子的概率．
18.(本小题 17 分)
2
已知圆 ：( 2)2 + ( 2)2 = 2( > 0) 与双曲线 ： 2 = 1( > 0)的右支交于 ， 两点，且 是圆
1的直径.过 (6,0)向圆 引切线，切点为 ， ，cos∠ = 6．
(1)求 的值；
(2)若 为坐标原点，求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
定义集合 = { ∈ | ≤ , , ∈ , ≥ 2}， ( ) = { ∈ | ≠ 3 且 ≠ 4 ， ∈ }.
(1)求 2(4)与 3(3)；
(2)设集合 ( )中元素的个数为 ( )，是否存在 ， ， ∈ ， < < ，使得 12( ) + 12( ) = 12( )成立？
若存在，求出一组 ， ， 的值；若不存在，说明理由；
(3) 11记[ ]表示不超过 的最大整数，且 = =1 1，求[ 1] + [ 2] + [ 3] + … + [ 2025]的值．12( )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4 36或 5
13. 13
14.6
15.(1)证明：因为四边形 是正方形，所以 // 且 = ，
因为 为 的中点，则 = = 2，
= 2 = 又因为 ，则 = 2，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
因此 //平面 ；
(2)解：因为 ⊥平面 ， = ，四边形 为正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
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设 = 3，则 (0,0,0)、 (3,0,0)、 (0,2,1)、 (1,2,0)，
则 = (0,2,1)， = (1,2,0)， = ( 2,2,0)， = (1,0, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= 2 1 + 1 = 0则有 ，取 1 = 2，可得 = (2, 1,2)， = 1 + 2 1 = 0
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 2 2 + 2 2 = 0则有 = 1
，取 ，可得 = (1,1,1)，
= 2 2 = 0
2
所以 cos < , >= 3| || | = 3× 3 =
3
3 ，
由图可知，二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的余弦值为 3．
3
16.解：(1)当 = 0 1时， ( ) = 2
2 ( 2 + 1) ，
则 ′( ) = 2 ( 2 + 1) ，∴ ′(0) = 2，
由 ′( ) = 2 ( 2 + 1) = 2，即( 2)( 1) = 0，解得 = 2 或 = 0，
由题意可知， ′( ) = 20 ( 0 ≠ 0)，∴ 0 = 2．
(2) ∵ ( ) = 1 2 2 (
2 + 1) + ( ∈ )，则 ′( ) = 2 ( 2 + 1) + ，
∵函数 ( )在( ∞, + ∞)上为增函数，
故对任意的 ∈ ， ′( ) = 2 ( 2 + 1) + ≥ 0，可得 ≤ [ 2 ( 2 + 1) ] ，
2 4 2 4
∵ = 2 ( 2 + 1) = ( +1 )2 +2 +1 ≥ +2
2+1
2 4 4 ，
=
2+1 2+1
当且仅当 2 时，即当 = ln 2 时，等号成立，
4+2 2+1 4 2
故 ≤ 4 ，即 ≥
+2 +1
4 ，
4 +2
2+1
即实数 的取值范围是[ 4 , + ∞)．
(3) 1当 = 2时， ( ) = 2
2 ( 2 + 1) + 2 ，
则 ′( ) = 2 ( 2 + 1) + 2 = ( 2)( 1)，
令 ′( ) = 0 可得 = 0 或 = 2，列表如下：
( ∞,0) 0 (0,2) 2 (2, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
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∴函数 ( )的增区间为( ∞,0)、(2, + ∞)，减区间为(0,2)，
( ) (0) = 1 1函数 的极大值为 2
2，极小值为 (2) = 2 2
4．
17.解：(1)由题意， 的所有可能值为 1，2，3，
2 2
当 = 1 时，放入 盒子中一个小球的放法总数 (1) = 16(
5 3 + 3 32 5) 3 = 900， 2
当 = 2 时，放入 盒子中两个小球的放法总数 (2) = 2 2 36 4 3 = 540，
当 = 3 时，放入 盒子中三个小球的放法总数 (3) = 36 33 = 120，
( = 1) = (1) 900 15因此 (1)+ (2)+ (3) = 900+540+120 = 26，
( = 2) = (2) 540 9 (1)+ (2)+ (3) = 900+540+120 = 26，
( = 3) = (3) 120 2 (1)+ (2)+ (3) = 900+540+120 = 26，
所以 的分布列为：
1 2 3
15 9 2
26 26 26
所以 ( ) = 1 × 15 9 2 326 + 2 × 26 + 3 × 26 = 2．
(2)在 1 号小球放入 盒子的前提下， 盒子中小球个数是 1，2，3 时放法数为 (1)， (2)， (3)，
2 2
(1) + (2) + (3) = ( 5 32 +
3 3 1 2 3 2 3
5
) 3 + 5 4 3 + 5 3 = 390，
2
在 1 号小球放入 盒子的前提下，2 号小球没放入 盒子， 盒子中小球个数是 1，2，3 时放法数为 (1)， (2)，
(3)，
2 2
(1) + (2) + (3) = ( 5 3 3 32 + 5) 3 + 1 2
3 2 3
4 4 3 + 4 3 = 330， 2
2 330 11所以 号小球不放入 盒子的概率为 = 390 = 13．
18. 1解：(1)设∠ = , ∈ (0, 2 )，那么∠ = 2 ，
所以 2 = 16，所以 1 2
2 = 16，
所以 = 15，又因为6 | | = 2 5，
所以 = | | = 2 5 × 15 = 5 3．6 3
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(2)根据第一问可得| | = 2 = 10 3，设 ( 2, 2)， ( 1, 3 1)， 1 ≠ 2，
那么 2
2 2
2
2 = 1，
2 1
1 = 1，
又因为 1 + 2 = 4， 1 + 2 = 4，
2 2 2 2
所以 = 1 2 = 1 2 1 ( 2 ) ( 1+ 2) ， 1 2 ( 1 2)( 1+
=
2) ( 1 2)( 1+ 2)
= 1+
=
2
设直线 为 2 = ( 2)，
代入双曲线方程得：( 2 ) 2 4 ( 1) + 4 2 7 + 4 = 0，
由于点 (2,2)是 的中点，且 在双曲线右支内，
因此当 = 2 4时， 2 = 3 > 4，那么 > 3，
4
2 7 +4
所以 1 2 = 2 ， + = 4， 1 2
所以| | = 1 + 2 ( + )21 2 4 =
10 3
1 2 ，3
25 = (
2+1)(3 4)
代入整理得 ，所以 9 3 37 2 + 34 12 = 0，
3 2
所以 9 3 27 2 10 2 + 30 + 4 12 = 0，
所以( 3)(9 2 10 + 4) = 0，解得 = 3，
因此直线 为 3 4 = 0，
4
因此点 到直线 的距离 = 10，
1
因此三角形 的面积 = 2 | | =
1 × 10 3 4 2 30．2 3 × 10 = 3
19.解：(1)根据题目定义：定义集合 = { ∈ | ≤ , , ∈ , ≥ 2}，
( ) = { ∈ | ≠ 3 且 ≠ 4 ， ∈ }.
对于 2(4)， = 2， = 4， 4 = { ∈ | ≤ 16}，
在不大于 16 的所有正整数中，
不能被 3 整除又不能被 4 整除的数有 1，2，5，7，10，11，13，14，
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∴ 2(4) = {1,2,5,7,10,11,13,14}；
同理，在 3(3)中， = = 3， 3 = { ∈ | ≤ 27}，
在不大于 27 的所有正整数中，
不能被 3 整除又不能被 4 整除的数有 1，2，5，7，10，11，13，14，17，19，22，23，25，26，
∴ 3(3) = {1,2,5,7,10,11,13,14,17,19,22,23,25,26}．
(2)因为在不大于12 的所有正整数中，
12 12 12
能被 3 整除的有 3 个，被 4 整除的有 4 个，被 12 整除的有 12个，
12 ∴ = 12 12 + 12
12
12( ) 3 4 12 = 2 ，
12
12 12
若 12( ) + 12( ) = 12( )，则 2 + 2 = 2 ，即12
+ 12 = 12 ，
∵ < < ，∴ 1 + 12 = 12 ，
等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾，
故不存在 ， ， ∈ ， < < ，使得 12( ) + 12( ) = 12( )成立．
(3)由(2) 11知，当 = 1 时， 1 = 5，[ 1] = 2，
当 ≥ 2 11 11时， 1 = 6 12 1 1 <
12
6 12 1 =
2
12( ) 12 1
，
∴当 ≥ 2 11 11 1 1 1时， =
=1 12( ) 1
< 5 + 2( 12 + 121 + 12 1 )
= 11 + 2 1 11 25 11 (1 12 1 ) < 5 + 11 < 2.4，
∴当 ≥ 2 时，2 < < 2.4，则[ ] = 2，
∴ [ 1] + [ 2] + [ 3] + + [ 2025] = 2 × 2025 = 4050．
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